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- 2021-05-31 发布
白城一中2018—2019学年上学期高二期中考试
数学试卷
考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，
考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）
1. 已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题
中，真命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. “p∨q为真”是“p为真”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”
B．若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题
C．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数，则在 处的瞬时变化率是
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
6. 设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
7. 函数的导数为
A． B．
C． D．
8. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
9. 如图所示，在直三棱柱中，，，点分别是
棱的中点，当二面角为时，直线和所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
11. 如图，在长方体中， ， 为中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则（ ）
A． B． 1 C． 2 D． 3
第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.
13. 命题“若则”的否命题是______________.
14. 抛物线 (a>0)的焦点坐标是_____________.
15. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C的夹角的余弦值是，则棱AB的长度是________．
16. 已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双
曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，
C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）
17．（本题满分10分）求下列函数的导数;
18．（本题满分12分）
已知,命题p:直线(k-1)x-ky+1=0的倾斜角为锐角，
命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆.
(1)若p.q均为真命题，求k的取值范围;
(2)若为假命题，求k的取值范围.
19．（本题满分12分）
求曲线上过点的切线方程．
20．（本题满分12分）
已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程;
（2）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,
求直线的方程.
21．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，
，平面底面，为的中点，是的中点，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
22．（本题满分12分）
已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点，斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，
请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
白城一中2018—2019学年上学期高二期中考试
数学 参考答案
一、选择题：1—5 6--10 11—12
二、填空题：13.若则 14. 15。 16
三、解答题：
17. (本小题满分10分
解：（1）---------5分；
（2）---------10分；
18．(本小题满分12分)
解：(1)假设为真命题，则有:，设其范围为，
假设为真命题，则有:，设其范围为，
若、均为真命题，则的范围为: ………………6分
(2)为假命题，等价于真假，则的范围为：
………………12分
19．(本小题满分12分)
解：f′（x）=﹣3x2+3.设切线的斜率为k，切点是（x0，y0），则有y0=3x0﹣x03，
k=f′（x0）=﹣3x02+3，
∴切线方程是y﹣（3x0﹣x03）=（﹣3x02+3）（x﹣x0），……6分
A（2，﹣2）代入可得﹣2﹣（3x0﹣x03）=（﹣3x02+3）（2﹣x0），
∴x03﹣3x02+4=0 解得x0=﹣1，或x0=2， k=0，或k=﹣9.
∴所求曲线的切线方程为：和，……12分
20(本小题满分12分)
解：(1) 解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,∴.
当时,得,化简得.
当时, 、、三点共线,不符合题意,故.
∴曲线的方程为.
(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,
由 得.
∵ 直线与曲线相切,∴,即.
点到直线的距离 .
当且仅当,即时,等号成立.此时.
∴直线的方程为或.
解法2:由,得,
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为,其中,
则直线的方程为:,化简得.
点到直线的距离
.
当且仅当,即时,等号成立.
∴直线的方程为或.
21(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）在中，，为的中点，所以.
因为平面底面，且平面底面，
所以底面.又平面，所以………5分
（Ⅱ）在直角梯形中，，，为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形.
因为，所以，由（Ⅰ）可知平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为，，所以平面，
即为平面的一个法向量，且.
因为是棱的中点，所以点的坐标为，
又，设平面的法向量为.
则，即，
令，得，，所以.
从而.
………12 分
22(本小题满分12分)
（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，
且
故所求方程为即．
（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：
,则
要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意．