2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 6页

第六章 平面向量初步 ‎6.1　平面向量及其线性运算 ‎6.1.1　向量的概念 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法．‎ ‎2．了解零向量及单位向量．‎ ‎3．掌握向量的相等与平行.‎ 通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养.‎ 必备知识·探新知 知识点 向量的定义与表示 ‎(1)定义：既有__大小__又有__方向__的量．‎ ‎(2)表示方法：‎ ‎①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作__有向线段__．‎ ‎②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如，，，…．‎ ‎(3)向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a，的模分别记作|a|，||．‎ 思考：(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？‎ ‎(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？‎ 提示：(1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．‎ ‎(2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．‎ 知识点 特殊向量 ‎ (1)零向量：__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0．‎ ‎(2)单位向量：长度(或模)为__1__的向量称为单位向量．‎ - 6 -‎ ‎(3)相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a与b相等，记作a＝B．‎ ‎(4)平行向量或共线向量：方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a平行于b，记作a∥B．规定__零__向量平行于任何向量．‎ 思考：(1)0与0相同吗？0是不是没有方向？‎ ‎(2)若a＝b，则两向量在大小与方向上有何关系？‎ ‎(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？‎ 提示：(1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的．‎ ‎(2)若a＝b，意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．‎ ‎(3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 向量的有关概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　给出下列命题：‎ ‎(1)平行向量的方向一定相同；‎ ‎(2)向量的模一定是正数；‎ ‎(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；‎ ‎(4)若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．‎ 其中正确的序号是__(3)__．‎ ‎[分析]　从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．‎ ‎[解析]　(1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2)错误．|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．故填(3)．‎ 规律方法：要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．‎ - 6 -‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．给出下列命题：‎ ‎(1)若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；‎ ‎(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎(4)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝．‎ 其中正确命题的序号是__(2)(3)__．‎ ‎[解析]　(1)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；‎ ‎(2)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；‎ ‎(3)该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；‎ ‎(4)该命题不正确，如图所示，显然有≠，≠．‎ 题型 相等向量与共线向量 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．‎ ‎(1)找出与向量相等的向量；‎ ‎(2)找出与向量共线的向量．‎ ‎[分析]　(1)找与向量相等的向量，就是找与长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(2)找与共线的向量，就是找与方向相同或相反的向量．‎ ‎[解析]　(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为，．‎ - 6 -‎ ‎(2)由题图可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，．‎ 规律方法：1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．‎ ‎2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．‎ ‎3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．‎ 在图中所示的向量中：‎ ‎(1)分别写出与、相等的向量；‎ ‎(2)写出与共线的向量；‎ ‎(3)写出与的模相等的向量；‎ ‎(4)向量与是否相等？‎ ‎[解析]　(1)＝，＝．‎ ‎(2)与共线的向量为：，，．‎ ‎(3)∵||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||．‎ ‎∴与模相等的向量为：，，，，，，．‎ ‎(4)不相等．‎ 题型 向量的表示与应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例3　(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量；‎ ‎(2)如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝．‎ ‎[分析]　(1)根据方向与大小确定终点即可．‎ ‎(2)利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM为平行四边形，进而得到＝．‎ ‎[解析]　(1)画出所有的向量，如图：‎ ‎(2)因为＝，‎ 所以||＝||，且AB∥CD，‎ 所以四边形ABCD是平行四边形．‎ 所以||＝||，且DA∥CB．‎ 又因为与的方向相同，‎ 所以＝．‎ 同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以＝．‎ 因为||＝||，||＝||，‎ - 6 -‎ 所以||＝||，DN∥MB，‎ 即与的模相等且方向相同，所以＝．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　在□ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，则集合T中元素的个数为__12__．‎ ‎[错解]　S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，共有20个元素．‎ ‎[辨析]　求解时，若忽略对相等向量的考虑．‎ ‎[正解] 　在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，‎ 又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．‎ - 6 -‎