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- 2021-05-31 发布
南康中学2017～2018学年度第二学期高二第三次大考
数学（文科）试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.
1．若复数满足 i，其中i为虚数单位，则等于（ ）
A．i B．i C． D．
2．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
3．幂函数在为增函数，则的值为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
4．命题“对任意R，都有”的否定是（ ）
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．对任意R，都有
5．已知命题直线是曲线的对称轴；命题抛物线的准线方程为则下列命题是真命题的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．或
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．16
D．32
7.执行如下图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是（ ）
A．15 B．105 C．120 D．720
是
否
开始
输出
输入
结束
8. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的体积是（ ）
A． B．
C． D．
9.已知实数满足条件，若目标函数的最大值为9，则的最小值为（ ）
A． B．16 C．4 D．
10.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递减
C．若，则函数的图像在点处的切线方程为
D．若，则函数的图像与直线只有一个公共点
11.已知数列，满足，, 则数列的前项的和为（ ）
A． B. C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.
13．设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .
14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______________
15.已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是
16.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点为其右焦点，若,设,且，则椭圆的离心率的取值范围为______________
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设的内角的对边分别为，满足且，求的值.
18．（本小题满分12分）
某工厂生产两种元件，其质量按测试指标划分为：为正品，
为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
7
7
9
6
由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得，且两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等．
（Ⅰ）求表格中与的值；
（Ⅱ）若从被检测的5件种元件中任取2件，求取出的2件都为正品的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)三棱锥的体积
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率e的值；
（Ⅱ）已知过点H（2，0）的直线l
与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
（Ⅱ）若，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
南康中学2017～2018学年度第二学期高二第三次大考
数学（文科）参考答案
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
C
B
A
B
D
A
C
D
D
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13、 14、 15、 16、
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.解：⑴
…………………………6分
⑵
又……12分
18.解：(1)，，
由得： ①，又，
，
由得：． ②
由①②及解得：． …………………………6分
（2）记被检测的5件种元件分别为，其中为正品，
从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:
记“2件都为正品”为事件，则事件包含以下6个基本事件：
，即2件都为正品的概率为. …………………………12分
19.解：(Ⅰ)∵底面，且底面， ∴
由，可得
又∵ ，∴平面
注意到平面， ∴
∵,为中点，∴
∵， 平面
而平面，∴ ………6分
(Ⅱ) ,作, 面ABC ……8分
……12分
20.解：（Ⅰ）∵x2＝2py，∴，∴代入得
∴代点A到得t＝4．
∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率．……5分
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，
设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．
因为所以
所以切线l1，l2的斜率分别为，．
当l1⊥l2时，，即x1x2＝－2．
由得，
所以，解得．
又恒成立，
所以存在直线l的方程是，即……12分
21.解：（Ⅰ）依题意，，f'（1）=1+2a+b
又由切线方程可知，，斜率，
所以解得，所以 ………………3分
所以，
当x＞0时，x，f'（x），f（x）的变化如下：
x
（0，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘
所以f（x）极大值=f（2）=ln2﹣1，无极小值． ………………5分
（Ⅱ）依题意，f（x）=lnx+ax2+x，所以
①当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故无极值； ………………6分
②当a＜0时，令f'（x）=0，得2ax2+x+1=0，则△=1﹣8a＞0，且两根之积，
不妨设x1＜0，x2＞0，则，
即求使f（x2）＞0的实数a的取值范围．
由方程组消去参数a后，得， ………………
9分
构造函数，则，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，所以g（x）＞0解得x＞1，即，解得﹣1＜a＜0．
由①②可得，a的范围是﹣1＜a＜0． ……………12分
22.解：（1）由已知，由，消去得：
普通方程为，化简得……5分
（2）由sin(-)+=0知，化为普通方程为
圆心到直线的距离，由垂径定理……10分
23.解：（1）由，得，∴，
又的解集为．解得：；……5分
（2）．
又对一切实数x恒成立， ……10分