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- 2021-05-31 发布
洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试
高二数学试卷（文）
参考公式：
1.独立性检验相关公式及参考数据：
2.回归直线方程，
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。”上述推理用的是（ ）
A.类比推理 B.演绎推理 C.归纳推理 D.以上都不对
3.若复数满足方程，则在复平面上表示的图形是（ ）
A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.双曲线
4.下列关于结构图的说法不正确的是（ ）
A.结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系和逻辑上的先后关系
B.结构图都是“树”形结构
C.简洁的结构图能更好的反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D.复杂的结构图能更详细的反映系统中各细节要素及其关系
5.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，，
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A.假设，，都是偶数 B.假设，，都不是偶数
C.假设，，至少有一个是偶数 D.假设，，至多有两个是偶数
6.为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为6（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是（ ）
A.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”
B.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”
C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”
D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”
7.有一段“三段论”，推理是这样的：函数在定义域内可以求导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处满足，所以是函数的极值点，以上推理中（ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
8.一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：
年龄（岁）
6
7
8
9
身高（cm）
118
126
136
144
由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为（ ）
A.154 B.153 C.152 D.151
9.实数，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
11.研究变量，得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；
③由样本数据得到的回归方程一定过样本点的中心；
④若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道，给出下列函数：①；②；③；④.其中在区间上通道宽度可以为1的函数的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数满足，那么 ．
14.甲、乙、丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：
甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么通过考试的是 ．
15.将全体正偶数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是 ．
16.有以上结论：
①若，，则的充要条件是，；
②若实数与对应，则实数集与虚数集是一一对应；
③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
④由“若，，，则”类比可得“若，，为三个向量，则.其中正确结论的序号为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知为虚数单位，是复数，若为纯虚数，且.
（1）求复数；
（2）若复数和复数在复平面上对应的点均在第四象限，求实数的取值范围.
18.在数列中，，当时，.
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并证明你的结论.
19.证明：若，，，则，，至少有一个不小于2.
20.某高中文学社从高二文科学生中抽取男生60名，女生40名调查对100篇文学名篇的了解程度，统计结果如下：
阅读过的作品数（篇）
男生
3
9
18
15
6
9
女生
6
4
5
10
13
2
（1）试估计该校学生阅读文学名篇的平均数（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，阅读量与性别是否有关；
（2）阅读量不低于80篇的称为“非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对文学名篇“非常了解”与性别有关？（公式数据参考卷首）
非常了解
一般了解
合计
男生
女生
合计
100
21.某饮料店为了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，记录了周一至周五的平均气温（℃）与奶茶销量（杯），得到如下数据：
平均气温（℃）
9
11
12
10
8
销量（杯）
23
26
30
25
21
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据（1）求出的线性回归方程，预测平均气温均为20℃时该奶茶店的这种饮料销量.
（，）
22.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）试证明：（…，）.
洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试
高二数学试卷参考答案（文）
一、选择题
1-5:DCBBB 6-10:AABDC 11、12：CC
二、填空题
13. 14.甲 15. 16.③
三、解答题
17.解：（1）设（，），
由为纯虚数，得且……①
由，得……②
由①②可得，，或2.
∴或.
（2）∵在第四象限，∴，
∴，
根据条件，可知，
解得，
∴实数的取值范围是.
18.解：（1）当时，，由得，
，，.
（2）猜想：.
证明：当时，由得，，
∴，又因为，
∴是以1为首项，为公差的等差数列，
∴.
19.证明：假设，，都小于2，即
，，，
所以，
即，
又因为，，，，
同理，，
三式相加，，
这与相矛盾，
所以假设不成立，即，，至少有一个不小于2.
20.解：（1）男生的平均阅读量为：
.
女生的平均阅读量为：
.
从男、女生各自的平均阅读量来看，并不能判断阅读量与性别有关.
（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中“非常了解”有15人，“女生组”中“非常了解”有15人，据此可得列联表如下：
非常了解
一般了解
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
计算.
因为，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“对文学名篇‘非常了解’与性别有关”.
21.解：（1）
（2），
，
∴，
，
∴.
（3）当时，.
故预测平均气温约为20℃时该奶茶店的这种饮料销量为46杯.
22.解：（1），，
则，
解，得，
解，得.
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
令，则，
∴要证只需证，
由（1）知，
∴，即，
∵，
∴，从而.