中考数学解答题解题思路与书写规范要求 26页

中考数学解答题解题思路与书写规范要求 中考数学解答题共有八道大题，其中技能部分占五道题，另一道应用题，一道探究题或方法迁移性问题，一道综合题.从历年的考试情况来看，前五道技能性问题对于中上等学生得分率较高，学生能明白考察的知识与解题的思路.但失分的原因多数是因为书写的不规范（缺少主要步骤、排列性混乱等）所造成，这也是教师在复习教学时重思路方法忽视书写要求所产生的共性问题.从时间的运用上看，这五道技能性问题还存在不重视方法的选择上，走远路解答误时费劲.应用题的失分主要还是找不出题目中的数量关系或解错方程不等式造成.探究性问题或方法迁移性问题失分的原因是不明确解题的思路，在方法规律的转化上不能很好的运用.综合性问题的失分原因主要是观察能力与操作能力不能很好的发挥，只重视计算与证明的重要性，忽视观察与操作环节，进而找不到突破口，造成思维上的短路.‎ 第一解答题：(代数类——实数代数式运算与方程不等式求解)‎ ‎（1）分式的化简与求值：‎ 根据《课标》的要求，分式的运算分式的个数不得超过三个，所以中考试题多以三个或两个分式为主，主要考察分式的通分，整式的因式分解，分式的约分等。通常的解题程序是：先把分子与分母能分解因式的进行因式分解，同时把小括号内的分式通分合并；再把除法转化为乘法运算，最后准确约分即可.‎ 求值时改变了直接给出未知数的具体数字的模式，通常给出未知数的取值范围，首先要根据分式成立的意义确定什么数不能取，进而选择可行数代入求值.‎ 例如：先化简然后从的范围内选取一个合适的整数作为x值代入求值.‎ ‎ ‎ 由题意可知：x≠0且x≠±2，故在中取x=1时，‎ 原式=‎ ‎ 说明:‎ ‎①‎ 学生在书写容易多写浪费时间，如第一步骤中只进行通分把第一分式照抄或把第一分式因式分解而括号内容照抄，还有学生先在演草纸上演算后在摘录部分步骤到卷面上，这是都是不可取的.‎ ‎②主要步骤是第一步体现因式分解和通分，第二步骤体现算法转化，第三步骤体现约分.‎ ‎（2）实数的运算: ‎ 根据《课标》要求，实数混合运算加减运算的次数不能超过四次，因此中考试题中加减号的次数多以三个或四个为主，主要考察内容包括根式的化简，绝对值运算，整数指数幂的运算，特殊角三角函数值等.通常的解题程序是：按加减把混合运算分成四个或五个小运算，第一步中把每个小运算的结果求出，再去括号进行实数的加减运算可直接得结果.‎ 例如：计算：（π－3）0－|－3|＋（－）－2－－cos600．‎ 解：原式=1-（3-）+9-－=1-3++9-－=.‎ 说明：‎ ‎①学生在书写时容易在第一步中不能完成所有小运算，反复抄写浪费时间；还有对绝对值运算去掉绝对值符号后不加括号(或不考虑符号)产生错误等.‎ ‎②实数的运算主要体现在第一步上，要体现出实数运算的方法和过程.‎ ‎（3）解方程（组）或解不等式（组）：‎ 根据《课标》要求，解方程（组）与解不等式（组）主要以解一元二次不等式，解二元一次方程组和解一元一次不等式组为主，重在考察等式与不等式的基本性质和消元降次的思想.它们的解题程序课本中都有标准的过程，在这里不在一一说明.‎ 注意：解一元二次方程时可选择“公式法”，容易掌握和理解；解二元一次方程组时可选择“加减法”，可以提高速度；解一元一次不等式组时要关注数轴的准确画法与应用.‎ 例如1：解一元二次方程2x2-3x-5=0.‎ 解：由题可知：a=2,b=-3,c=-5.‎ 所以有b2-4ac=(-3)2-4×2×（-5）=49>0，‎ 即x=，‎ 所以原方程的根为x1=,x2=-1.‎ 注意：容易漏掉的步骤有只计算b2-4ac的值忘记判断正负性.‎ 例如2：解二元一次方程组.‎ 解：①×2＋②×3得：13x=2,即x=.把x=代入②得：y=.‎ 所以原方程组的解为：‎ 例如3：求不等式组 的整数解．‎ 解：解不等式①得：x≥-1,解不等式②得：x<2.‎ ‎｜ ｜ ｜ ｜‎ ‎-1 0 1 2‎ ‎●‎ ‎○‎ 把这两个解集表示在数轴上为：‎ 所以原不等式组的解集为：‎ ‎-1≤x＜2.‎ 故原不等式组的整数解为：-1，0，1.‎ 注意：容易出错的步骤是解不等式不等号的方向问题，画数轴上不准确，还有就是解完不等式后对下一问忽略.‎ 第二解答题（几何类——全等三角形证明与特殊四边形的判断与证明以及相关基本计算）：‎ ‎《课标》明确指出：几何题证明的难度不得超过证明定理的难度.因此，本题的几何问题多以直观判断图形的形状，判断图形间的关系，证明三角形全等和证明特殊四边形为主.近两年来，在此基础上加入了简单的图形计算内容.解决这类问题的基本程序是：先利用工具验证并直观判断图形的形状或关系，再寻找并证明两个三角形全等进而得所证问题，计算时多利用三角形的有关性质即可.‎ 例如1：如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．‎ ‎（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB’O≌△CDO．‎ 解：（1）图中等腰三角形有：△ABB/,△CBB/,△OAC;‎ ‎（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以有∠ABC=∠ADC,AB=CD.‎ 又因为△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，‎ 所以有∠ABC=∠AB/C,AB=AB/.即∠ADC =∠AB/C，CD =AB/.‎ 在△AB’O和△CDO中，因为∠ADC =∠AB/C，,∠AOB/=∠COD， CD =AB/,‎ 所以△AB’O≌△CDO．‎ D A M C B N E 例如2: 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,延长CB到点E，使BE=AD,连接DE交AB于点M.‎ ‎(1)求证：△AMD≌△BME;(2)若N是CD的中点，且MN=5,BE=2,求BC的长.‎ 证明：（1）∵AD∥BC,∴∠ADM=∠E.‎ 又∵∠AMD=∠EMB, BE=AD,‎ ‎∴△AMD≌△BME.‎ ‎(2)由（1）可知：△AMD≌△BME，‎ ‎∴DM=ME,又N是CD的中点，∴MN为△DEC的中位线.‎ 即MN=,代入MN=5,BE=2，解得：BC=8.‎ 说明： ‎ ‎①如果图形借助特殊四边形时，要先从特殊四边形的性质入手得出需要的结论作为后续证明的条件；如果图形中含有折叠、旋转或平移时，要根据图形变换的全等性得出需要的结论作为后续证明的条件；选择条件除上述两方面外，也要关注图形中的隐藏条件如对顶角、公共角、公共边等.‎ ‎②书写时，可用文字语言描述(例1)，也可用符号语言描述（例2）；书写因果关系时，一定在因为的后边为题目中结出的已知条件（或者说照抄题目中的相关条件），在所以的后边一定是根据某定理得出的结论.‎ ‎③针对图形的计算问题，首先要根据数学知识写出相关的结论（即用符号表示数量关系），再代入数值计算方可.‎ ‎④常见的书写问题有：利用角的关系时喜欢用三个大写字母表示，不会用数字表示费时不直观还容易抄写错误；把基本推理在心中完成，进而把其得到的结论当条件直接应用；有关图形的计算时不讲明道理直接用数字运算等.‎ 第三解答题（统计概率类——统计图表完善，样本估计总体状况计算问题）：‎ ‎《课标》指出：经历收集、整理、描述和分析数据的活动；会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据；能计算中位数、众数、加权平均数，会计算简单数据的方差；能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息；可以通过样本平均数，样本方差推断总体平均数和总体方差；能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，知道可以用频率来估计概率.‎ 根据课标要求，近几年中考中这部分知识解答题的考察，主要包括统计图表完善或制作，计算相关统计量并用统计量分析数据状况，利用统计和概率的思想用样本估计总体，计算简单事件的概率等.‎ 解题的一般程序是：先从统计图表中获取相关信息，通过计算完善统计图表；再根据统计图表获取相关信息，通过计算得出样本的相关统计量或频率，运用统计和概率的思想判断并计算总体的有关问题；最后利用排列的方法计算简单随机事件的概率.‎ 例如1: ‎5月31日是世界无烟日，某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的主要原因”，随机抽样调查了该市部分18~65岁的市民，下图是根据调查结果绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：‎ 正府对公共场所吸烟的监管力度不够 人们对吸烟的容忍度大 其它 对吸烟危害健康认识不足 烟民戒烟毅力弱 ‎420‎ m m ‎210‎ ‎240‎ 项目 ‎ 人数 ‎ 图1‎ A B C D E E ‎16%‎ A ‎28%‎ B ‎21%‎ C ‎21%‎ D 图2‎ ‎（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为 .‎ ‎（2）图1中的m的值是 .‎ ‎（3）求图2中认为“烟民戒烟毅力弱”所对应的圆心角度数.‎ ‎（4）若该市18~65岁的市民约为200万人，请你估算其中认为导致吸烟人中比例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数.‎ 解：（1）从统计图中不能发现，A类即有人数420人且占28%，E类即有人数240人且占16%，故可从中任取一项得调查的总人数为：420÷28%=1500（人）.‎ 注：从运算的难度上看选“E”计算较为简便.‎ ‎（2）由（1）知抽查的总人数为1500人，从扇形图中知“B”类对象占总人数的21%，故有m=1500×21%=315(人).‎ ‎（3）由图1知“烟民戒烟毅力弱”的人数为210人，总人数为1500人，所以“D”所对应圆心角的度数为：.‎ ‎（4）由扇形图可知：对“对吸烟危害健康认识不足”占调查的比例为21%，所以可以估计该市18~65岁的市民约为200万人中“对吸烟危害健康认识不足”的人数为：200万×21%=42万.‎ 克服酒驾---你认为哪一种方式更好？‎ A、 司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督 B、 在汽车上张贴“请勿酒驾”的提醒标志 C、 签定“永不酒驾”保证书 D、 希望交警加大检查力度 E、 查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任 例如2：为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如右的调查问卷（单选）。‎ 在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如下的统计图：‎ ‎100‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎0‎ A B C D E 选项 调查结果的条形统计图 人数 调查结果的扇形统计图 A ‎ m%‎ B ‎23%‎ C D E ‎60‎ ‎69‎ ‎36‎ ‎45‎ 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全条形统计图，并计算扇形统计统计图中m= ；‎ ‎（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？‎ ‎（3）若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发 “请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项B的司机小李被选中的概率是多少？‎ 解：（1）由统计图表可知：“B”类人数有69人，且占总调查人数的23%，所以调查的总人数为：69÷23%=300(人).即“C”‎ 类人数有：300-60-69-36-45=90（人），画图略.由（1）知调查的总人数为300人，其中“A”类人数为60人，所以它所占的比例为：60÷300=20%，故m=20.‎ ‎（2）该市支持选项B的司机大约为：5000×（69÷300）=1150（人）.‎ ‎（3）支持该选项B的司机小李被选中的概率为:69÷300=0.23.‎ 说明：‎ ‎①从统计图表中获取信息是学生学习统计概率知识所必须达到的能力，在书写时准确讲运用语言说明所需要的数据是如何获得，并指明计算的目的后才能列式计算.通常标准答案只需要指明计算的目的列式计算即可.‎ ‎②学生在解答统计与概率问题时，最容易把代数问题算术化，即只列出计算的式子得出结果，不说明计算的目的或任务，严格上讲不完整不准确.总的来说，统计与概率是获取数据、分析数据说明问题，利用样本估计总体，利用频数估计概率，必要的语言描述是必不可少的.‎ 第四解答题（代数类——函数基本应用或基本技能问题）‎ A D B C P O x y ‎┐‎ ‎·‎ 函数是中学数学的核心知识，也是中考数学命题的重心之一.近两年来看，解答题中增加了利用函数知识解决简单的实际问题，通过函数运算考察数形结合的思想与方法内容，其解题的一般程序是：设出所求函数的表达式（已知条件中告诉者略），寻找满足函数的一到两组对应值或在函数图象上找到一到两点的坐标并代入表达式求解；再根据函数图象、实际意义判断自变量的取值范围或根据函数表达式计算有关问题；设出运动点的坐标结合图形面积公式根据题中数量关系列出方程（组）求解即可.‎ 例如1：如图，一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=的图象交于点A(4,m)和B（-8，-2），与y轴交于点C.‎ ‎(1)k1= ,k2= ;‎ ‎(2)根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；‎ ‎（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:S△ODE=3:1时，求点P的坐标.‎ 解：（1）因为一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2=‎ 的图象交于点A(4,m)和B（-8，-2），所以有：m=4k1+2,-2=-8k1+2,-2=,解得：m=4,k1=,k2=16.‎ 说明：此步骤书写可根据需要，利用条件列出方程求解即可，常见问题有把条件分开后排列顺序或因果关系上不当，或书写量大费时；二是只关注了结论的需要忽视求m值，给后边解题造成不便.‎ ‎（2）（直线与双曲线产生两个交点，双曲线不连续，故它们的图象被分成了四部分，根据图象满足y1＞y2只有两部分：点B到y轴之间，以及点A的右边，所以x的取值范围是）-84.‎ 说明：这一步反映了数形结合的思想方法，确定函数值的大小关键能根据图象合理分类讨论，学生常见的错误是分类不准确不全面或书写不等号时方向以及带不带等号等.‎ ‎（3）方法一：∵一次函数y1=x+2与y轴交于点C，‎ ‎∴C的坐标为（0，2），即OC=2.‎ 又A点的坐标为（4,4）且AD⊥x轴，∴AD=4,OD=4.‎ 设点P的坐标为（a,b）,则有直线OP的表达式为：y=,‎ 当x=4时，有y=,故有DE=.‎ ‎∵S四边形ODAC=S△ODE=OD·DE=×4×=,‎ 由题意可得：3×=12，即a=2b.‎ 又因点P（a,b）在反比例函数y=上，则ab=16,把a=2b代入得：‎ ‎2b2=16,解得：b=.‎ 因为点P在第一象限，所以b=2,代入a=2b得：a=4,所以有点P(4,).‎ 方法二：由图可知：S四边形ODAC=，S△ODE=OD·DE，‎ 因为S四边形ODAC:S△ODE=3:1，所以=3×OD·DE 化简得：3DE=OC+AD.‎ 又一次函数y1=x+2与y轴交于点C，∴C的坐标为（0，2），即OC=2.‎ 又A点的坐标为（4,4）且AD⊥x轴，∴AD=4.‎ 由上可得：DE=2.即点E的坐标为（4，2），即直线OC的表达式为：y=x.‎ 解方程组，得：.‎ 因为点P在第一象限内，所以点P的坐标为（(4,).‎ 说明：‎ ‎①方法（1）先求出或设出图中点的坐标，然后用坐标值表示相关线段的长度，再代入图形的面积公式列出方程或方程组直接求出点P的坐标；方法（2）先根据图形的面积公式和题设等量关系列出含线段的等式，然后化简式子得出相关线段间的数量关系，再结合已知点的坐标求出未知点的坐标.从通性通法讲或从与高中接轨上讲方法（1）较为常用.‎ ‎②书写时存在的问题主要有：由已知函数表达式求点的坐标没有联系意识，用到什么求什么，造成逻辑不顺畅（应该首先考虑图形面积公式确定需要那些线段长度，能求出者利用函数表达式确定点的坐标得出线段长度，不能求出者设出点的坐标再表示出相关线段的长度）；利用题设中的数量关系和运动点所在函数图象上列出方程（组）求解时，解法不当或书写过多（通常只需列出方程在演草纸上演算，卷面上只接写出答案即可）.‎ ‎┐‎ F 例如2：如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）直接写出时x的取值范围；‎ ‎（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．‎ 解：（1）因为直线与反比例函数的图象交于A，B 两点，所以有6=k1+b,3=ak1+b,6=k2,3=,解得：k1=－3,k2=6,a=2.‎ ‎（2）由上可知：A(1,6),B(2,3),所以时x的取值范围是：125个. “转化”信息：利用（1）中结论，结合生活中数量关系：总费用=篮球费用+排球费用，设出某个球的购买数量代入简化式子即可列出不等式组，解之即可.‎ 解：（1）设篮球和排球的单价分别为x元，y元，依题意得：‎ ‎.答：篮球和排球的单价分别为48元，32元.‎ ‎（2）设购买篮球的数量为z个，则购买排球的数量为（36-z）个，依题意得：‎ ‎.‎ 因为篮球的数量只能为整数，故z可以取26，27，28.‎ 所以有三种购买方案，分别为购买篮球26个排球10个或购买篮球27个排球9个或购买篮球28个排球8个.‎ 例如3：某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：‎ 人数m ‎0＜m≤100‎ ‎100＜m≤200‎ m＞200‎ 收费标准（元／人）‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎75‎ 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人。经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元。‎ ‎（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？‎ ‎（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？‎ 解题方法提示：‎ ‎（1）首先明确该问是判断性问题，已知了联合组团的总费用又知道了价格表，只需计算判断结果是否为整数即可.因为18000÷75=240，1800÷85≈211.8,人的个数只能是整数，所以说超过了200人.‎ ‎（2）“简化”信息：甲校人数>100，乙校人数<100，甲单独费用+乙单独费用=20800元，甲、乙联合费用=18000元.“转化”信息：设两校报名参加旅游的学生各有x,y人，由（1）问知总人数为240人，结合生活中数量关系：团体旅游费用=人均收费标准×总人数，代入简化式子即可.(注意：甲校人数>100，有两种情况需分类列式计算，再结合实际判断正确结果).‎ 说明：‎ ‎①利用方程思想、不等式思想以及函数思想解决实际问题，其关键在于准确找出题目中所包含的数量关系，如何寻找数量关系需要自我“铺路架桥”.教材中多采用列表法、图象法等，均有一定具限性或操作不易等特点，“简化转化法”利用文字、符号与字母表示比较方便.‎ ‎②书写中存在的问题有：设与答不全即与题目中问题相比有出入或不带单位等；列出数量关系式子后解题啰嗦（直接解得写出结果即可）；忽视实际问题的生活意义，不能及时检验运算的正误浪费时间；语言的描述不准确等.‎ 第七解答题（几何类——探究性问题或方法迁移性问题）‎ 这类题目重在考察学生合理选择数学知识与有效利用基本技能所达到的综合数学能力.探究性问题的特点是在一个基本的平面图形内存在动点或动线变化，进而研究在变化过程中图形的特征变化及其对应下某线段（或角）的大小变化情况（或反之）；方法迁移性问题的特点是在一个特殊的图形背景下或简单的条件背景下，通过直观判断或简单证明计算得到相关结论，进而研究在图形一般化或条件一般化下上述结论的状况.解决探究性问题的一般程序是：第一步动手操，即在条件要求下演示图形变化，根据目标直观判断并确定动点动线的位置；第二步计算证明，即在第一步确定的图形下完成相关任务；解决方法迁移性问题的一般程序是：第一步在特殊图形或简单条件下通过计算或证明得出结论，并在心中记住证明或计算的方法与途径；第二步采取与第一步相同的方法与过程 完成第二步的解答，但要注意相关条件的书写变化，或将第一步的条件特征在第二步中重现出现，利用第一步的结论过渡完成相关问题.‎ 例如1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．‎ ‎（1）当x的值为_____时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；‎ ‎（2）当x的值为_________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；‎ ‎（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．‎ E ‎_‎ B ‎_‎ C ‎┍‎ ‎┑‎ M N ‎_‎ A ‎_‎ D ‎·‎ 解：（1）先解决有关梯形的问题，如图可得CN=PN=AM=4,BM=3,MN=5.由图可得：当点P运动到点M，N时，即x＝3或8时，四边形PADE为直角梯形.‎ ‎（2）由原题图可知：当AP∥DE或DP∥AE时，即x=1或11时，四边形PADE是平行四边形.‎ ‎_‎ P ‎_‎ E ‎_‎ A ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ D N ‎（3）四边形PADE为菱形首先必须是平行四边形，即在（2）的条件下讨论：当x=1时，在直角三角形DEN中计算得DE=,即此时该四边形不为菱形.‎ 当x=11时，图形略计算可得DP＝5＝AD，所以此时四边形PADE为菱形.‎ 说明：‎ ‎①本题的解题思路是先解决梯形的一般问题，即常用方法作出梯形的两条高，求出相关线段的长度；然后在此基础上考虑动点的位置，即直观判断点P在哪些位置时满足目标条件并计算x的值；最后在证明菱形时要先考虑该四边形必须是平行四边形，即在（2）的基础上分别画图并计算邻边是否相等即可.‎ ‎②I常见思路上的问题有：一是不解决梯形基本问题无从下手或顺序来回颠倒造成混乱；二是受图形中线段DE的影响只考虑一种情况；三是计算DE和DP的长度时不能合理作出直角三角形等.常见的书写的问题有：（1）（2）为填空题当有两种可能结果时不用“或”，第（3）问计算DE和DP的长度时书写的过程不完整规范等.‎ A B C E D F ‎┐‎ ‎┐‎ 例如2、如图，在Rt△ABC中，∠B=900,BC=5,∠C=300.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证：AE=DF;‎ ‎(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.‎ 解：（1）设运动时间为t秒，由题意可知：AE=t,CD=2t.‎ 在Rt△DFC中，因为∠C=300，所以有DF=CD=t,故有AE=DF.‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∵∠B=900,BC=5,∠C=300，且cos∠C=,‎ ‎∴AC=.由题意可得：AE∥DF且由（1）知AE=DF,故四边形AEFD为平行四边形.假设存在t值使得四边形AEFD能够成为菱形，则必有AD=DF.‎ 又AD=AC-CD=10－t,DF=t,故10-t=t,解得：t=5.‎ 所以，当t=5秒时，四边形AEFD是菱形.‎ ‎（3）在Rt△ABC中，∠B=900,∠C=300，且由（2）知AC=10,则有AB=5.‎ ‎①当∠EFD=900时，需DF⊥EF,即点E运动到点B，t=5秒. 此时CD=10,即点D运动到A, 点D、E、F共线，△DEF不存在，故∠EFD不能为900；‎ E B A C D ‎┐‎ ‎┐‎ F ‎②当∠EDF=900时，需ED∥BC,如图所示，有△AED∽△ABC,即,因为：AE=t, AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式计算可得：t=2.5.‎ ‎③当∠DEF=900时，需ED⊥AC,如图所示，‎ 可知△AED∽△ACB,即,因为：AE=t, AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式计算可得：t=4.‎ F A B C E D ‎┐‎ ‎┐‎ 综合可得：当t=2.5秒或t=4秒时，‎ ‎△DEF为直角三角形 说明：‎ ‎①本题的特点是点以一定的速度运动，判断并计算时间为多少时图形形状的特征变化.其解题思路是：根据目标要求，用时间t分别表示相关线段的长度，再结合图形形状的性质和判定，通过列方程或方程组计算得出相关t值即可.‎ ‎②解题思路存在的问题有：图形计算问题的两种基本方法（解直角三角形法，相似三角形法）运用不顺畅；主要在第（3）问中不能对图形直观判断合情推理，缺乏分类讨论，进而画不出需要的图形，造成思维不全面等.‎ ‎③书写存在的问题有：一是缺少全盘意识，不能把要用到的相关量先计算完成，而是在书写过程中发现时不断重复书写；二是不能合理运用合情推理，搞不明白书写过程中的核心步骤，进而造成面面俱到，费时费力等.‎ 例如3、类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.‎ A B C D E G F 图1‎ 原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若的值.‎ ‎（1）尝试探究：‎ A B C D E G F 图2‎ H 在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ，CG与EH的数量关系是 ， .‎ ‎（2）类比延伸：‎ A B C D E F 图3‎ 如图2，在原题的条件下，若 （用含m的代数式表示），试写出解答过程.‎ ‎（3）拓展迁移：‎ 如图3，梯形ABCD中，DC//AB,点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F.若 ‎ .（用含a,b的代数式表示）‎ 解：（1）AB=3EH,CG=2EH, .‎ 说明：作EH//AB后，图形中存在“A”型图和“‎‎8”‎ 型图，故考虑证相似三角形，利用相似三角形的性质得出结论.‎ ‎（2）在图2中，过点E作EH//AB交BG于点H,‎ 则有∠BAF=∠FEH,∠ABF=∠FHE.所以△ABF∽△EFH,所以即：AB=mEH.‎ 由平行四边形ABCD可知：AB=CD,AB//CD即EH//CG,‎ 则∠BHE=∠BGC,∠BEH=∠BCG, 所以△BEH∽△BCG,所以，‎ 又点E是BC边的中点，则BC=2BE,故有：CG=2EH.‎ 所以 说明：‎ ‎①与第（1）问相比可知：条件与图形均相同，所求结论也相同，改变的只是一个数量关系即把中3改为m，也就是把特殊化为一般.解决这类问题的思路完成等同于特殊情况（1）的思路，其方法就是照搬特殊情况下的解题步骤过程，只是在代入数值计算时不同.这就是数学方法的类比迁移.‎ A B C D E F 图3‎ H ‎②思路上和书写时容易出现的问题：一是特殊情况时只是填空过程省略，该问写过程时忽视第（1）问思路与方法，不能类比迁移方法造成思维不顺畅（如：不加辅助线，找不到相似图形等）；二是书写时会忽视三角形相似的证明过程，条件排列不得当等. ‎ ‎（3）过点E作EH∥CD交BD的延长线于点H,可得：‎ ‎△BCD∽△BHE,所以=b,即有EH=.‎ 又EH∥CD//AB,所以有 ‎△ABF∽△EHF,所以,故 说明：第三问与第（1）（2）相比，原始基本图形由平行四边形变为梯形（少了一组平行线），条件与结论中的线段比不变（只是把中点条件一般化即线段比值），故所谓“拓展迁移”就是让所有比值能出现在“A”字相似图或“‎8”‎字相似图中，利用相似转化线段比即可.（一般情况下，操作步骤与特殊图形与条件下相同，即过点E作CD的平行线，与另一线段或其延长线相交就会出现相似图形）.‎ ‎ 第八解答题(综合类——函数图象与平面图形在直角坐标系下综合问题)‎ ‎1、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8).‎ 抛物线y=ax2+bx经过A、C两点.‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ A B C D x y O P E F Q ‎┐‎ ‎┗‎ G ‎（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB,交AC于点E.‎ ‎①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长？‎ ‎②连接EQ,在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ为等腰三角形？请直接写出相应t的值.‎ 解：（1）点A的坐标为（4，8），因为抛物线y=ax2+bx经过A（4，8）、C（8，0）两点，所以有 ‎，解得：，所以抛物线解析式为：.‎ ‎ 说明：利用坐标的几何意义可得点A的坐标；已知抛物线上两点坐标代入抛物线解析式列出方程组求解即可.此问问题不大.‎ ‎（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b,又A(4,8),C(8,0),则有 ‎，解得：，所以直线AC的解析式为：y=-2x+16.‎ 由题意可得：AB=8,当运动时间为t秒时，可得AP=t，则BP=8-t,则点P的坐标为(4,8-t).由PE⊥AB,可知点E的纵坐标为8-t,又点E在直线y=-2x+16上，有8-t=-2x+16,得x=4+,所以点E的坐标为（4+,8-t）. 又EF⊥AD交抛物线于点G，可得点G的横坐标为4+，又点G在抛物线上，有y=,‎ 则点G的坐标为（4+，）.‎ 所以EG=-(8-t)= ,‎ 即当t=4秒时，EG值最大，最大值为2.‎ 说明：‎ ‎①此问的解题思路是：由时间×速度得线段的长度，由线段的长度得相关点的坐标，由点在函数图象上得坐标关系，最后利用坐标表示所求线段的长度进而转化为二次函数求最值.这是解决函数与图形综合问题的通用方法.‎ A B C D x y O P E F Q ‎┐‎ ‎┗‎ G H ‎┎‎ ‎②本问解题时常见的错误有：坐标转化时不顺畅（没有按字母出现的次序进行或用字母表示坐标时运算错误等）；书写时不流畅（不能合理运用合情推理，缺乏语言表达意识用“∵∴”符号造成一些混乱等）.‎ ‎②当t=或t=或t=时，△EQC为等腰三角形.‎ 提示：延长PE交CD于点H,由题意可得：‎ EH⊥CD.由题设和①问可知：EH=PH-PE=AD-PE=4-,QC=t,CH=BP=8-t,‎ HQ=HC-QC=PB-QC=8-2t，‎ 则EQ2=EH2+HQ2=(4-)2+(8-2t)2=.‎ EC2=EH2+CH2=(4-)2+(8-t)2=.‎ ‎(i)当EQ=QC时，有=t2,解得：t1=8（不合题意舍去），t2=;‎ ‎(ii)当EC=QC时，有=t2,解得：t1=（不合题意舍去），t2=;‎ ‎(iii)当EQ=EC时，有=，解得：t1=0（不合题意舍去），t2=.‎ 说明：‎ ‎①此问的解题思路是：先直观判断点在运动中目标图形所有可能的情况，进而确定需要的线段长度；其次利用“时间速度→线段长度（用t表示）→‎ 图形性质转化或线段和差计算需要线段长度（用t表示）→结合分类讨论列方程求t→判断t的实际意义取舍→最后得出结论.‎ ‎②本问存在的疑难问题是：一是观察或操作能力较弱，不能合情分类；二是解方程时运算量较大，反映出运算意志与运算能力薄弱等.‎ ‎2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．‎ ‎┙‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ N ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ 解：（1）略；（提示：设出抛物线解析式，代入点的坐标列出方程组即可）‎ ‎（2）由（1）知：2+x-4.过点M作MN⊥x轴交于点N，因为A，B，所以OA=4,OB=4.设点M的坐标为（m，h）,又点M在第三象限，故 AN=4+m,ON=-m,MN=-h.又点M在抛物线上，h=2+m-4.则 S△AMN=AN·MN=(4+m) (-h)=-h(4+m);S△AOB=AO·OB=×4×4=8,‎ S梯形MNOB=.‎ 即：S= S△AMN+ S梯形MNOB- S△AOB=-h(4+m)+ -8=-2h-2m-8‎ ‎ =-2(2+m-4)‎-2m-8=-m2‎-4m.故S=-m2‎-4m.‎ 所以S=-(m+2)2+4,即当m=-2时，S取最大值为4.‎ 说明：‎ ‎①此问解题思路是：首先作垂直把目标三角形面积和差化，由已知点坐标得相应线段长度，设出未知点坐标由坐标几何意义得相应线段长度，再由点在抛物线上得横纵坐标关系，把线段长度代入图形面积公式进而列出函数表达式化简即可.‎ ‎②‎ 解决问题存在的易难处：目标三角形的面积转化思路不明，利用已知和未知点的坐标求相应线段长度缺乏耐心且计算时产生混乱；书写时存在的问题主要有：一是对点M在第三象限理解不够产生符号问题，不能把复杂问题简化为若干小问题造成书写过多过长等.‎ ‎（3）如图，共有四种情况，它们的坐标分别为 Q1(-4,4),Q2(4,-4),Q3(-2+2,2-2)，Q4(-2-2,2+2). ‎ ‎ 说明：‎ Q3‎ Q1‎ Q2‎ ‎(P2)‎ ‎(P1)‎ P3‎ P4‎ Q4‎ ‎ ①本问的解题思路是：先利用工具直观判断目标问题的所有情况（因为只有线段OB不动，当OB为平行四边形的边时，可用尺子左右平移OB，当两个端点分别落在抛物线和直线上时停止即可得Q1,Q3,Q4；当OB为平行四边形的对角线时，因为AB∥直线y=-x,故点P只能在A两点，可得点Q2.）,然后根据△AOB为等腰直角三角形得点Q1, Q2坐标，结合点在图象上满足函数关系式且用坐标表示距离列方程可得点Q3,Q4的坐标.‎ ‎②本问存在的问题有：不能利用工具合情判断目标点的位置，利用坐标的“双重性”即满足函数关系又可表示线段长度不熟练等.‎ A O x y B C P D ‎┌‎ E ‎3、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A,B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A,B两点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.‎ ‎（1）求a,b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P横坐标为m,‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；‎ ‎②连结PB,线段PC把△‎ PBD分成两个三角形，是否存在合适的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）对于直线，当y=0时得x=-2;当y=3时得x=4,所以点A、B的坐标分别为（-2，0），（4，3）.又A、B两点在抛物线y=ax2+bx-3上，有 ‎. ‎ 设直线AB与y轴相交于点E,则有E(0,1).又点A(-2,0),则有OA=2,OE=1,‎ AE=.‎ ‎∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO.‎ 即sin∠ACP= sin∠AEO=.‎ ‎ 说明：‎ ‎ ①本问解题思路是：由已知函数解析式求交点的坐标，再由交点坐标求未知函数的系数或解析式；由题意可知∠ACP位置不确定但大小一定，所以利用平移把∠ACP转化到确定的直角三角形中（∠ACP=∠AEO），再利用坐标求出Rt△AEO各边的长度，最后用三角函数定义即可.‎ ‎②本题的疑难之处是：求动角的三角函数问题必须转化为定角的问题解决，这种方法学生不常用不太容易想到.‎ ‎（2）①设点P的坐标为（m,n）,点C的坐标为（m,p）,又点P在抛物线 y=上，点C在直线上，则有n=,p=,‎ ‎∴PC=p-n=-()=.‎ 在Rt△PDC中，∵sin∠ACP=,‎ ‎∴PD=.‎ ‎∵，∴当m=1时，PD取最大值为.‎ 说明：‎ ‎①‎ 本题的解题思路是：设出动点坐标，利用函数解析式得出坐标间的关系，再利用坐标的几何意义表示需要线段长度；然后解直角三角形转化为所求线段关于m的函数关系式确定最值.‎ ‎②本题的疑难点是：“函数关系式点的坐标线段长度”之间的互相转化不熟练，在坐标系中求不平行坐标轴的线段长度不明确利用“解直角三角形”方法，代数式的化简与变形不熟练等.书写时主要问题是程序排列上不得当，因果关系表示不明确等.‎ ‎②分别过点B、D作BM⊥PC、DN⊥PC,垂足分别为M、N，‎ 有∠ACP=∠PDN. ∵sin∠ACP=,∴cos∠ACP=.‎ A O x y B C P D ‎┌‎ M N 在Rt△PDN中，由cos∠PDN=cos∠ACP=,PD=,‎ ‎∴DN=.又∵B(4,3),M(m,n),∴BM=4-m.‎ 则有：.‎ 当时，有m=.‎ 当时，有m=.‎ 说明：‎ ‎①本题解题思路是：根据目标三角形共有一条平行于坐标轴的边可以把目标三角形的面积比转化为线段比（即向公共边作垂直，两高的比），进而利用前问的条件和结论用坐标表示两条高，最后列出方程求解即可.‎ ‎②本题的疑难点是：不能发现目标三角形的共性点不作垂线找不到思路，也就无法把面积问题转化为线段问题，其次是不能很好的利用已有的结论和条件，盲目思考现象严重，最后就是不能对代数式简化运算(分解因式)造成计算性错误等.书写时存在的问题同上一问.‎