- 768.74 KB
- 2021-02-26 发布
江苏省江浦高级中学高三年级十月月考
数学试题 2020.10
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1、设集合，，则 ( )
A. B.
C. D. 或
2、已知，则= （ ）
A. B. C. D.
3、已知向量，，若，则与夹角为 （ ）
A. B. C. D.
4、函数的部分图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
5、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷
长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是 （ ）
A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
C. 立冬的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长短
6、在△ABC中，如果，那么△ABC的形状为 （ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
7、已知函数定义域为，且满足下列三个条件：① 任意，都有；② ；③ 为偶函数，则 （ ）
A. B.
C. D.
8、直线是曲线和曲线的公切线，则
（ ）
A．2 B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选
对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9、将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
10、关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.
A. 它们有相同的渐近线 B. 它们有相同的顶点
C. 它们的离心率不相等 D. 它们的焦距相等
11、台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台ABCD，，现从角落A沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
12、如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法正确的是（ ）
A.对任意点P，平面 B.三棱锥的体积为
C. 存在点P，使得DP与平面所成角大小为 D. 线段DP长度的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13、已知，则=________．
14、的展开式中的系数为________．
15、若a,b均为非负数且a+b=1,，则的最小值为________．
16、在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若·＝5，·＝－，则·的值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC
18、（12分）从条件①，②，③，
中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，，________．若，，成等比数列，求的值．
19、（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．
20、（12分）携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．
（Ⅰ）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流
失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附：，．
0.10
0.05
0.025
0010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21、（12分）已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为，，点为坐标平面内的一点，且，，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，，是椭圆上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标，
22、（12分）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围
江苏省江浦高级中学高三年级十月月考
数学试题答案 2020.10
一、 单项选择题
1、D 2、C 3、B 4、A 5、D 6、A 7、B 8、C
二、多项选择题
9、ABC 10、CD 11、AD 12、ABD
三、填空题
13、 14、 15、 16、—3
四、解答题
17、解：（1）
即：
由正弦定理可得： 2分
4分
（2），由正弦定理得： 5分
又，
整理可得： 7分
解得：或 9分
因为所以，故.
10分
（2）法二：，由正弦定理得： 5分
又，
整理可得：， 7分
即
9分
由，所以
. 10分
18、解：若选择①，
因为，，所以，，
两式相减得，整理得．
即，． 4分
所以为常数列．，所以． 8分
（或由，利用相乘相消法，求得）
所以，，
又，，成等比数列，所以， 10分
所以，解得或（舍），
所以． 12分
若选择②，
由变形得，， 2分
所以，
易知，所以， 4分
所以为等差数列，又，所以，，
∴，
又时，也满足上式，
所以. 8分
因为，，成等比数列，∴， 10分
∴或，又，∴． 12分
若选择③，
因为，所以，
两式相减得， 2分
整理得，
因为，∴，所以是等差数列， 4分
所以， 8分
，
又，，成等比数列，∴， 10分
∴或，又，∴． 12分
19、解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD为正方形
∴AB⊥BC
又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE平面PAB
∴AE⊥BC
∵PA=AB，E为线段PB的中点
∴AE⊥PB
又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC
∴AE⊥平面PBC 6分
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）
∴，，
设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），
∴
设平面AEF的一个法向量为
则
∴
令y1=2，则
∴ 8分
设平面PCD的一个法向量为
则
∴
令y2=1，则
∴ 10分
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
∴，
解得λ=1，
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30° 12分
20、解（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得列联表
对服务水平满意人数
对服务水平不满意人数
合计
对业务水平满意人数
180
80
260
对业务水平不满意人数
20
20
40
合计
200
100
300
经计算得，
所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关． 2分
（Ⅱ）的可能值为0，1，2．
则，，，
0
1
2
． 6分
（Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，只有一项满意的客户流失的概率为，对二者都不满意的客户流失的概率为．
所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为， 8分
故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为
． 12分
21、解（1）设点坐标为，，
则，
由题意得
解得.∴. 2分
又，∴
∴
∴所求椭圆的方程为： 4分
（2）由题可知直线的斜率存在，则设直线方程为，，坐标为，
解方程组
∴
∴， 6分
又由，∴，
设直线，斜率分别为，，则 7分
∴
即：
∴
∴
化简得：
得：，或 10分
当时，，过点（-2，0），不合题意（舍去）
当时，，过点，
∴直线恒过定点. 12分
22、解（Ⅰ），
， 2分
∵的定义域为.
①即时，在上递减，在上递增，
，无极大值.
②即时，在和上递增，在上递减，
，.
③即时，在上递增，没有极值.
④即时，在和上递增，在上递减，
∴， .
综上可知：时，，无极大值；
时， ，；
时，没有极值；
时，， .
6分
（Ⅱ）设 ，
， 7分
设，则，， ，
∴在上递增，∴的值域为， 9分
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件.
②当时，∵，∴不适合条件.
③当时，对于，，
令，，
存在，使得时，，
∴在上单调递减，
∴，
即在时，，∴不适合条件.
综上，的取值范围为. 12分