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- 2021-05-31 发布
江苏省邗江中学2018-2019学年度第一学期
高二数学期中试卷
命题人：管永建
说明：本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（填空题 共70分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.命题“，”的否定是 ▲ ．
2.函数在点处切线的斜率为 ▲ ．
3.若双曲线的焦距为,则其离心率 ▲ ．
4.函数的单调减区间为 ▲ ．
5. 已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为 ▲ ．
6. “”是“”成立的 ▲_ 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）
7.抛物线上的点到焦点的距离为5，为坐标原点，则 ▲ ．
8. 已知抛物线的准线经过双曲线的右顶点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
9.已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上．直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ▲ ．
10. 若函数在区间上有极小值，则实数的取值范围为 ▲ ．
11.已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为_____ ▲ _．
12. 已知直线，分别与直线和曲线交于点M,N两点，则线段MN长度的最小值是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系中，点Q为圆上的一动点，直线与直线相交于点P,则当实数k变化时，线段PQ长的最小值是 ▲ ．
14.已知函数，（为自然对数的底数），若使得函数有三个零点，则m的取值范围是 ▲ ．
第Ⅱ卷（解答题 共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
已知直线.
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数的取值范围.
16.（本题满分14分）
已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.
（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17.（本题满分14分）
已知圆一动直线过与圆相交于两点，是的中点，与直线相交于
（1）当时，求直线的方程；
（2）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
18.（本题满分16分）
一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．
（1）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；
（2）设∠BAP＝，求cos的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．
19.（本题满分16分）
如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
N
D
M
C
B
A
y
x
O
（第19题图）
（3）求证：为定值．
20.（本题满分16分）
已知函数．
(1)求过点的的切线方程;
(2)当时,求函数在上的最大值;
(3)证明:当时,不等式对任意均成立(其中为自然对数的底数,)．
江苏省邗江中学2018-2019学年度第一学期
高二数学期中试卷 参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. ，．2. 3.，4. 如写成也正确
5. 6.必要不充分 7. 8.
9. 10. 11. 12.13．2 ，14.
15.解：（1)与直线平行的直线的斜率为， ……………………2 分
因为点在该直线上，
所以所求直线方程为， ……………………4 分
即直线方程为. ……………………6 分
（2）直线与两坐标轴的交点分别为，… …8分
则所围成的三角形的面积为， …………10 分
由题意可知，
化简得，
解得或，
所以实数的取值范围是. ……………………14 分
16.解：
（1）若命题为真命题时，
则由方程
即表示圆， ……………………2 分
∴解之得 ……………………4 分
∴ ……………………6 分
（2）由成立得 ……………………8 分
∴，
若是的必要不充分条件，则， ……………………10 分
∴ ……………………12 分
解之得
∴ ……………………14 分
17.解：（1）①当直线与轴垂直时，易知符合题意……… 1分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
则由，得 ……… 4分
……………………5 分
综上，所求的直线的方程为………6分
(2)
当直线与轴垂直时，易得，
则
……… 8分
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
则由，得， ……………………12 分
则
综上，与直线的斜率无关，因此与倾斜角也无关，
且………14分
18.解（1）在△AOM中，
∴ …………………2 分
化简得：
∵＞0，∴＝1， …………………4 分
则，3×1＝3
答：小路ON段的建造费用为3万元． ……………………6 分
（2）由正弦定理得：
则，
……………………9 分
设小路AO段与ON段的建造总费用为
则， ……………………11 分
，若满足，且，
列表如下：
(，)
(，)
﹣
0
﹢
则当＝时，有极小值，此时也是的最小值
∴ ……………………15 分
答：当cos，小路AO段与ON段的建造总费用最小．……16 分
N
D
M
C
B
A
y
x
O
（第19题图）
19.解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.
得 解得 ……………………2 分
所以，椭圆的标准方程为. …………………4分
（2）由（1）知，设，
因为，得，所以， ………………6 分
代入椭圆方程得或，所以或，
所以的方程为：或. ……………9 分
（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，
联立椭圆方程得：解得,. ……12 分
由，得直线BD的方程：， ①
直线AC方程为， ②
联立①②得， ………………………………15 分
从而=2为定值. ……………………………16 分
解法2：设D坐标为(x3，y3），
由C,M,D三点共线得，所以， ① ………………10 分
由B,D,N三点共线得，将 代入可得
， ② ……………………………12 分
①和②相乘得，
. …………………………16 分
20.解：
(1)设切点坐标为,则切线方程为,
将代入上式,得,
∴切线方程为; ……………………3 分
(2)当时,,
∴, ……………………4 分
当时,,当时,,
∴在递增,在递减, ……………………6 分
∴当时,的最大值为;
当时,的最大值为; ……………………8 分
(3)可化为,
设
,要证时对任意均成立,
只要证,下证此结论成立． ……………………9 分
∵,∴当时,,
设,则,∴在递增, …11 分
又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线,且,
∴使得,即, ……13 分
当时,;当时,;
∴函数在递增,在递减,
∴,
∵在递增,∴,
即,
∴当时,不等式对任意均成立．
……………………16 分