2018-2019学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 14页

绝密★启用前 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“， ”的否定为（ ）‎ A. “， ” B．“， ”‎ C．“， ” D．“， ”‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特称命题的否定为全称命题可得命题“， ”的否定为“， ”，故选C.‎ ‎2．在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再根据实部和虚部的符号确定所在象限.‎ ‎【详解】‎ ‎.所以在第三象限，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法.复数除法运算一般是使其分母实数化.题目较为容易.‎ ‎3．“”是“函数有零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需 ，故选A．‎ 考点：充分必要条件．‎ ‎4．函数的定义域为开区间(a, b)，其导函数在(a, b)内的图象如图所示，则函数在开区间(a, b)内极大值点的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数图像推演出函数单调性的变化情况，从而可得极大点的个数.‎ ‎【详解】‎ 根据导数图像可知，函数在区间上单调性的变化是：先增后减，再增又减，故极大点有2个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数图像判断函数的单调性问题，导数值为正则函数为增，导数值为负则函数为减.‎ ‎5．i是虚数单位，‎ A．i B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用虚数单位的周期性，可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的乘方运算.注意到，，，能简化运算.‎ ‎6．已知命题p：方程有实数根，命题，，则，‎ ‎，，这四个命题中，真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先根据指数的性质判定命题，根据二次函数的性质判断命题的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.‎ 详解：∵，∴是方程的根，故命题：方程有实数根为真命题；又∵恒成立，所以命题：，为假命题，根据复合命题真假性的判断可得为假，为真，为假命题，为真命题，即真命题的个数为2个，故选B.‎ 点睛：本题考查了指数的性质、一元二次不等式成立问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．已知函数，为的导函数，则 A．1 B． C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，代入1可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎，代入可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算.熟悉导数的运算规则，明确为常数是求解关键.‎ ‎8．已知函数的图像在点处的切线的斜率为3，设数列的前n项和为，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求出b，再利用裂项求和求得.‎ ‎【详解】‎ ‎,由题意可得，即.，‎ 所以.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义及数列求和.函数在某点处的导数值即为该点处切线的斜率.裂项相消求和是注意剩余项.‎ ‎9．设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导数，结合导数的几何意义，可得斜率的范围，从而可求倾斜角的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，由于，所以，所以，‎ 结合正切函数的图像可得.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义.题目相对简单，但是要注意倾斜角的求解时，要关注正切函数的图像.‎ ‎10．下列命题正确的是 ‎（1）命题“，”的否定是“，”；‎ ‎（2）l为直线，，为两个不同的平面，若，，则；‎ ‎（3）给定命题p，q，若“为真命题”，则是假命题；‎ ‎（4）“”是“”的充分不必要条件．‎ A．（1）（4） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用可以判定.‎ ‎【详解】‎ 对于（1）“，”的否定就是“，”，正确；‎ 对于（2）直线可能在平面内，所以不能得出，故不正确；‎ 对于（3）若“为真命题”则均为真命题，故是假命题，正确；‎ 对于（4）因为时可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分条件,故不正确.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识拼盘.‎ ‎11．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，令，由可得，即函数为减函数，利用单调性结合选项，分析即可得结论. ‎ 详解：构造函数，‎ 则其导数，‎ 由，且恒有，‎ 可得，所以函数为减函数，‎ 又由，则有，‎ 即，可得，‎ 又由，则有，即，‎ 分析可得，故选C.‎ 点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.‎ 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..‎ ‎12．已知直线，若与直线和曲线分别交于A，B两点，则的最小值为 A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出与直线平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得.‎ ‎【详解】‎ ‎,令可得，所以切点为.‎ 根据题意可知且，所以，此时.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数在[2, 6]内的平均变化率为________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均变化率的求解方法求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以平均变化率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均变化率的求解，题目较为简单，明确求解步骤是解题关键.‎ ‎14．复数,，则的最大值是___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，且，求出 ，再由三角换元可求出最大值。‎ ‎【详解】‎ 设，且，，‎ 所以 ‎ 所以最大值为，填3+。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模的最值问题，利用待定系数法结合函数思想求得最值。‎ ‎15．古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，按此规律，______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察式子构成规律，总结规律，得到结论。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，关键是找到所给条件的一般性规律，从而得到结论。‎ ‎16．已知函数与x轴有唯一公共点，则实数a的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数判断函数的图像特征，只有一个零点可得.‎ ‎【详解】‎ ‎,当时，所以函数为增函数，注意到，所以此时只有一个零点；当时，，‎ 所以在时取极小值，由题意可知时符合，‎ 令.‎ 单调递增；单调递减.‎ ‎，当且仅当时.‎ 综上可知.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，含有参数时，注意对参数的讨论.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数．‎ ‎（1）求复数z的模；‎ ‎（2）若复数z是方程的一个根，求实数m，n的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）4，10‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先利用复数的除法法则和减法法则化简，再利用模公式进行求解；（2）将代入方程，再利用复数相等进行求解.‎ 详解：（1） ，∴ ‎ ‎（2）∵复数是方程的一个根 ‎∴ ‎ 由复数相等的定义，得：‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎∴实数m,n的值分别是4,10.‎ 点睛：本题考查复数的四则运算、复数的模及复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力.‎ ‎18．已知命题函数在上单调递增；命题关于x的不等式的解集为R．若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由为真命题，为假命题可知，、必定是一真一假.故先讨论“命题为真，命题”为真的情况，根据命题、一真一假，得到的取值范围．‎ 试题解析：若命题为真，因为函数的对称轴为，则 若命题为真，当时原不等式为，显然不成立 当时，则有 由题意知，命题、一真一假 故或 解得或 考点：1.简单的逻辑连接词；2.二次函数的单调性；3.一元二次不等式的解法.‎ ‎19．已知函数，若在处取极大值，且极大值为7，在处取极小值． ‎ ‎（1）求a，b，c的值；‎ ‎（2）求函数在[0, 4]上的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极值点处的导数值为0，及极值可求a,b,c;‎ ‎（2）先求出[0, 4]上的极值，再求出端点值，比较可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ 而x＝－1和x＝3是极值点 所以，解之得：a＝－3，b＝－9‎ 又f（－1）＝－1+a－b+c＝－1－3+9+c＝7，故得c＝2‎ ‎∴a＝－3，b＝－9，c＝2 经检验知符合题意.‎ ‎（2）由（1）可知 ‎∴‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜－1‎ 令f′（x）＜0，解得：－1＜x＜3‎ ‎∴函数f（x）在[0，3]递减，在[3,4]递增，‎ ‎∴f（x）最小值＝f（3）＝－25‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，利用极值求解参数时，注意对所求结果的检验；利用导数求解最值时，一般是先求极值，再求端点值，比较可得.‎ ‎20．在即将进入休渔期时，某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积产品的净利润万元与投入x万元之间近似满足函数关系：，若投入2万元，可得到净利润5.2万元．‎ ‎（1）试求实数a的值，并求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；‎ ‎（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由．（参考数据：，，此题运算过程及结果都用此参考数据计算．）‎ ‎【答案】（1）8；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=-4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值； （2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知，当x＝2时，f(2)＝5.2，即有aln 2－×22＋×2＝5.2，解得a≈－4.则f(x)＝当2≤x≤15时，f′(x)＝－－x＋＝－.当2＜x＜8时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当8＜x＜15时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故当2≤x≤15时，f(x)max＝f(8)＝－4ln 8－16＋36≈11.6.当0＜x＜2时，f′(x)＝4x－2ln 2≈4x－1.4，令f′(x)＝0，得x＝0.35，当x∈(0，0.35)时，f′(x)<0，当x∈(0.35，2)时，f′(x)>0.所以易知f(x)＜2×4－(2ln 2)×2≈5.2.故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大．‎ ‎(2)当0＜x＜2时，2x2－(2ln 2)x＜0，解得0＜x＜ln 2，即当0