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- 2021-02-26 发布
第8节 函数与方程、函数的应用
最新考纲 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
与x轴的交点
(x1，0)，
(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
4.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0)在区间(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在区间(－，0)和(0，)上单调递减.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图像连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)0，因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B，C；又选项D中函数没有零点，排除D；y＝cos x为偶函数且有零点.
答案 A
4.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析 M≈3361，N≈1080，≈，
则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.
∴≈1093.
答案 D
5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得0，f(4)＝－log24＝－<0，所以f(x)零点所在的区间为(2，4).
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图像如图所示.
因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).
答案 (1)C (2)(1，2)
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
命题角度2 确定函数零点个数
【例1－2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)(2018·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图像如图所示，
由图像知函数f(x)共有2个零点.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图像，如图所示.
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案 (1)B (2)C
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；
(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数.
【训练1】 (1)(2018·汉中一模)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是( )
A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)
(2)函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析 (1)易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.
(2)f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.
在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图像如图所示.
观察图像可知，两函数图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案 (1)C (2)2
考点二 函数零点的应用
【例2】 (1)(2018·上饶检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，0)
C.(－1，0) D.[－1，0)
(2)(2016·天津卷)已知函数f(x)＝
(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________.
解析 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)y＝x2＋(4a－3)x＋3a，x<0，对称轴为x＝－＝.
∵f(x)为R上的单调递减函数.
∴解得≤a≤.
又∵|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，
令y1＝2－，则其与y轴的交点为(0，2)，函数|f(x)|的大致图像如图，要使y1＝2－与y＝|f(x)|的图像有2个交点，需3a<2，即a<.∴≤a<.
答案 (1)D (2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：
(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解.
【训练2】 (1)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
(2)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B. C. D.1
解析 (1)当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
(2)(2018·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
①求k的值及f(x)的表达式；
②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
解 ①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，
当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；
当200，y＝2t＋－10为增函数.
∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，
因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法 解决函数实际应用题的两个关键点：
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行 学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.
【训练3】 (2018·西安质检)我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P的关系近似满足：y＝P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图：
(1)根据图像求b，k的值；
(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－.当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值.
解 (1)由图像知函数图像过(5，1)，(7，2).
所以所以
解得
(2)当P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝211－，
则(1－6t)(x－5)2＝11－，
所以1－6t＝＝·
＝·.
令m＝(x≥9)，m∈.
设f(m)＝17m2－m，m∈，
对称轴为m＝，所以f(m)max＝f＝，
所以，当m＝，即x＝9时，1－6t取得最大值为×，
则1－6t≤×，解得t≥，所以税率的最小值为.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
2.(2018·渭南模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 当x>0时，f′(x)＝＋>0，则f(x)为(0，＋∞)上的增函数，又f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以函数f(x)＝ln x－的零点x0满足20).
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当0t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综合当a≥－1时，函数g(x)＝f[f(x)]－a有三个不同的零点.
答案 [－1，＋∞)
13.(2017·山东卷改编)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图像与y＝＋m的图像有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.
解 y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；
y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
(1)若0＜m≤1，两函数的图像如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
(2)若m＞1，两函数的大致图像如图2所示.
为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或
m≤0(舍去).
综上，正实数m的取值范围是m∈(0，1]∪[3，＋∞).