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- 2021-05-31 发布
北京市东直门中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高一数学
一、选择题
1.已知全集， ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为，，所以，故选D.
2.已知命题p：x <1，，则为
A. x ≥1, ＞ B. x <1,
C. x <1, D. x ≥1,
【答案】C
【解析】
根据全称命题与存在性命题之间的关系，
可知命题的否定为，故选C．
3.当时，函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当
时，函数有最小值，当时，函数有最大值，函数的值域为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查二次函数的值域的求解问题，属基础题.
4.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B．
5.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性、单调性的概念判断即可.
【详解】因为函数，是偶函数，函数是非奇非偶函数，排除B、C、D，函数既是奇函数，又在上单调递减，A正确.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，属常规考题.
6.若实数满足，.则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
因为，，所以先判断能否推出，再判断能否推出即可.
【详解】因为，又因为，，所以由可得到，即；同时，当时，，可得，所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充要条件的判断，关键在于充分条件、必要条件的定义的应用，属常规考题.
7.“，”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当时，由均值不等式成立．但时，只需要,不能推出．所以是充分而不必要条件．选A.
8.已知正实数满足，则的最大值是( )
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可.
【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题.
9.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据函数是偶函数，得，再由在上是增函数即可比较、、大小.
【详解】因为函数是偶函数，所以，又因为函数在上是增函数，且，所以，即
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小问题，属基础题.
10.已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由于y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当时，，
则时， ，当时，，
所以，
当时，，则，当时，成立，
当时， ，则，
综上：不等式的解集是，
选D.
【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=-f(-x)就可以求出x<0时的解析式；转化为分段函数问题，根据分段函数问题分段处理原则，分类讨论思想分步解不等式f(x)<，得出不等式的解.
11.函数的定义域为，“是奇函数”是“存在，”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由奇函数的定义直接判断即可.
【详解】根据奇函数的定义，须满足在定义域上的任意，都有成立，所以命题：若是奇函数，则存在，为真命题；而命题：若存在，，则函数是奇函数为假命题.所以“是奇函数”是“存在，”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属基础题.
12.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．
考点：函数奇偶性的判定．
13.函数，则的图象上关于原点对称的点共有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出与函数图象关于原点对称的函数的解析式为，在将问题转化为直线与曲线在上交点的个数，即在
上解的个数即可.
【详解】由已知，当时，，则与其图象关于原点对称的函数的解析式为，，此时的图象上关于原点对称的点的对数可转化为方程直线与曲线在上交点的个数，也即方程在上解的个数，解之得，方程有唯一解，所以的图象上关于原点对称的点共有对.
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数图象的对称性，关键是函数图象的对称性转化为方程问题，实现由形到数的转化，属中等难度题.
14.某码头有总重量为吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重吨的卡车( )
A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆
【答案】B
【解析】
【分析】
建立适当的数学模型，按照一定的顺序把货箱装入每辆卡车，从而求出装入这批货物的货箱所需要的卡车数.
【详解】由题意，将所有货箱任意排定顺序，首先将货箱依次装上第辆卡车，并直到再装个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第辆卡车旁，然后按照同样的办法装入第辆直到第辆卡车装完并在车旁放了个货箱为止.显然前辆卡车中每辆所装货箱及车旁所放箱的重量和超过吨，所以剩余货箱的重量和不足吨，可以全部装入第辆卡车，然后把前辆卡车车旁所放的各个货箱分别装入后辆卡车，每车个货箱，显然不超载.
这样就可用辆卡车一次运走这批货箱.
故选：B.
【点睛】本题主要考查生活中优化问题，关键是建立数学模型，属中等难度题.
15.函数，.若存在，使得
，则的最大值为
A. 5 B. 63 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，设，可得存在，，…，，使得，求得最值，即可得到所求的最大值．
【详解】函数，．
，
即为，
化为，
设，可得存在，，…，，
使得，
由处取得最小值2，在处取得最大值，
即有，
即为，可得的最大值为8，故选D．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想，以及二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，解题的关键是将题意等价转化为函数最大值与最小值之间的关系，属于中档题．
二、填空题
16.若集合，则________，_________．
【答案】 (1). . (2). 1.
【解析】
分析：由集合相等的概念分类讨论．
详解：由已知∵，∴，，从而，即，∴．
故答案为－1，1．
点睛：本题考查集合相等的概念，两个集合相等，则这两个集合中的元素一样，因此本题有，，从而易得结论．
17.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】
【解析】
试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
18.已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，那么____．
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系分析可得可得答案．
【详解】依题意可知x＝2是函数f（x）的极小值点，
又，
所以，＝0，
解得：a＝4,经检验成立
故答案为4
【点睛】本题考查函数的单调区间，涉及函数导数的判断方法，属于基础题．
19.已知函数是偶函数，则______________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义即可求解.
【详解】因为函数，且函数是偶函数，所以，即恒成立，可得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用偶函数的定义求函数解析式中的参数的值的问题，属常规考题.
20.已知,,且,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
21.设函数，
(1)若，则的单增区间为_______________；
(2)若函数的值域为，则的取值范围是_______________.
【答案】 (1). 、； (2). .
【解析】
【分析】
（1）分段判断即可；（2）因为函数的值域为，所以的值域分、两种情况讨论并根据的值域为分别列出不等式或不等式组解之即可.
【详解】（1）当时，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为、；（2）因为，其中函数的值域为，对于函数，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，要使函数的值域为，则有；当时，函数在上单调递增，此时，要使函数的值域为，则有，解之得.综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查求分段函数的单调区间及已知分段函数的值域求参数的取值范围问题，属中等难度题.
22.一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图1，有以下四个说法：
①在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加；
②在整个跑道中，最长的直线路程不超过；
③大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；
④在图的四条曲线(为初始记录数据位置)中，曲线最能符合赛车的运动轨迹.
其中，所有正确说法的序号是__________________.
【答案】①④.
【解析】
【分析】
①显然正确；②错.因为从增速开始至开始减速，赛车都在进行直线路程的行驶；③显然错误；④正确.由图知，赛车经历了次转弯，且第二次减速最多，所以第二个弯道最大.
【详解】由图可知，该赛车先在直道行驶不到，转过弯道又进入直道，加速行驶，以此循环行驶，在到之间，赛车速度逐渐增加，故①正确；由于赛车必须在进入弯道前的直道就减速，过了弯道进入直道就需要逐渐加速，由图可知，最长的直道一定大于，例如到这段肯定直道大于，由此可知赛车开始最长直线路程的行驶的路段也是从处开始，故②③错误；结合图和图可知，赛车赛程是：短直道-弯道-较长直道-弯道-长直道-小弯道-小直道，因此只有曲线最能符合赛车的运动轨迹，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】本题主要考查函数的实际应用，利用图象还原赛车的路线，要考虑到实际情况，特别是进入弯道前就需要提前减速，过了弯道进入直道就需要逐渐加速.属中等难度题.
三、解答题
23.已知全集，集合，，.
(1)求，；
(2)若，试求实数的取值范围.
【答案】（1）或，或；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出集合、后直接计算即可；（2）列出不等式组解之即可.
【详解】（1）因为，或，所以或，又或，所以或；（2）易知，当时，有，解之得，所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查集合运算及已知集合的运算结果求参数的取值范围问题，属常规考题.
24.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放个(，且)单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中， 它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(分钟)变化的函数关系式近似为，其中.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，求的值；
(2)若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放个单位的洗衣液，分钟后再投放个单位的洗衣液，则在第分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由.
【答案】（1）；（2）分钟；（3）见详解.
【解析】
【分析】
（1）由只投放一次个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升，根据已知可得，，代入可求出的值；（2）由只投放一次个单位的洗衣液，可得，分、两种情况解不等式即可求解；（3）令，由题意求出此时的值并与比较大小即可.
【详解】（1）因为，当两分钟时水中洗衣液的浓度为克/升时，可得，即，解得；（2）因为，所以，当时，，将两式联立解之得；当时，，将两式联立解之得，综上可得，所以若只投放一次个单位的洗衣液，则有效去污时间可达分钟；（3）当时，由题意，因为，所以在第分钟时洗衣液能起到有效去污的作用.
【点睛】本题主要考查分段函数模型的选择和应用，其中解答本题的关键是正确理解水中洗衣液浓度不低于克/升时，它才能起到有效去污的作用，属中等难度题.
25.已知是定义在上的偶函数，且当时，.
(1)写出函数的解析式和单调减区间；
(2)若函数，，求函数的最小值.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用函数为偶函数，先求出当时，函数的解析式，即可写出分段函数的解析式，再分段求出单调减区间即可；（2）因为，所以，然后分、、三种情况讨论函数的单调性即可求出相应的最小值.
【详解】（1）由已知可得，当时，，，即当时，，所以；当时，在
上单调递减，当时，在上单调递减，所以的单调减区间为、；（2）当时，，，当，即时，在上单调递增，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，；当，即时，在上单调递减，.综上所述，当时，；当时，；当时，.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式问题、分段函数的单调性问题、含参数的二次函数的最值问题等，属中等难度题.
26.设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)
【解析】
【详解】（Ⅰ），．
（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，
相应的分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、，
、、、，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，
所以集合、、、满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为．
（Ⅲ），
此时中有个元素，下证其为最大．
对于任意两个不同的元素，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素.