数学理卷·2017届陕西省师大附中高三下学期七模考试（2017 9页

陕西师大附中2017届高考数学模拟试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，则( )‎ ‎． ． ． ．‎ ‎2.已知复数满足，则复数的共轭复数为( ) ‎ ‎． ． ． ．‎ ‎3.命题“”的否定是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) ‎ ‎ ‎ ‎5.已知的展开式中( )‎ ‎ ‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是( )‎ ‎ ‎ ‎7.已知非零向量满足，且，则向量的夹角为( )‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图像，可将函数的图像( )‎ 向左平移个单位长度 向左平移个单位长度 向右平移个单位长度 向右平移个单位长度 ‎9.若双曲线 的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎10.已知数列、满足，其中是等差数列，且，则( )‎ ‎ ‎ ‎11.设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”。若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 ( )‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是( )‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设为椭圆的焦点，过在的直线交椭圆于 两点，且，则椭圆的离心率为______. ‎ ‎14.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值，则实数的取值范围______. ‎ ‎15.若函数,,则不等式的解集是______. ‎ ‎16.在中，的对边分别为,且满足 ,则面积的最大值为______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若，，求的值.‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，，，‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）从某校高三的学生中随机抽取了名学生，统计了某次数学模考考试成绩如下表：‎ ‎（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出 这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这名学生的平均成绩；‎ ‎（2）从这名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中名同学代表高三年级到外校交流，记这名学生中“期中考试成绩低于分”的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）设直线过抛物线的焦点且与抛物线分别相交于两点，已知,直线的倾斜角满足。‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设是直线上的任一点，过作的两条切线，切点分别为，试证明直线过定点，并求该定点的坐标。‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）设为实数，函数，.‎ ‎（1）求的单调区间与极值；‎ ‎（2）当时，求证：是的充分不必要条件.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号.）‎ ‎22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为和点 ‎（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，，且长度单位相同，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为曲线上一动点，矩形以为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标。‎ ‎ ‎ ‎23.不等式选讲(本小题满分分)‎ 设函数的最大值为.‎ ‎(1)求实数的值； ‎ ‎(2)求关于的不等式的解集.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 陕西师大附中2017届高考数学模拟试题参考答案 一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C B D D D C B A B A 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分.）‎ ‎. . . . ‎ 三、解答题（共5小题，计60分.）‎ ‎. (本题满分12分) ‎ 解：(1)=‎ ‎ 函数数的最小正周期为 又 ‎ 函数在区间上的最大值为，最小值为 ‎(2) ‎ 又 ，‎ ‎. ‎ ‎. (本题满分12分) ‎ 解：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，所以平面.由于平面，故.又，.‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以 又因为，所以，故，从而，，两两相互垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以为等边三角形.又，则，，，.‎ ‎，，.‎ 设是平面的法向量，则即，令，则.设是平面的法向量，则同理可取得.则，所以二面角的余弦值为.‎ ‎. (本题满分12分) ‎ 解;(1) ‎ 平均成绩为分 ‎(2)因为采用分层抽样，所以人中，成绩低于分的人数为5人，不 分组 频数 频率 ‎ ‎ 分数 低于分的人数为人，既的所有可能取值为，由于 所以，的分布列为：‎ 故 ‎ ‎ ‎. (本题满分12分) ‎ 解：（1）抛物线的方程为：。(利用焦点弦长公式或韦达定理均可)‎ ‎（2）设是直线上任意一点，过作抛物线的切线分别为，切点分别为，则的方程为： ① ‎ 的方程为： ② ‎ 因为都过点，所以有， ③ ‎ ‎ ④‎ ‎③和④表示两点均在直线，‎ 即直线的方程为：，又，所以：，‎ 所以直线的方程可化为：，即直线恒过点。‎ ‎(注：有关切线方程学生其他方法亦正确 予以给分，如导数的方法等)‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 解：（1），令得.当变化时，及的变化如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减↘‎ 极小值 单调递增↗‎ 所以的递减区间为，递增区间为；极小值为.‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 令，则，‎ ‎∵ ，易知.令，则.‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ 所以，从而.‎ 现在只需证明，即证明，‎ 令，，由得，经讨论知. 所以，证毕.‎ 四、选做题（请考生在第22、23题中任选一题做答,做答时请写清题号。）‎ ‎22.坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 解：(1)由 代入到曲线的极坐标方程中有：，即为曲线的普通方程。‎ ‎（2）设，则，则 所以，当时 所以矩形周长的最小值为4，此时点的坐标为。‎ ‎23.选修4—5：不等式选讲(本小题满分分)‎ 解:（1）‎ 当且仅当 时等号成立。故函数的最大值 ‎ ‎（2）由绝对值不等式可得：，‎ 所以不等式的解即为方程的解。‎ 的解集为 。（或写成亦可）‎