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- 2021-05-31 发布
2016-2017学年广东省广州市越秀区培正中学高二（上）摸底数学试卷
一、选择题（共12小题）
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=﹣x}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{1，0} C．（﹣1，0） D．{﹣1，0}
2．直线l过点（1，﹣2），且与直线2x+3y﹣1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．2x+3y+4=0 B．2x+3y﹣8=0 C．3x﹣2y﹣7=0 D．3x﹣2y﹣1=0
3．函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
7．已知函数f（x）=sin（2x+），则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
C．由函数f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=sin2x的图象
D．函数f（x）在区间（，）上单调递增
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B． C． D．
9．在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则•=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（ ）
A． B． C． D．
11．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（ ）
A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3
12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
二．填空题
13．已知等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为 ．
14．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N= ．
15．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= ．
16．已知函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A．若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为 ．
三、解答题
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式an．
（2）若数列{bn}满足bn=（n∈N*），Tn是数列{bn}的前n项和，求T9．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ） 求B的大小；
（Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC的面积．
19．已知直线l：y=kx与圆C1：（x﹣1）2+y2=1相交于A、B两点，圆C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M（3，），求
（1）k的值
（2）|AB|的值
（3）圆C2的方程．
2016-2017学年广东省广州市越秀区培正中学高二（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题）
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=﹣x}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{1，0} C．（﹣1，0） D．{﹣1，0}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出N中方程的解确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由N中方程整理得：x（x+1）=0，
解得：x=0或x=﹣1，即N={﹣1，0}，
∵M={﹣1，0，1}，
∴M∩N={﹣1，0}，
故选：D．
2．直线l过点（1，﹣2），且与直线2x+3y﹣1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．2x+3y+4=0 B．2x+3y﹣8=0 C．3x﹣2y﹣7=0 D．3x﹣2y﹣1=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由条件利用两条直线垂直的性质求得要求直线的斜率，再用点斜式求得要求直线的方程．
【解答】解：由题意可得，要求直线的斜率为，再根据所求直线过点（1，﹣2），可得它的方程为y+2=（x﹣1），
即3x﹣2y﹣7=0，
故选C．
3．函数f（x）=（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．
【解答】解：函数，
可得：f（﹣1）=5＞0，
f（0）=3＞0，
f（1）=＞0，
f（2）=＞0，
f（3）=﹣0，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选：D．
4．若||=1，||=，且⊥（﹣），则向量，的夹角为（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】设向量的夹角为θ，由=0，可得=1，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ，进而求得θ 的值．
【解答】解：设向量的夹角为θ，由题意可得==0，可得
=1，即 = cosθ=1×cosθ，
解得 cosθ=．
再由 0≤θ≤π可得θ=，
故选A．
5．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式．
【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．
【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线经过点A时，直线y=x﹣z截距最小，z最大．
由解得A（﹣1，﹣2）时，此时zmax=﹣1+2=1．
故选：D．
7．已知函数f（x）=sin（2x+），则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
C．由函数f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=sin2x的图象
D．函数f（x）在区间（，）上单调递增
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性以及y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x+），它的最小正周期为=π，故排除A；
令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点（，0）对称；故排除B；
把函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；
在区间（，）上，2x+∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，
故选：C．
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图．
【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，
可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：
顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，
故该锥体的正视图是：
故选A
9．在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则•=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的垂直与数量积的关系、向量的三角形法则、数量积运算即可得出．
【解答】解：∵，∴=0．
∵，，
∴•=
=﹣0
=﹣22=﹣4．
故选：D．
10．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】等比数列的性质；正弦定理．
【分析】由a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质化简得到关于a，b及c的关系式，利用正弦定理化简后得到关于sinA，sinB及sinC的关系式，然后把所求的式子也利用正弦定理化为关于正弦函数的式子，把化简得到关系式及A的度数代入求出值．
【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinA•sinC．
又A=45°，
∴===sinA=．
故选：C．
11．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（ ）
A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3
【考点】基本不等式．
【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．
【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，
∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，
∴a+b=a+==
==a﹣1++3
≥3+2=3+2
当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号
故选：D
12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为aij，例如a42=15，若aij=2015，则i﹣j=（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【考点】归纳推理．
【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数
【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），
则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，
且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；
验证i=45时，①②式成立，所以i=45；
第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，
而1981+2（j﹣1）=2015，
∴j=18；
∴i﹣j=45﹣18=27．
故选：B
二．填空题
13．已知等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为 2 ．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】设公差为d，由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，解方程组求得d的值．
【解答】解：∵等差数列{an}，a4+a6=10，前5项的和S5=5，设公差为d．
由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，
解方程组求得d=2，
故答案为 2．
14．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N= （0，1） ．
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出关于集合A、B中x的范围，从而求出其交集即可．
【解答】解：∵M={x|lg（1﹣x）＜0}={x|0＜x＜1}，
N={x|﹣1≤x≤1}，
∴M∩N=（0，1），
故答案为：（0，1）．
15．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．
【解答】解：||=2， =||||cos=||，
∵|﹣2|=2，∴（）2=，
即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．
故答案为：2．
16．已知函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A．若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为 3+2 ．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，求出点A的坐标，得出m+n=1且m＞0，n＞0，利用基本不等式求的最小值即可．
【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，
即1﹣x=0时，y=a0=1，∴A（1，1）；
又点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，
∴m+n﹣1=0，即m+n=1；
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴=+
=3++≥3+2=3+2，
当且仅当=，即n=m=﹣1时“=”成立；
∴的最小值为3+2．
故答案为：．
三、解答题
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式an．
（2）若数列{bn}满足bn=（n∈N*），Tn是数列{bn}的前n项和，求T9．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）==（﹣），利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n，
∴n=1时，a1=2；
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n，
当n=1时，上式也成立．
∴an=2n（n∈N*）．
（2）==（﹣），
T9= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=×（1﹣）=．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ） 求B的大小；
（Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理的应用．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理a2+c2﹣b2+ac=0，再由余弦定理，求得角B的大小，
（Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得C及sinC，再由正弦定理，求得c的值，可求得三角形的面积．
【解答】（Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，
由正弦定理得，2b2=（2a+c）a+（2c+a）c，…
化简得，a2+c2﹣b2+ac=0．…
∴．…
∵0＜B＜π，
∴B=．…
（Ⅱ）解：∵A=，∴C=．…
∴sinC=sin==．…
由正弦定理得，，…
∵，B=，
∴．…
∴△ABC的面积=．…
19．已知直线l：y=kx与圆C1：（x﹣1）2+y2=1相交于A、B两点，圆C2与圆C1相外切，且与直线l相切于点M（3，），求
（1）k的值
（2）|AB|的值
（3）圆C2的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）点M在直线上，即可求出k的值；
（2）求出圆心到直线有距离，即可求出|AB|；
（3）利用圆C1与圆C2相切，可得，分类讨论，即可求出圆C2的方程．
【解答】解：（1）由题意知，点M在直线上，所以
（2）圆心到直线有距离，于是
（3）设所求的圆心的坐标为C2（m，n），半径为R．
由题意知，即，从而R=C2M=2|m﹣3|，
又圆C1与圆C2相切，则，
即：
（A）当m≥3时解得：m=4，n=0，R=2，则圆C2的方程为：（x﹣4）2+y2=4
（B）当m，3时解得：，则圆C2的方程为：
所以所求圆的方程为：（x﹣4）2+y2=4，
2016年10月30日