2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 6页

‎6.3　平面向量线性运算的应用 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题．‎ ‎2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用．‎ ‎1.通过向量在平面几何中的应用，提升直观想象、逻辑推理素养．‎ ‎2．通过向量在物理中的应用提升直观想象、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 向量在平面几何中的应用 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用．实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题．‎ 证明线段平行问题 ，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔__a＝λb__⇔__x1y2－x2y1＝0__(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．‎ 知识点 用向量运算解决平面几何问题的“三步法”‎ ‎ (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系．‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系．‎ 思考：(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题？‎ ‎(2)这里的“向量运算”是指什么运算？‎ 提示：(1)平面几何中的全等、相似、平行等问题．‎ ‎(2)向量的线性运算．‎ 知识点 向量在物理中的应用 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成．‎ ‎(1)力、速度、位移的合成就是向量的__加法__，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则．‎ - 6 -‎ ‎(2)力、速度、位移的分解就是向量的__减法__，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则．‎ ‎(3)动量mv就是__数乘向量__，符合__数乘__向量的运算律．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 用向量解决平面几何问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　在四边形ABCD中，＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b，且a，b不共线，试判断四边形ABCD的形状．‎ ‎[分析]　由题设条件求出AD＝2BC且AB不平行于CD可得ABCD是梯形．‎ ‎[解析]　∵＝2a－3b，＝－8a＋b，＝－10a＋4b，‎ ‎∴＝＋＋＝－16a＋2b，∴＝2，‎ ‎∴AD∥BC，AD＝2BC且AB不平行于CD．‎ ‎∴四边形ABCD是梯形．‎ 规律方法：利用向量线性运算解决几何问题的思路 ‎(1)把几何元素化为向量．‎ ‎(2)进行向量的线性运算．‎ ‎(3)把结果翻译成几何问题．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别为AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，求△APC的面积．‎ ‎[解析]　设＝a，＝b为一组基底．‎ 则＝a＋b，＝a＋B．‎ 因为点A，P，E和D，P，C分别共线，‎ - 6 -‎ 所以存在λ和μ使＝λ＝λa＋λb，‎ ＝μ＝μa＋μB．‎ 又因为＝＋＝(＋μ)a＋μb，‎ 所以解得 所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，‎ S△PBC＝S△ABC＝(1－)×14＝2(cm2)，‎ 故S△APC＝14－8－2＝4(cm2)．‎ 题型 用向量坐标解决平面几何问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为__[，2]__．‎ ‎[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，‎ 故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，‎ 则＋＝(2－2λ，2－4λ)，‎ ‎|＋|＝ ‎＝，‎ 当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，‎ ‎∴|＋|∈[，2]，故答案为[，2]．‎ - 6 -‎ 规律方法：用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现．利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．证明：直角三角形ABC斜边AB上的中线CD等于斜边AB的一半．‎ ‎[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 设C(0,0)，A(a,0)，B(0，b)．‎ 则AB＝，中点D的坐标为(，)，‎ 即＝(，)，OD＝||＝＝，‎ 即CD＝，故CD＝AB．‎ 题型 向量在物理中的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．‎ ‎[分析]　建立直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量的加法进行求解．‎ ‎[解析]　建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2．‎ 由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，10)，向量v2＝(20,0)．‎ 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，‎ 所以|v|＝＝20(km/h)．‎ 因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°．‎ 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h．‎ 规律方法：用向量方法解决物理问题的步骤 ‎(1)把物理问题中的相关量用向量表示；‎ - 6 -‎ ‎(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；‎ ‎(3)结果还原为物理问题．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．物体W的质量为50千克，用绳子将物体W悬挂在两面墙之间，已知两面墙之间的距离AB＝10米(AB为水平线)，AC＝6米，BC＝8米，求AC，BC上所受的力的大小．‎ ‎[解析]　如图建立直角坐标系，设|f1|＝a，|f2|＝b，‎ 则f1＝(a，a)，f2＝(－b，b)，又f1＋f2＝(0,50)，‎ 所以解得 即a＝294(牛顿)，b＝392(牛顿)．‎ 所以AC，BC上所受的力的大小分别为392 N,294N．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　在一点O上作用着两个力，它们的大小分别等于5和3，夹角为30°，求此时它们合力的大小．‎ ‎[错解]　如图所示，设与的夹角为30°，且||＝5，||＝3，则||＝||＋||.根据向量加法的三角形法则，有＝＋＝5＋3＝8．‎ ‎[辨析]　此题在计算过程中混淆了向量与向量模的概念．‎ ‎[正解] 　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(5,0)、B(，)．设点C的坐标为(x，y)．‎ ‎∵＝(5,0)，＝(x－，y－)．‎ - 6 -‎ ‎∵＝，∴，∴．‎ ‎∴||＝＝＝．‎ - 6 -‎