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- 2021-05-31 发布
周口中英文学校2017-2018年下学期高二期中考试数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
（理科）
一、选择题 (共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的)
1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
2．已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为 ( )
(A) 4 (B) (C) 6 (D) 0
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1
C．1 D．e
4.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②
5.曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6.函数在处有极值10, 则点为 （ ）
（A） （B） （C） 或 （D）不存在
7.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”
的 （ ）
（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）必要条件
8.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则( )
图1
A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
9.现有4种不同款式的上衣和3不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）。
A: 7 B: 12 C: 64 D: 81
10.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
11.计算 C34 + C35 + C36 +…+ C32015 的值为（ ）
A. C42016 B. C52016 C. C42016 -1 D. C52016 -1
12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为( )
A．恒正 B．恒等于0 C．恒负 D．不确定
二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)
13.定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数
．
14．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
… … …
记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,
可以求得当时, ．
15.已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________ .
16.设函数f(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则f(x)在［0,1］上的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知函数f(x)＝x3-3x (x∈R)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
18.（1）求定积分 的值 ；
(2)若复数，，且为纯虚数，求
19.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
20.设数列满足
（1） 当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；
（2） 当时，证明对所有，有
①
②
21.在一次数学竞赛中，某学校有十二人通过了初试，学校要从中选取5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
1. 任选5人
2. 甲乙丙三人必须参加
3. 甲乙丙三人不能参加
4. 甲乙丙三人只能有一人参加。
22.已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.
高二期中(理)答案
1-5 :BBBDD 6-10:BAABA 11-12:CA
13:1-i 14 15:11 16:
17. 1
18. （2）
19. (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞， －1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1, ＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3
＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
20.
21.(1)有C512=792种不同的选法
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中再选2人即可,共有C29=36种不同的选法
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126种不同的选法
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法,再从另外的9人中选4人有C49种选法.所以共有C13C49=378种选法
22.(1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
所以－1