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- 2021-05-31 发布
2016-2017学年四川省绵阳市东辰国际学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣1，0，1}
3．已知命题p：ex＞1，命题q：log2x＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列说法错误的是（ ）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．若命题p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题．
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件
5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
8．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ ）
A．150 B．160 C．170 D．180
9．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（ ）
A．f（x）=2不是“关于t函数”
B．f（x）=x是一个“关于t函数”
C．“关于函数”至少有一个零点
D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
二．填空题化简求值：（）+lg﹣1g25= ．
14．已知=（1，2），=（x，1），若∥（﹣），则|+|= ．
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e﹣kt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要 小时．
16．已知函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则函数f（x）的值域为 ．
三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求实数m的取值范围．
20．设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）=+x2﹣x（其中e=2.71828…）．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=ln[f（x）﹣x2+x]﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞g′（）．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
2016-2017学年四川省绵阳市东辰国际学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．
【解答】解：∵复数==1+i，
∴复数对应的点的坐标是（1，1）
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，
故选A．
【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．
2．已知集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】由集合A，求出集合B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，1，2，4}，
∴B={y|y=log2|x|﹣3，x∈A}={﹣2，﹣1，﹣3}，
∴A∩B={﹣2，﹣1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
3．已知命题p：ex＞1，命题q：log2x＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：由ex＞1，得x＞0，
由log2x＜0，得0＜x＜1，
所以则p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的运用，比较基础．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0
B．若命题p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题．
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件
【考点】命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】A．由非命题的定义即可得出；
B．取x=2kπ（k∈Z）满足等式，可知p是真命题；q：利用二次函数的单调性可判断出出是真命题，再利用“非命题”和“且命题”即可判断出．
C．利用否命题的意义即可得出；
D．由“θ=30°”⇒“”，反之不成立，再利用充分必要条件即可判断出．
【解答】解：A．命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，由非命题的意义可得：￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，正确；
B．由命题p：∃x∈R，cosx=1，是真命题，例如x=2kπ（k∈Z）满足等式；
q：∀x∈R，x2﹣x+1=＞0，是真命题，则￢q是假命题，可得“p∧￢q”为假命题，因此B正确；
C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，正确；
D．由“θ=30°”⇒“”，反之不成立，因此“”是“θ=30°”的必要不充分条件，因此不正确．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、三角函数的性质、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．
【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．
【解答】解：
由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a
即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．
故选C
【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．
6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，
可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，
则φ的一个可能取值为，
故选：B．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
8．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为（ ）
A．150 B．160 C．170 D．180
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且a1+a4+a7=390，S9=1260，利用等差数列的性质求得a4，a5的值，进一步求得公差，则答案可求．
【解答】解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，
且a1+a4+a7=390，S9=1260，
则，∴a4=130，a5=140，
∴d=a5﹣a4=10，
则a8=a5+3d=140+30=170．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
9．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．
【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，
当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，
当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于中档题．
10．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（ ）
A．f（x）=2不是“关于t函数”
B．f（x）=x是一个“关于t函数”
C．“关于函数”至少有一个零点
D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据“关于t函数的概念”可知，只有存在常数t，使得f（t+x）+tf（x）=0恒成立即可．依此逐项求t即可．
【解答】解：对于A：f（x）=2时，令t=﹣1，可知f（x﹣1）=﹣（﹣1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于﹣1函数”，所以A错；
对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t﹣1）x+t=0恒成立，因此需满足，无解．所以B错；
对于C：因为是“关于函数”，所以f（x+）=﹣f（x）恒成立，不妨取x=x0，且f（x0），所以，所以，故在区间（x0，x0+）必有零点．故C正确．
对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=﹣sinπx恒成立．即t=1，所f（x）=sinπx是一个“关于1函数”．故D错误．
故选C．
【点评】本题是一个新定义题目，要注意给的定义式是一个恒等式，需要在解题时引起注意．
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．
【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，
由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；
故x3（x1+x2）+=﹣+x4，
其在1＜x4≤2上是增函数，
故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；
即﹣1＜﹣+x4≤1；
故选B．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
12．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：令g（x）=，x∈（0，+∞），
g′（x）=，
∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴＜，∴＜．
令h（x）=，x∈（0，+∞），
h′（x）=，
∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴＞，∴＜．
综上可得：＜＜，
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（2015涪城区校级模拟）化简求值：（）+lg﹣1g25= 0 ．
【考点】有理数指数幂的化简求值；有理数指数幂的运算性质．
【分析】根据指数幂的运算法则进行化简即可
【解答】解：原式=：（）+lg=+lg=2﹣2=0．
故答案为：0
【点评】本题主要考查指数幂和对数的基本运算，比较基础．
14．已知=（1，2），=（x，1），若∥（﹣），则|+|= ．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
【解答】解： =（1﹣x，1）．
∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣1=0，解得x=．
∴=．
则|+|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e﹣kt，如果在前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要 15 小时．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了l0%的污染物，求出k的值，从而得到过滤过程中废气的污染指数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e﹣kt，当P=27.1%P0时，有27.1%P0=P0，求出t值得答案．
【解答】解：由题意，前5个小时消除了l0%的污染物，
∵P=P0e﹣kt，
∴（1﹣10%）P0=P0e﹣5k，
∴k=﹣ln0.9，
则P=P0，
消除27.1%的污染物，则27.1%P0=P0，
即，
解得：t=15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查函数模型的运用，考查学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题．
16．已知函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，则函数f（x）的值域为 [﹣36，+∞） ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【分析】根据函数的对称性，求出a，b值，得到函数的解析式，结合导数法求出最小值，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=（x2﹣1）（x2+ax+b）的图象关于直线x=3对称，
∴f（6﹣x）=f（x），
即[（6﹣x）2﹣1][（6﹣x）2+a（6﹣x）+b]=（x2﹣1）（x2+ax+b）
解得：，
故f（x）=（x2﹣1）（x2﹣12x+35），
则令f′（x）=4（x﹣3）（x2﹣6x﹣1）=0，
解得：x=3或x=3±．
当x＜3﹣，或3＜x＜3+时，f′（x）＜0函数为减函数．
当3﹣x＜3，或x＞3+时，f′（x）＞0函数为增函数．
∵f（3±）=﹣36．
函数f（x）的值域为[﹣36，+∞）
故答案为：[﹣36，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用导数求函数的最值，难度中档．
三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an
（II）由==，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易
18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），
∴它的最小正周期为=π．
（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为 1+×（﹣）=0，
当2x+=时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．
19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）恒成立可求；
（Ⅱ）不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m对任意x∈R成立，等价于[f（x）+f（﹣x）]min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（﹣x）]min，然后构造关于t的一次函数，利用一次函数的性质可求得m范围．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（﹣x）恒成立，
则，
∴，
∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故．
（Ⅱ）
=．
当且仅当x=0时取等号，
∴mt+m≤1对任意t∈[﹣2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由，解得，
故实数m的取值范围是．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数最值解决．
20．设函数f（x）=+lnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．
（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1f（x1）≥g（x2）成立，则x1f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；
若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…
（Ⅱ），，
可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，
当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，
而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，
依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，
即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx； …
令，
则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，
当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，
即h（x）在区间上单调递增；
当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；
所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，
故 a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…
【点评】本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．
21．已知函数f（x）=+x2﹣x（其中e=2.71828…）．
（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=ln[f（x）﹣x2+x]﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞g′（）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出g（x）的解析式，求出导数，由零点的定义，运用换元法和构造函数法，结合分析法证明，以及函数的单调性，即可得到证明．
【解答】解：（1）函数f（x）=+x2﹣x的导数为f′（x）=+2x﹣1，
f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=1，切点为（1，），
可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣=x﹣1，
即为y=x﹣1+；
（2）证明：由题意知函数g（x）=lnx﹣x﹣b，所以g′（x）=﹣1，
因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，所以，相减得x2﹣x1=ln，
令=t＞1，则x2=tx1，即tx1﹣x1=lnt，则x1=，x2=，
要证g′（x1）+g′（x2）＞g′（），即证+＞+1，
即证+＞+1，
即证t﹣﹣﹣lnt＞0，
令φ（t）=t﹣﹣﹣lnt，φ′（t）=1+﹣﹣=，
令m（t）=t4+t3﹣4t2+t+1，m′（t）=4t3+3t2﹣8t+1，令h（t）=4t3+3t2﹣8t+1，
h′（t）=12t2+6t﹣8＞0恒成立，
m′（t）在（1，+∞）递增，可得m′（t）＞m′（1）=0，
m（t）在（1，+∞）递增，m（t）＞m（1）=0，
即φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）递增，
φ（t）＞φ（1）=0，
即原不等式成立．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
则=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
则AD=3，
由切割线定理得AB2=ADAE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直径为3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．
（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ2=2，化为x2+y2=，
配方为=3．
（II）设P，又C．
∴|PC|==≥2，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2015陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．