江西省宜春市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试卷 12页

数学（文科）试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1． 命 题 “ 若 x > 0 ， 则 2x > 1 ” 的 否 命 题 是 （ ） ‎ A．若 x > 0 ，则 2x £ 1 B．若 x £ 0 ，则2x > 1 ‎ C．若 x £ 0 ，则2x £ 1 D．若2x > 1 ，则 x > 0 ‎ ‎2．设数列{an}中, a1 = 2, an+1 = an + 3, 则数列{an}的通项公式为 （ ） ‎ A． an = 3n B． an = 3n -1 C． an = 3n + 1 D． an = 3n - 2 ‎ ‎3． 在 △ ABC 中 ， a = 4, A = 30○ ， B = 60○ ， 则 b 等 于 （ ） ‎ ‎3‎ A．6 B． 4‎ ‎ C．‎ ‎ D．9 ‎ ‎3‎ ‎4． x = 2 是 x2 + x - 6 = 0 的 （ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎ 5. 已知双曲线 ‎2‎ ‎2 y C : x - = b2‎ ‎‎ ‎1(b > 0) 的焦距为 4,则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） ‎ A． y = ± 15x B． y = ±2x C． y = ±3x D． y = ± ‎ ‎3x ‎ 5. 已知△ABC 的三个内角满足sinA:sinB :sinC = 5:11:13 ，则△ABC 是 （ ） ‎ A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一 个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为 （ ） ‎ A．48 里 B．24 里 C．12 里 D．6 里 ‎ 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点 F1 、F2 在 x 轴上，离心率为 2 ，‎ ‎2‎ 过 F1 的直线l 交C 于 A、B 两点，且DABF2 的周长为 16，那么C 的方程为 （ ） ‎ x2 y2 x2‎ A． + = 1 B．‎ ‎‎ y2 x2‎ + = 1 C．‎ y2 x2‎ + = 1 D．‎ y2‎ + = 1 ‎ ‎36 18‎ ‎16 10‎ ‎4 2 16 8‎ 8. 设函数 f (x) = a ln x + bx2 ，若函数 f (x) 的图像在点(1,1) 处的切线与 y 轴垂直，则实数 a + b = （ ） ‎ A．1 B． -1 C． 1 2‎ ‎1‎ ‎ D． 4‎ ‎10． 已 知 x, y Î R ， 且 x > y > 0 ， 则 （ ） ‎ A． x - y > 1 - 1 B． cos x - cos y < 0 C． 1 - 1 > 0 D． ln x + ln y > 0 ‎ x y x y 11. 已知椭圆 x2 + y2 = 1(a＞b＞0) 的左，右焦点是 F , F ， P 是椭圆上一点，若 ‎ ‎ a2 b2 1 2‎ PF1‎ ‎‎ = 2 PF2‎ ‎，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） ‎ æ 0 1 ö æ 1 1 ö é 1 ö é 1 ö A． ç ‎， ÷B． ç ‎， ÷C． ê ‎，1÷ D． ê ‎，1÷ ‎ è 2 ø è 3 2 ø ë 3 ø ë 2 ø 11. 已知 f ¢ (x) 是奇函数 f (x)( x Î R) 的导函数，当 x Î(-¥, 0] 时， f ¢(x) > 1 ，则不等式 f (2x -1) - f (x + 2) ³ x - 3 的 解 集 为 （ ） ‎ A. (3, +¥) B. [3, +¥) C. (-¥,3] D. (-¥, 3) ‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ ìx + 2 y £ 2‎ í 12. 若变量 x, y 满足约束条件ïx + y ³ 0 ，则 z = x + 3y 的最小值为 ． ‎ î ïx £ 4‎ 13. 在DABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a cos C - ( 角 A 的大小为 ． ‎ ‎‎ ‎2b - c)cos A＝0 ，则 11. 已知等比数列{an} 中，a2 × a8 = 4a5 ，等差数列{bn}中，b4 + b6 = a5 ，则数列{bn}的前9‎ 项和S9 等于 ． ‎ 12. 如图，已知直线l ： y = k( x +1) (k > 0) 与抛物线C : y2 = 4x 相交于 A, B 两点，且满足 AF = 2 BF ，则k 的值是 ． ‎ ‎ 第 16 题图 ‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10 分）已知命题 p : "x Î é- 1 ,1ù ，不等式m - 2 ³ x 2 2‎ q 恒成立； ：方程 + y = ‎1‎ ê 2 úû x 0‎ 表示焦点在 x 轴上的椭圆． ‎ m2 4‎ （1） 若 ¬ p 为假命题，求实数m 的取值范围； ‎ （2） 若 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求实数m 的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎18．（12 分）已知正项等比数列{an}的前n 项和为 Sn ，且满足S3 - S1 = 12 ，2a2 + 3S1 = 14 ． ‎ （1） 求数列{an}的通项公式； ‎ （2） 数 列 b ，b - b ，b - b ，…，b - b 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，记c = bn ，‎ ‎1 2 1 3 2‎ n n -1‎ n a 求数列{cn}的前n 项和Tn ． ‎ ‎19．（12 分）已知 A, B, C 是DABC 的内角， a, b, c 分别是其对边长，向量 m = (sin B + sin A, sin C) ， n = (sin B - sin A, sin C - sin B) ，且m ^ n . ‎ （1） 求角 A 的大小； ‎ （2） 若a = 2 ， b + c = 4 ，求DABC 的面积. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（12 分）己知函数 f (x) =| 3x -1 | -2 | x +1| ‎ （1） 解不等式 f (x) < 4 ； ‎ （2） 若关于 x 的不等式 f (x) + 5 | x + 1|< -a2 + 5a 的解集不是空集，求a 的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎21．（12 分）已知椭圆C ： x a2‎ ‎‎ y2‎ + = 1(a > b > 0) . ‎ b2‎ ‎1‎ （1） 若椭圆的离心率为 2 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3 ，求椭圆C 的标准方程； ‎ （2） 点 P(m, 0) 为椭圆长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 b 的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两 a 点，试判断 PA + PB 是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明原因. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．（12 分）已知函数 f (x) = ex + ax2 - e2x . ‎ （1） 若曲线 y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x) 的单调区间； ‎ （2） 若 x Î(0,1) 时,总有 f (x) > xex - e2 x +1,求实数a 的取值范围. ‎ 数学（文科）参考答案 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D C C D B A C B 二、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎13.___-8__ 14.____ 15.__18__ 16._____‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，........................1分 即对 恒成立，则，所以.......4分 ‎（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，或．....5分 为真命题，且为假命题，、一真一假.........................6分 ‎①如果真假，则有，得；.........................8分 ‎②如果假真，则有，得．‎ 综上实数的取值范围为或．............................10分 ‎18.（Ⅰ）设数列的公比为，由已知得，由题意得，..2分 所以，解得，所以，............................4分 因此数列的通项公式为.........................................6分 ‎（Ⅱ）因为，......................8分 所以，‎ 所以数列的前项和..........12分 ‎19.(1)∵‎ ‎∴ .....................................................1分 ‎∴.................2分 ‎∴ ............................................3分 ‎∴ ..........................................5分 ‎∵‎ ‎∴; .......................................................6分 ‎(2)在中，， ‎ 由余弦定理知 .............8分 ‎ ‎∴ .................................................10分 ‎∴ .............................12分 ‎20.（1）由题意可得， ................2分 当时，，解得，无解， ........................3分 当时，，解得，即， .............4分 当时，，解得，即，......................5分 综上所述：不等式的解集即为 .........................6分 ‎（2），...8分 则由题可得 .......................................10分 解得 ....................................12分 ‎21.（1），即，， ................................1分 不妨令椭圆方程为， .............................2分 当时，，得出， ..................................3分 所以椭圆的方程为. .........................................4分 ‎ ‎（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，‎ 联立方程得， ....................5分 即，‎ ‎∴，， .......................................6分 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ................10分 ‎ 为定值. ....................12分 ‎22.由得: ...................................1分 在点处的切线斜率，则. ................2分 此时，.‎ 由，得.‎ 当时， ，在上单调递减； ................3分 当时, ， 在上单调递增. ...............4分 由得:.‎ 设，，则.‎ ‎，. ......................................5分 ‎① 当，即时，，在上单调递增，‎ ‎，不合要求，应舍去. .............................6分 ‎② 当，即时，，在上单调递减，‎ ‎，满足要求. ..............................8分 ‎③ 当，即时，令得.‎ 当时，在上单调递减;当时，在上单调递增. ......................10分 ‎ ‎，令得. ‎ 综合得，的取值范围为 .........................................12分