专题3-2+利用导数研究函数的极值与最值（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） 9页

第二节 利用导数研究函数的极值与最值 ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 导数及其应用　　‎ 利用导数研究函数的单调性与极值 ‎　 　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎【直击考点】‎ 题组一　常识题 ‎1．[教材改编] 函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是______________．‎ ‎【解析】 f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，解得x>ln 2，则函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．‎ ‎2．[教材改编] 函数f(x)＝x3－12x的极小值是________，极大值是________．‎ ‎【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，‎ ‎3．[教材改编] 一条长为2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．‎ ‎【解析】设两段铁丝的长分别为x，2a－x.则两个正方形的面积之和为S＝＋＝－＋，则S′(x)＝－，令S′(x)＝0得x＝a.当xa时，S′(x)>0.所以S在x＝a处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.‎ 题组二　常错题 ‎4．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为______________．‎ ‎【解析】 y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得00时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.‎ ‎6．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．‎ 题组三　常考题 ‎7． 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．‎ ‎【解析】 f′(x)＝k－，由已知得f′(x)≥0在(2，＋∞)上恒成立，故k≥.因为x>2，所以0<<，故k的取值范围是. ‎ ‎8．函数f(x)＝x－ln x在(2，＋∞)上的单调性是__________________．‎ ‎　【解析】 f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，所以函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数．‎ ‎【知识清单】‎ 考点1 运用导数求函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.‎ f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．‎ 考点2 运用导数求函数的极值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ 考点3 运用导数求函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ ‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 运用导数求函数的单调性 ‎【1-1】已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线与x轴平行．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间．‎ ‎【答案】(1) k＝1. (2) 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．‎ x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.‎ 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．‎ 【1-1】 ‎【1-2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【思想方法】‎ 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ‎(1)确定函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．‎ ‎【温馨提醒】在函数f(x)的定义域内研究函数单调性．‎ 考点2 运用导数求函数的极值 【2-1】 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ ‎【答案】(1) a＝e. (2) 当a ≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎【解析】(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，‎ 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.‎ x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，‎ 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，‎ 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎【2-2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝__________.‎ ‎【答案】18‎ ‎【思想方法】‎ 求函数极值的步骤:‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；‎ ‎(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况．‎ ‎【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．‎ 考点3 运用导数求函数的最值 【3-1】 已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ ‎【答案】(1) 单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2) (1－k)e. ‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当0