2018届二轮复习（文）专题三第1讲　等差数列、等比数列的基本问题课件（全国通用） 36页

第 1 讲　等差数列、等比数列的基本问题 高考定位　 1. 等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现； 2. 数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第 (1) 问出现，难度中档以下 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 a 4 ＋ a 5 ＝ 24 ， S 6 ＝ 48 ，则 { a n } 的公差为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　 C 2. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ” 意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ( 　　 ) A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 答案　 B 3. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 等差数列 { a n } 的首项为 1 ，公差不为 0. 若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 前 6 项的和为 ( 　　 ) A. － 24 B. － 3 C.3 D.8 答案　 A 4. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 2. (1) 若 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，求 { b n } 的通项公式； (2) 若 T 3 ＝ 21 ，求 S 3 . 考 点 整 合 1. 等差数列 2. 等比数列 答案　 (1)B 　 (2)64 探究提高　 1. 第 (2) 题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项 a 1 与公比 q 的方程组，求出 a 1 ， q ，得到 { a n } 的通项公式，再将 a 1 a 2 · … · a n 表示为 n 的函数，进而求最大值 . 2. 等差 ( 比 ) 数列基本运算的解题途径： (1) 设基本量 a 1 和公差 d ( 公比 q ). (2) 列、解方程组：把条件转化为关于 a 1 和 d ( q ) 的方程 ( 组 ) ，然后求解，注意整体计算，以减少运算量 . 答案　 (1)C 　 (2)1 热点二　等差 ( 比 ) 数列的性质 【例 2 】 (1) (2017· 汉中模拟 ) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项积为 T n ，若 log 2 a 2 ＋ log 2 a 8 ＝ 2 ，则 T 9 的值为 ( 　　 ) A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024 (2) (2017· 北京海淀区质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n ＝ 2 a n － 2 ，若数列 { b n } 满足 b n ＝ 10 － log 2 a n ，则使数列 { b n } 的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 ________. 解析　 (1) 由 log 2 a 2 ＋ log 2 a 8 ＝ 2 ，得 log 2 ( a 2 a 8 ) ＝ 2 ，所以 a 2 a 8 ＝ 4 ，则 a 5 ＝ ±2 ， 等比数列 { a n } 的前 9 项积为 T 9 ＝ a 1 a 2 … a 8 a 9 ＝ ( a 5 ) 9 ＝ ±512. (2) ∵ S n ＝ 2 a n － 2 ， ∴ n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 a 1 － 2 ，解得 a 1 ＝ 2. 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 － (2 a n － 1 － 2) ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ 数列 { a n } 是公比与首项都为 2 的等比数列， ∴ a n ＝ 2 n . ∴ b n ＝ 10 － log 2 a n ＝ 10 － n . 由 b n ＝ 10 － n ≥ 0 ，解得 n ≤ 10. ∴ 使数列 { b n } 的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10. 答案　 (1)A 　 (2)9 或 10 探究提高 　 1. 利用等差 ( 比 ) 性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 . 2. 活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 . 【训练 2 】 (1) (2017· 贵阳质检 ) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 3 ＋ a 9 ＝ 16 ，则 S 11 ＝ ( 　　 ) A.88 B.48 C.96 D.176 (2) (2017· 开封质检 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S m － 1 ＝ 5 ， S m ＝－ 11 ， S m ＋ 1 ＝ 21 ，则 m 等于 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　 (1)A 　 (2)C 热点三　等差 ( 比 ) 数列的判断与证明 【例 3 】 (2014· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ＝ 1 ， a n ≠ 0 ， a n a n ＋ 1 ＝ λS n － 1 ，其中 λ 为常数 . (1) 证明： a n ＋ 2 － a n ＝ λ ； (2) 是否存在 λ ，使得 { a n } 为等差数列？并说明理由 . (1) 证明　 由题设， a n a n ＋ 1 ＝ λS n － 1 ， ① 知 a n ＋ 1 a n ＋ 2 ＝ λS n ＋ 1 － 1 ， ② ② － ① 得： a n ＋ 1 ( a n ＋ 2 － a n ) ＝ λa n ＋ 1 . ∵ a n ＋ 1 ≠ 0 ， ∴ a n ＋ 2 － a n ＝ λ . (2) 解　 由题设可求 a 2 ＝ λ － 1 ， ∴ a 3 ＝ λ ＋ 1 ， 令 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ，解得 λ ＝ 4 ，故 a n ＋ 2 － a n ＝ 4. 由此可得 { a 2 n － 1 } 是首项为 1 ，公差为 4 的等差数列， a 2 n － 1 ＝ 4 n － 3 ； { a 2 n } 是首项为 3 ，公差为 4 的等差数列， a 2 n ＝ 4 n － 1. 所以 a n ＝ 2 n － 1 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2. 因此存在 λ ＝ 4 ，使得数列 { a n } 为等差数列 . 【迁移探究 1 】 若把本例题的条件 a 1 ＝ 1 变为 a 1 ＝ 2 ，求解问题 (2). 【迁移探究 2 】 在本例题 (2) 中是否存在 λ ，使得 { a n } 为等比数列？并说明理由 . 【训练 3 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 探究提高　 1. 等差数列与等比数列交汇的问题，常用 “ 基本量法 ” 求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便 . 2. 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 . 【训练 4 】 (2017· 北京卷 ) 已知等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 满足 a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 10 ， b 2 b 4 ＝ a 5 . (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求和： b 1 ＋ b 3 ＋ b 5 ＋ … ＋ b 2 n － 1 . 解 　 (1) 设 { a n } 的公差为 d ，由 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 10 ， 得 1 ＋ d ＋ 1 ＋ 3 d ＝ 10 ， 所以 d ＝ 2 ，所以 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 n － 1. 1. 在等差 ( 比 ) 数列中， a 1 ， d ( q ) ， n ， a n ， S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个 . 解这类问题时，一般是转化为首项 a 1 和公差 d ( 公比 q ) 这两个基本量的有关运算 . 2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 . 但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 .