2019届二轮复习第3讲　分类讨论、转化与化归思想学案（全国通用） 10页

第3讲　分类讨论、转化与化归思想 数学思想解读　1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.‎ 热点一　分类讨论思想的应用 应用1　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 ‎【例1】 (1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.‎ ‎(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.‎ 解析　(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m.‎ 解得a＝2，m＝.‎ 此时g(x)＝－为减函数，不合题意.‎ 若01两种情况讨论.‎ ‎2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·长沙一中质检)已知Sn为数列{an}的前n项和且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为(　　)‎ A.8 B.10 C.16 D.32‎ ‎(2)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.‎ 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.‎ 因为Sn＝2an－2，‎ 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，‎ 两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，‎ 则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，‎ 则S5－S4＝a5＝25＝32.‎ ‎(2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.‎ 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.‎ 当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.‎ 当－1|PF2|，则的值为________.‎ 解析　若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，‎ 又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，‎ 解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.‎ 若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，‎ 所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，‎ 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.‎ 综上知，＝或2.‎ 答案　或2‎ 应用3　由变量或参数引起的分类讨论 ‎【例3】 已知f(x)＝x－aex(a∈R，e为自然对数的底数).‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)f′(x)＝1－aex，‎ 当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；‎ 当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，‎ 若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)>0；当x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)<0.‎ 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.‎ ‎(2)f(x)≤e2xa≥－ex，‎ 设g(x)＝－ex，则g′(x)＝.‎ 当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.‎ 当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，‎ ‎∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.‎ 所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.‎ 故a的取值范围是[－1，＋∞).‎ 探究提高　1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.‎ ‎(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.‎ ‎2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.‎ ‎【训练3】 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间.‎ 解　f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.‎ 因为t≠0，所以分两种情况讨论：‎ ‎①若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－t，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎    所以，f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；‎ f(x)的单调递减区间是.‎ ‎②若t>0，则－t<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－t)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎    所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，；‎ f(x)的单调递减区间是.‎ 热点二　转化与化归思想 应用1　特殊与一般的转化 ‎【例4】　(1)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)‎ A.2a B. C.4a D. ‎(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.‎ 解析　(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.‎ 过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，‎ ‎∴＋＝4a.‎ ‎(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，‎ 则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).‎ 令y＝|a＋b|＋|a－b|‎ ‎＝＋ ‎＝＋，‎ 令y＝＋，‎ 则y2＝10＋2∈[16，20].‎ 由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，‎ ‎(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，‎ 即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.‎ 答案　(1)C　(2)4　2 探究提高　1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.‎ ‎2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.‎ ‎【训练4】 (1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么(　　)‎ A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4＋a5 D.a1a8＝a4a5‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.‎ 解析　(1)取特殊数列{an}，其中an＝n(n∈N*).‎ 显然a1·a8＝81，都有f(x＋t)≤3ex，试求m的最大值.‎ 解　∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，‎ ‎∴f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋ln x－x.‎ ‎∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立.‎ 令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m).∵h′(x)＝－1≤0，‎ ‎∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，‎ 又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.‎ ‎∴要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，‎ 只需1＋ln m－m≥－1.‎ ‎∵h(3)＝ln 3－2＝ln>ln＝－1，‎ h(4)＝ln 4－3＝ln0恒成立，‎ 则即 解得log2x<－1或log2x>3，即08，‎ 故实数x的取值范围是∪(8，＋∞).‎ ‎(2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，‎ 则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.‎ 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x.‎ 当x∈(t，3)时恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，‎ 则m＋4≥－1，即m≥－5；‎ 由②得m＋4≤－3x，当x∈(t，3)时恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.‎ ‎∴使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围是.‎ 答案　(1)∪(8，＋∞)　(2) 探究提高　1.第(1)题是把关于x的函数转化为在[0，4]内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.‎ ‎2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.‎ ‎【训练6】 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.‎ 解析　由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，‎ 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.‎ 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，‎ ‎∴即解得－