不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】 9页

不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】 方案设计题大多是联系实际生活的开放题，往往以立意活泼、 设计新颖、 富有创新意识的实际生活应用题为载体， 通过设置一个实 际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用掌 握的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决 . 这就要求从多 角度、多层次进行探索，展示思维的灵活性、发散性、创新性 . 它分 为：1. 设计图形题； 2. 设计测量方案题； 3. 设计最佳方案题 . 本文就 举例对第 3 种： 设计最佳方案题进行分析， 此类题目往往要求回答出 现的运费最少、利润最少、成本最低、效率最高等，解题时常常与函 数、方程、一元一次不等式及不等式组等联系在一起，最主要是与不 等式组联系在一起，是现在中考题的热点、难点 . 解决方案设计这类问题时，首先要弄清题意，根据题意准确地 写出表达各种量的代数式， 建构恰当的不等式组模型， 求出数的取值 范围，利用数的整数解 , 结合实际问题确定方案设计的种数，从而得 出方案 . 此类题目常常需要用到数形结合和分类讨论等数学思想方 法 . 例 1 ：（xx 年湖南省怀化市） xx 年我市某县筹备 20 周年县庆， 园林部门决定利用现有的 3490盆甲种花卉和 2950盆乙种花卉搭配 A、 B两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A种造 型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆. （1）某校九年级（ 1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭 配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来 . （2）若搭配一个 种造型的成本是 800 元， 搭配一个 种造型的 成本是 960 元，试说明（ 1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少 元？ 解：（1）设搭配 A种造型 x 个，则 B种造型为（ 50-x ）个，依 题意，得： 80x+50 （50-x ）≤349040x+90（50-x ）≤2950，解这个不等式 组，得： x ≤33x≥31，∴31≤x≤33. ∵x 是整数，∴ x 可取 31，32，33. ∴可设计三种搭配方案： ①A种园艺造型 31 个， B种园艺造型 19 个. ②A种园艺造型 32 个， B种园艺造型 18 个. ③A种园艺造型 33 个， B种园艺造型 17 个. （2）方法一：由于 B种造型的造价成本高于 A种造型成本．所 以 B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本 为： 33 ×800+17×960=42720（元） . 方法二：方案①需成本： 31 ×800+19×960=43040（元） 方案②需成本： 32 ×800+18×960=42880（元） 方案③需成本： 33×800+17×960=42720（元） ∴应选择方案③，成本最低，最低成本为 42720 元 . 评析：这是一道关于园艺造型搭配方案的设计问题，由甲、乙 两种花卉的盆数一定， A、B两种造型需要的甲、乙两种花卉搭配的 盆数一定，利用不等式知识，构建一元一次不等式组模型，进而根据 不等式组的解集和造型的个数为正整数，确定具体的 A、B两种造型 方案种数 . 例 2 ：（xx 年河北省）一手机经销商计划购进某品牌的 A 型、 B型、C型三款手机共 60 部，每款手机至少要购进 8 部，且恰好用完 购机款 61000 元．设购进 A型手机 x 部， B型手机 y 部. 三款手机的 进价和预售价如下表： （1）用含 x，y 的式子表示购进 C型手机的部数； （2）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经 销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共 1500 元 . ①求出预估利润 P（元）与 x（部）的函数关系式； （注：预估利润 P＝预售总额 - 购机款 - 各种费用 . ） ②求出预估利润的最大值， 并写出此时购进三款手机各多少部 . 解：（ 1）c=60-x-y. （2）由题意，得： 900x+1200y+1100 （60-x-y ）= 61000， 得 y=2x-50 ． （3）①由题意，得： P= 1200x+1600y+1300 （60-x-y ）- 61000-1500 ， 得 P=500x+500． ②购进 C型手机部数为： 60-x-y =110-3x ．根据题意列不等式 组，得： x ≥82x-50 ≥8100-3x≥8，解得 29≤x≤34． ∴ x 范围为 29≤x≤34，且 x 为整数．（注：不指出 x 为整数 不扣分 . ） ∵P是 x 的一次函数， k=500＞0，∴P随 x 的增大而增大． ∴当 x 取最大值 34 时， P有最大值，最大值为 17500 元． 此时购进 A型手机 34 部，B型手机 18 部，C型手机 8 部. 评析：本例以函数知识为主体，解题中明显地渗透着函数及方 程思想，考查了学生构建函数及不等式组模型的能力 . 注意文字与表 格相结合， 根据题意将建立的函数表达式转换成恰当的不等式组模式， 求出数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数 . 这类 方案设计问题还有一个特点， 那就是要在几种确定的方案中， 选择最 优的方案， 其一般解法是根据函数的性质确定最优方案， 如果是一次 函数可根据它的增减性来确定 . 如果是二次函数可根据它的最值性质 来确定 . 本例中利润的最大值，都包含有一个合理、恰当地安排购进 三款手机发挥其最大效益的问题， 真实的情景设计可激发学生探究新 知的求知欲 . 例 3 ：（xx 年辽宁省十二市）某办公用品销售商店推出两种优 惠方法：①购 1 个书包，赠送 1 支水性笔；②购书包和水性笔一律按 9 折优惠．书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元 . 小丽和同学需 买 4 个书包，水性笔若干支（不少于 4 支）. （1）分别写出两种优惠方法购买费用 y（元）与所买水性笔支 数 x（支）之间的函数关系式； （2）对 x 的取值情况进行分析， 说明按哪种优惠方法购买比较 便宜； （3）小丽和同学需买这种书包 4 个和水性笔 12 支，请你设计 怎样购买最经济 . 解：（ 1）设按优惠方法①购买需用 y1 元，按优惠方法②购买 需用 y2 元，根据题意得： y1= （x-4) ×5+20×4=5x+60， y2= （5x+20×4）×0.9=4.5x+72 ． （2）设 y1＞y2，即 5x+60＞4.5x+72 ， ∴x＞24．当 x＞24 整数时，选择优惠方法②． 设 y1= y2 ，∴当 x=24 时，选择优惠方法①、②均可． ∴当 4≤x≤24 整数时，选择优惠方法①． （3）因为需要购买 4 个书包和 12 支水性笔，而 12＜24， 购买方案一： 用优惠方法①购买， 需 5x+60=5x×12+60=120元； 购买方案二： 采用两种购买方式， 用优惠方法①购买 4 个书包， 需要 4×20=80元，同时获赠 4 支水性笔； 用优惠方法②购买 8 支水性笔，需要 8×5×90%=36元． 共需 80+36=116元．显然 116＜120. ∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买 4 个书包，获赠 4 支水 性笔；再用优惠方法②购买 8 支水性笔 . 评析： 这是一道典型的利用函数确定学生购买方案的问题 . 其基 本思路是根据题目提供的两种优惠方法确定相应的函数表达式， 然后 利用函数表达式的比较得出与水性笔支数相关的不等式， 从而确定水 性笔支数的取值范围， 再结合数取正整数的实际情况， 确定购买方案 . 在解题中特别注意数取正整数，这是一个隐含条件 . 最近几年中考试题中出现了大量的不等式（组）模型下的数学 方案设计应用题，为数学应用开辟了一块广阔的天地 . （：贵州省湄潭县石莲中学） 本文为全文原貌 未安装 PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 内容仅供参考