六年级下册数学试题-小升初数学专题--计数模块--找规律（含答案）全国通用 19页

1 找规律 【教学目标】 1、使学生探索并发现简单周期现象中的排列规律。 2、使学生在探索规律的过程中体会周期规律在生活中的重要性。 一、基本方法 等差数列、兔子数列、等比数列 二、基本技巧 1、标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根 据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包括序列号。所以，把变量和序列号 放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 2、有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一） 技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 3、有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在 再找出规律，并恢复到原来。 4、观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别 找规律。 三、解题步骤： ①寻找数量关系； ②用代数式表示规律； ③验证规律。 题型一 数字规律 例题 1、按规律排列的一串数 2,5,9,14，，这串数的第 19个数是？ 2 例题 2、（周期规律）已知一列数：5，4，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，3， 7，1，2，5，4，，3，……，由此可推出第 2008个数是____________。 例题 3、（日期周期）2004年元月 1日是星期四，2005年元月 1日是星期几？ 例题 4、（列举找周期）有一列数：2,3,6,8,8,4,…从第三个数起，每个数恰好都是它 前两个数乘积的个位数字，这一列数的第 80个数是_____。 例题 5、（操作与规律）字母 A、B、C、D、E和数字 1997分别按下列方式变动其 顺序： ABCDE1997 BCDEA9971(第一次变动) CDEAB9719（第二次变动） DEABC7199（第三次变动） …… 问至少经过几次变动后，ABCDE1997将重新出现? 例题 6、有依次排列的 3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去 左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为 第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3,3,6,3,9,-10，-1，9,8.继续依 次操作下去．问：从新数串 3，9，8开始操作，第 100次后产生的那个新数串的所有数 之和是多少？ 3 例题 7、将正整数从 1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中 2在第 1个拐角处，3在第 2个拐角处，5在第 3个拐角处，7在第 4个拐角处，……．那么在 第 2007个拐角处的数是（ ）． 22 20 21 19 18 171614 1513 12 11 10 9 8 7 6 543 2 1 题型二、图形规律 例题 1、下图的两个图形（实线）是分别用 10根和 16根单位长的小棍围成的．如 果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了 70多根小棍， 那么围成的图形有几层？ 例题 2、有若干根火柴棍，其长为 1，摆成如图一系列三角形图案，按这种方式摆下去， 它的规律是什么？ 例题 3、用同样大小的黑色棋子按图所示方向摆放，则第 n个图形（n是大于零的 整数）需要的棋子的个数是（ ）。 4 题型三 递推规律 例题 1、同一平面内的 5条直线两两相交，最多有 个交点，最多把平面分成 个部分，最多构成 对对顶角． 基础练习 1、观察数列，将数列补充完整，1,3,8,22,60，（ ），448. 2、有 20个等式：1+2=3,4+5+6=7+8,9+10+11+12=13+14+15，……，第 5个等式的 左右两边的和都是（ ）。 3、有 249朵花，按 5朵红花，9朵黄花，13朵白花的顺序轮流排列，最后一朵花 是什么颜色？ 4、有一列数 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6，第 25个数是多少？ 5、图中是小明用火柴搭的 1条、2条、3条金鱼，则搭 6条金鱼需要多少根火柴？ 5 6、有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去， 到第 10个图形一共用了（ ）根火柴棒． 7、一张大饼，切 18刀（不叠放），最多可分成的块数为（ ）。 巩固提升 1、某年 4月所有星期六的日期数之和是 54，这年 4月的第一个星期六的日期数是 （ ）。 2、有一列数：3,6,8,8,4,2，第 3个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数， 那么第 2008个数是多少？ 3、小明按 1~5循环报数，小花按 1~7循环报数，当两个人都报了 2007个数时，小 花报的数字之和比小明报的数字之和多（ ）。 4、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再 捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示： 这样捏合到第（ ）次后可以拉出 64根面条． 6 5、把珠子一个一个按顺序往返不断投入到 A、B、C、D、E、F袋中。如图所示， 第 2006粒珠子投在哪个袋子中。 17 18 16 15 14 13 12 7 8 9 10 11 6 5 4 3 2 1 F E D C B A 6、如图在 2×2方格中，画一条直线最多可穿过 3个方格，那么在 10×10的方格 中，画一条直线最多可穿过（ ）个方格。 7、如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按 上述规则完成 6次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片 后，一共有多少个小洞孔？ 8、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成，依次规律，第 5 个图案中小正方形的个数是多少？ 7 1、有一串数字： ，，，， 17 4 10 3 5 2 2 1 ……，则第 9个数是（ ）。 2、我们把分子为 1的数叫做分数单位，如 2 1 ，3 1 ， 4 1 ，...，任何一个都可以拆分成 两个不同的分数单位的和，如 6 1 3 1 2 1  ， 12 1 4 1 3 1  ，…观察上述式子，你会发现： NM 11 8 1  ，请写出： M （ ）； N （ ）。 3、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10个小圆，第 3个图形有 16个小圆，第 4个图形有 24个小圆……依此规律， 第 10个图形有（ ）个小圆。 4、已知数串 1,1,2,3,5,8,13，……，从第 3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数 之和，那么，数串中第 1999个数被 3除所得的余数是（ ）。 1、下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第 9个图形中， 共用火柴的根数是（ ）。 第 1题图 8 2、如图，每个图案都由若干个棋子摆成，依照此规律，第 100个图案中棋子的总 个数为（ ）。 第 2题图 3、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第 6 个小房子用了 （ ）块石子。 第 3题图 4、如图，这是一组有规律的图案，第 1个图案是由 4个基础图形组成，第 2个图 案是由 7个基础图形组成，……，第 n个图案中是由（ ）个基础图形组成。 第 4题图 第 5题图 5、第（1）个图有 1个黑球；第（2）个图为 3个同样大小球叠成的图形，最下一 层的 2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为 6个同样大小球叠成的图形，最下一 层的 3个球为黑色，其余为白色；……；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球 的可能性是（ ）。 6、如图，四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第 1号座位，小猴坐在第 2号座 位，小兔坐在第 3号座位，小猫坐在第 4号座位。以后它们不停地交换位子，第一次上 下两排交换，第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次 再左右两列交换…这样一直换下去，第十四次交换座位后，小兔坐在第（ ）号座 位上。 第 6题图 9 7、小明有许多截面是六边形的铅笔，有一天他做围铅笔游戏．如图，中间 1支铅 笔，周围需要用 6支铅笔把它围住．照这样围法，如果围第二圈，你知道需要多少支铅 笔吗？围第三圈、第四圈呢？画一画，围一围，填写下表． 圈数 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 需要铅 笔的只数 观察上表，你发现了什么规律？根据这个规律能推算出围第五圈、第八圈、第十圈 各需要多少支铅笔吗？ 8、现在用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7种彩色，在一张方格纸上，自左上到右 下的斜行里按顺序涂色（如右图）。请问第 20行的第 30个格子里涂的颜色是（ ） 色。 第 8题图 10 参考答案 例题 1、【答案】解：2+3+4+5+…+19+20 =（1+20）×（20÷2）﹣1 =21×10﹣1 =209 例题 2、【答案】解：因为所给的数列，除开头两个数，后面都是六个数为一个循环， 所以，（2008﹣2）÷6， =2006÷6， =334…2； 因为余数是 2，而在 7，1，2，5，4，3六个数为一个循环中，第 2数是 1； 所以第 2008个数是 1． 例题 3、【答案】解：2004÷4=501，2004年是闰年，全年有 366天， 所以 2004年 1月 1日到 2005年 1月 1日有 366天， 366÷7=52…2， 余数是 2， 4+2=6， 答：2005年元月 1日是星期六． 例题 4、 【答案】解：因为，这个数列依次是：2，3，6，8，8，4，2、8，6，8，8、4、2、8…， 我们将 2，3排除，可知是 6个一循环（周期）， 所以，（80﹣2）÷6=13， 那么 80应该是一个循环的第 6项， 而一个循环的第 6项是 8， 所以，这列数第 80个数是 8； 例题 5、 【答案】解：字母 A、B、C、D、E是 5次一个循环变回原样，数字 1997是 4次一个 循环变回原样， 5与 4的最小公倍数是 20， 11 答：最少经过 20次变动后 ABCDE1997将重新出现． 例题 6、【答案】解：设 A=3，B=9，C=8，操作第 n次以后所产生的那个新数串的所有 数之和为 Sn． n=1时，S1=A+（B﹣A）+B+（C﹣B）+C=B+2C=（A+B+C）+1×（C﹣A）； n=2时，S2=A+（B﹣2A）+（B﹣A）+A+B+（C﹣2B）+（C﹣B）+B+C=﹣A+B+3C= （A+B+C）+2×（C﹣A）； … 故 n=100时，S100=（A+B+C）+100×（C﹣A）=﹣99A+B+101C=﹣99×3+9+101×8=520． 答：第 100次后产生的那个新数串的所有数之和是 520. 例题 7、【答案】解：第 1个拐弯：1+1=2 第 2个拐弯：1+1+1=3 第 3个拐弯：1+1+1+2=5 第 4个拐弯：1+1+1+2+2=1+（1+2）×2=7 第 5个拐弯：1+1+1+2+2+3=1+（1+2）×2+3=10 第 6个拐弯：1+1+1+2+2+3+3=1+（1+2+3）×2=13 第 7个拐弯：1+1+1+2+2+3+3+4=1+（1+2+3）×2+4=17 … ∵2007=2×1 003+1， ∴A（2007）=1+（1+2+3+…+1003）×2+1004 =1008017 故答案为：1008017． 题型二： 例题 1【答案】解：设用了 70根小棍围成的图形有 x层。 (x＋2x－1)×2＝70 3x－1＝35 3x＝36 x＝12 答：用了 70根小棍围成的图形有 12层. 例题 2 【答案】解：当 n=1时，需要火柴 3×1=3； 12 当 n=2时，需要火柴 3×（1+2）=9； 当 n=3时，需要火柴 3×（1+2+3）=18， …， 依此类推， 第 n个图形共需火柴 3×（1+2+3+…+n）= ． 例题 3 【解析】根据题意，分析可得第 1个图形需要黑色棋子的个数为 2×3﹣3，第 2个图形 需要黑色棋子的个数为 3×4﹣4，第 3个图形需要黑色棋子的个数为 4×5﹣5，依此类 推，可得第 n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2），计算可得答案． 【答案】解：第 1个图形是三角形，有 3条边，每条边上有 2个点，重复了 3个点，需 要黑色棋子 2×3﹣3个， 第 2个图形是四边形，有 4条边，每条边上有 3个点，重复了 4个点，需要黑色棋子 3 ×4﹣4个， 第 3个图形是五边形，有 5条边，每条边上有 4个点，重复了 5个点，需要黑色棋子 4 ×5﹣5个， … 则第 n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）． 故答案为：n（n+2）． 题型三 例题 1、 【解析】可以从 1条直线，两条直线，三条直线，进行观察总结得出． 【答案】解：（1）当一条直线时，没有交点，把平面分成两个部分，没有对顶角； （2）当两条直线时，两两相交，最多有 1个交点，最多把平面分成 4个部分，最多构 成 2对对顶角； （3）当三条直线时，两两相交，相当于在（2）的基础上再增加一条直线，所以最多有 1+2=3个交点，最多把平面分成 4+3=7部分，最多构成 3×2=6对对顶角； （4）当四条直线时，两两相交，相当于在（3）的基础上再增加一条直线，所以最多有 1+2+3=6个交点，最多把平面分成 7+4=11部分，最多构成 6×2=12对对顶角； （5）当五条直线时，两两相交，相当于在（4）的基础上再增加一条直线，所以最多有 1+2+3+4=10个交点，最多把平面分成 11+5=16部分，最多构成 10×2=20对对顶角． 13 故填：10；16；20． 基础练习 1、【答案】解：（22+60）×2=164 故答案为：164． 2、【答案】解：（1）根据分析可知第 5个算式为： 25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35； 3、【答案】解：249÷27=9…6， 所以最后一朵花是第 10个循环周期的第 6朵花，是黄花． 4、【答案】解：25÷3=8…1 所以左起第 25个数是第 9组数的第 1个数，是 9； 5、【答案】解：观察图形发现：搭 1条金鱼需要火柴 8根，搭 2条金鱼需要 14根， 即发现了每多搭 1条金鱼，需要多用 6根火柴．则搭 n条“金鱼”需要火柴 8+6（n﹣1） =6n+2 当 n=6时，6×6+2=38（根） 答：搭 6条“金鱼”需要火柴 38根． 6、【分析】根据观察可知第一个图开是一个正方形用了 4根火柴棒，第二个图形 有 1+3=4 个正方形，用了 13 火柴棒，第三个图形有 1+3+5=9 个正方形，用了 26 火柴 棒，每一些正方形的个数是 n2个，火柴棒需要的个数是 2n2+3n﹣1个。 7、【答案】解：根据观察可知第 n个图形共用火柴根数的计算公式为 2n2+3n﹣1 2×102+3×10﹣1 =2×100+3×10﹣1 =200+30﹣1 =229（根） 8、【答案】解：根据题干分析可得：一刀可最多切 2块，切 2刀最多切 4块，切 3 刀最多切 7块， 可以发现，切两刀时比原来多了 2块，切三刀时比原来多了 3块， 所以切四刀时比原来多了 4块，是 11块， 14 切 5刀时，比原来多了 5块，是 11+5=16块， …， 则 n刀时切了：an=1+1+2+3+…+n=1+（1+2+3+…+n）=1+ 块 因此切 18刀时，切了：1+18×19÷2=172（块）。 巩固提升 1、【答案】解：设第一个星期六是 X号，则： X+（X+7）+（X+14）+（X+21）+（X+28）=54； 或者 X+（X+7）+（X+14）+（X+21）=54； 由第一式子得到：5X+70=54，X为负不符合题意，舍去； 式子二：4X+42=54，4X=12，X=3；答：4月的第一个周六是 4月 3号； 故答案为：3号． 2、【答案】解：因为，这个数列依次是：3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、 8…， 我们将 3排除，可知是 6个一循环（周期）， 所以，（2008﹣1）÷6=334…3， 那么 2008应该是一个循环的第 3项， 而一个循环的第 3项是 8， 所以，这列数第 2008个数是 8； 故答案为：8． 3、【答案】解：小明报了 2007个数时，1﹣5重复的次数：2007÷5=401…2， 即报了 401次，还多报了一次 1和 2， 所以和是：401×（1+2+3+4+5）+1+2， =401×15+3， =6015+3， =6018， 小红的 1﹣7重复了的次数：2007÷7=286…5， 即报了 286次，多报一次 1、2、3、4、5， 所以和是：286×（1+2+3+4+5+6+7）+1+2+3+4+5， =286×28+15， =8008+15， 15 =8023， 8023﹣6018=2005； 故答案为：2005． 4、【答案】解：根据题意有 第一次：21=2， 第二次：22=4， 第三次：23=8， … 第 n次：2n， ∴第 6次：26=64． 故答案为：6． 5、【解析】根据题干，可以将已知图形化出分析示意图如下： 这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出： 右边为第一列，下边为第一行，从 1开始依次排列；其规律是： 每 10个数字为一个周期，这 10个数字分别所在的列数依次为 A→B→C→D→E→F →E→D→C→B；由此规律，只要求出 2006是第几周期的第几个数字，即可得出答案． 【答案】解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每 10个数字为一个周 期，这 10个数字分别所在的列数依次为 A→B→C→D→E→F→E→D→C→B； 2006÷10=200…6， 所以 2006是第 201个周期的第 6个数字，与第一周期的第 6个数字相同，即是 F． 答：最后一个弹珠投在 F袋子中． 6、【解析】如果直线与大正方形的两横边都有交点，则与所有的横边产生 11个交 点，与竖边至多 9个交点，共 20个交点； 如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点，则与横边至多产生 10个交点，与 竖边至多产生 10个交点，共 20个交点． 20个交点，将直线分成 21部分，其中在大正方形有内有 19部分，故至多穿过 19 16 个方格． 【答案】解：如下图，画一条直线最多可穿过 19个方格： 答：画一条直线最多可穿过 19个方格． 故答案为：19 7、【答案】解：一次操作后纸的面数为 4的 1次方（面数为 4），剪去后有 4的 0 次方个小孔（第一次剪的时候我们有人会误认为是 4个，要看清楚）； 两次操作后纸的面数为 4的 2次方（面数为 16），剪去后有 4的 1次方即 4个小孔； 三次操作后纸的面数为 4的 3次方（面数为 64），剪去后有 4的 2次方即 16个小 孔； 那么六次操作为纸的面数为 4的 6次方， 剪去后有 4的（6﹣1）次方个小孔，也就是 4的 5次方个． 故答案为：1024． 8、【答案】解：由题意得：第 n个图形的小正方体的个数=n的平方+（n﹣1）的 平方， 故第 5 个图案中小正方形的个数为 9+7+5+3+1+7+5+3+1=52+（5﹣1）2=25+16=41 （个）． 故答案为：41． 1、【答案】9/82 【解析】分母 2+3+5+7+9+11+13+15+17=82；分子 9， 2、【答案】9,72 3、【答案】144 17 4、【答案】1 【解析】上述数串各项被 3除的余数是 1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，… 从第 9项开始循环，而 1999÷8=249余 7； 即第 1999项与第 7项被 3除的余数相同，余数是 1． 1、【答案】解：分析可得：第 1个图形中，有 3根火柴． 第 2个图形中，有 3+3=6根火柴． 第 3个图形中，有 3+3+4=10根火柴． …； 第 9个图形中，共用火柴的根数是 3+3+4+5+6+7+8+9+10=55根． 故答案为：55． 2、【答案】解：每个图案的纵队棋子个数是：n， 每个图案的横队棋子个数是：n+1， 那么第 n个图案中棋子的总个数为：n（n+1）． 则：100×101=10100（个） 3、【答案】解：∵第一个屋顶是 1块石子，下边是 4块石子， 第二个屋顶是 3块石子，下边是 9块石子， 第三个屋顶是 5块石子，下边是 16块石子， … ∴第 n个屋顶是 2n﹣1块石子，下边是（n+1）2，块石子； ∴第 n个小房子用的石子数是（n+1）2+2n﹣1=n2+4n； ∴第 6个小房子用了 36+24=60块石子． 故答案为：60． 4、【答案】解：观察可知，第 1个图案由 4个基础图形组成，4=3+1 第 2个图案由 7个基础图形组成，7=3×2+1， 第 3个图案由 10个基础图形组成，10=3×3+1， …， 第 n个图案中基础图形有：3n+1， 5、【答案】解：根据图示规律，第 n个图中，黑球有 n个，球的总数有 1+2+3+4+5+… 18 +n= ， 则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 = ． 6、【答案】解：由已知和图形得知，小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→ ④→③→①…，得到每 4次一循环， 因为，14÷4=3…2， 14所以，第次交换位子后，小兔坐在和第二次交换的位子相同，即第 2号位子上． 答：第 14次交换座位后，小兔坐在第 2号位子 7、【解析】 第一周，仍构成一个正六边形，每边 2个小六边形，重复数了 6个，用了 2×6﹣6=6； 第二周，仍构成一个正六边形，每边 3个小六边形，重复数了 6个，用了 3×6﹣6=12； 第三周，仍构成一个正六边形，每边 4个小六边形，重复数了 6个，用了 4×6﹣6=18； 则第四周，仍构成一个正六边形，每边 5个小六边形，重复数了 6个，用了 5×6 ﹣6=24； 据此即可解答． 【答案】解：5×6﹣6=24（支）； 答：第四周共用 24支铅笔围成． 8、【答案】解：20÷7=2（个）…6（个）， 因按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫排列，余数是 6，所以第 20行的第一个格是蓝色， 它的排列应是蓝、紫、红、橙、黄、绿、青、蓝． 30÷7=4（个）…2（个）． 因余数是 2，所以应是紫色． 19 答：第 20行与 30列的交叉处所涂的颜色是紫色；