山东专用2021版高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合课件 46页

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二讲　排列与组合 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　排列与排列数 (1) 排列的定义：从 n 个 ________ 元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素，按照一定的 ________ 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的 ________________ 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 ___ __ __ 表示． 不同　 顺序　 所有不同排列 　 n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) 　 n ！　 1 　 不同　 合成一组　 所有不同组合　 1 　 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3) 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． BD 题组二　走进教材 2 ． (P 27 A 组 T716) 6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( 　　 ) A ． 144 B ． 120 C ． 72 D ． 24 D 　 题组三　考题再现 3 ． (2019 · 安庆模拟 ) 某单位要邀请 10 位教师中的 6 位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 ( 　　 ) A ． 84 种 B ． 98 种 C ． 112 种 D ． 140 种 D 　 4 ． (2019 · 晋中模拟 ) 高三某班 6 名任课老师站在一排照相，要求甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种 ( 　　 ) A ． 144 B ． 72 C ． 288 D ． 154 A 　 5 ． (2018 · 新课标 Ⅰ ) 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 ______ 种． ( 用数字填写答案 ) 16 　 考点突破 • 互动探究 有 3 名男生、 4 名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为： (1) 选其中 5 人排成一排； ________ (2) 排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； ________ (3) 全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； ________ (4) 全体排成一排，女生必须站在一起； ________ (5) 全体排成一排，男生互不相邻； ________ (6) 全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人； ________ (7) 全体排成一排，甲必须排在乙前面； ________ (8) 全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端． ________ 考点一　排列问题 —— 自主练透 例 1 2 520 5 040 3 600 576 1 440 720 2 520 3 720 [ 引申 ] 本例中 7 人排一排， (1) 甲站中间的站法有 _______ 种； (2) 甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有 _______ 种； (3) 甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有 _______ 种． 720 　 960 　 960 　 求解排列应用问题的 6 种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 　　　　 (1) (2019 · 广东中山模拟 ) 从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ( 　　 ) A ． 85 B ． 49 C ． 56 D ． 28 (2) (2020 · 福建宁德联考 ) 福建省第十六届运动会于 2018 年在宁德召开，组委会预备在会议期间将 A ， B ， C ， D ， E ， F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求 A ， B 必须在同一组，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有 ( 　　 ) A ． 15 种 B ． 18 种 C ． 20 种 D ． 22 种 考点二　组合问题 —— 师生共研 B 　 例 2 D 　 [ 引申 ] 本例 (1) 中， ①甲、乙恰有 1 人入选的选法有 ______ 种；②甲、乙都不入选的选法有 ______ 种． 56 　 56 　 组合问题常有以下两类题型变化： (1) “ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2) “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “ 至少 ” 与 “ 至多 ” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 〔 变式训练 1 〕 (1) (2020 · 海南省联考 ) 楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为 ( 　　 ) A ． 10 B ． 15 C ． 20 D ． 24 A (2) (2019 · 辽宁沈阳东北育才学校模拟 ) 某地区高考改革，实行 “ 3 ＋ 2 ＋ 1 ” 模式，即 “ 3 ” 指语文、数学、外语三门必考科目 “ 1 ” 指在物理、历史两门科目中必选一门， “ 2 ” 指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( 　　 ) A ． 8 种 B ． 12 种 C ． 16 种 D ． 20 种 C 角度 1 　相邻、相间问题 　　　　 (1) (2020 · 河北省衡水中学调研 ) 某校毕业典礼由 6 个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 _______ 种． (2) (2019 · 湖南师范大学附属中学模拟 ) 某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是 ( 　　 ) A ． 16 B ． 24 C ． 8 D ． 12 120 　 例 3 考点三　排列、组合的综合应用 —— 多维探究 A 　 例 4 C 　 D 　 [ 引申 ] 本例 (2) 若增加 “ 且乙不参加数学竞赛 ” ，则不同的参赛方法种数为 ______ ． 78 　 角度 3 　分组、分配问题 　　　　 (1) 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上． ①分成三份， 1 份 1 本， 1 份 2 本， 1 份 3 本； ______ ② 甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； _______ ③ 平均分成三份，每份 2 本； ______ ④ 平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； ______ ； ⑤分成三份， 1 份 4 本，另外两份每份 1 本； ______ ⑥ 甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； ______ ⑦ 甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本． ______ 60 　 例 5 360 　 15 　 90 　 15 　 90 　 30 　 (2)①8 个相同的小球放入 5 个不同盒子中，每盒不空的放法共有 ______ 种． ② 15 个小球完全相同，放入编号依次为 1,2,3 的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有 ______ 种． 35 　 55 　 解排列组合综合问题的方法 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成． 第一步：选元素，即选出符合条件的元素； 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列； 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数． 注意： (1) 均匀分组时要除以均匀组数的阶乘； (2) 相同元素的分配问题常用 “ 隔板法 ”． 〔 变式训练 2〕 (1) ( 角度 1) (2020 · 浙江湖州期末 ) 现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 ____. (2) ( 角度 2) (2020 · 陕西汉中质检 ) 将 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( 　　 ) A ． 36 种 B ． 42 种 C ． 48 种 D ． 60 种 B (3) (2019 · 甘肃兰州模拟 ) 第一届 “ 一带一路 ” 国际合作高峰论坛于 2017 年 5 月 14 日至 15 日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将 5 个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有 ( 　　 ) A ． 96 种 B ． 100 种 C ． 124 种 D ． 150 种 D 名师讲坛 • 素养提升 (2020 · 浙江绍兴诸暨期末 ) 用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的四位数，其中奇数有 _____ 个． 巧解数字排列问题 例 6 36 [ 引申 1] 　 本例条件下，大于 3 100 的奇数有 ______ 个；偶数有 ______ 个． 16 60 [ 引申 2] 　 若将 “ 没有 ” 改成 “ 有 ” ，结果为 _______. [ 解析 ] 　 所有四位奇数有 4 × 5 × 5 × 2 ＝ 200 个， ∴ 有重复数字的四位奇数有 200 － 36 ＝ 164 个． 164 本例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件： 0 不能在首位． 〔 变式训练 3 〕 (2020 · 四川省成都市诊断 ) 用数字 0,2,4,7,8,9 组成没有重复数字的六位数，其中大于 420 789 的正整数个数为 ( 　　 ) A ． 479 B ． 480 C ． 455 D ． 456 C