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- 2023-04-05 发布
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题
宝山区、嘉定区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
在圆中，、是圆的半径，点在劣弧上，，，∥，联结.
（1）如图8，求证：平分；
（2）点在弦的延长线上，联结，如果△是直角三角形，请你在如图9中画出
点的位置并求的长；
（3）如图10，点在弦上，与点不重合，联结与弦交于点，设点与点的
距离为，△的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
图8
图9
图10
图8
25.（1）证明：∵、是圆的半径
∴…………1分
∴…………1分
∵∥
∴…………1分
∴
∴平分…………1分
(2)解：由题意可知不是直角，
所以△是直角三角形只有以下两种情况:
和
① 当，点的位置如图9-1……………1分
图9-1
过点作,垂足为点
∵经过圆心 ∴
∵ ∴
在Rt△中，
∵ ∴
∵∥ ∴
∵ ∴
∴四边形是矩形
图9-2
∴
∴……………2分
②当，点的位置如图9-2
由①可知，
在Rt△中，
∴
……………2分
综上所述，的长为或.
说明：只要画出一种情况点的位置就给1分，两个点都画正确也给1分.
（3）过点作,垂足为点
图10
由（1）、（2）可知，
由（2）可得：
∵∴……………1分
∵∥∴……………1分
又,,
∴ ∴ ……………1分
∴
∴……………1分
自变量的取值范围为……………1分
长宁区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
图1
图2
备用图
第25题图tututu图
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB， （2分）
在Rt△AOC中，，AO=5，
∴ （1分）
， （1分）
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3
∵AC=x，∴
在Rt△HOC中，，AO=5，
∴， （1分）
∴
（） （3分）
（3）①当OB//AD时， 过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，
则OF=AE， ∴
在Rt△AOF中，，AO=5，
∴ ∵OF过圆心，OF⊥AD，∴. （3分）
②当OA//BD时， 过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，
则由①的方法可得， 在Rt△GOD中，，DO=5，
∴，，
在Rt△GAD中，，∴ （ 3分）
综上得
崇明区
25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）
如图，已知中，，，，D是AC边上一点，且，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），，AE与BD相交于点G．
（1）求证：BD平分；
（2）设，，求与之间的函数关系式；
（3）联结FG，当是等腰三角形时，求BE的长度．
（备用图）
A
B
C
D
（第25题图）
A
B
C
D
G
E
F
25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
（1）∵， 又∵
∴ ∴ ……………………………1分
∵ ∴
又∵是公共角 ∴ …………………………1分
∴，
∴ ∴ ∴ ………………………1分
∴ ∴平分 ………………………1分
（2）过点作交的延长线于点
∵ ∴
∵， ∴ ∴ ……1分
∵ ∴ ∴ ∴…1分
∵ 即
∵ ∴ 又∵
∴ ……………………………………………………………1分
∴ ∴
∴ …………………………………………………………1分
（3）当△是等腰三角形时，存在以下三种情况：
1° 易证 ，即，得到 ………2分
2° 易证，即， …………2分
3° 易证 ，即 ………2分
奉贤区
25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）
已知：如图9，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．
（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
图9
A
B
C
D
O
E
备用图
A
B
O
备用图
A
B
O
黄浦区
25．（本题满分14分）
如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）
由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.
在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，
所以，——————————————————————（1分）
则.———————————————（2分）
（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分）
则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.
∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————（1分）
又AD=AE=1，
∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1分）
由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分）
所以∠AEC=70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）
（3）当∠AEC=90°时，
易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，
则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，
得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）
当∠CAE=90°时，
易知△CDA∽△BCA，又，
则（舍负）—————（2分）
易知∠ACE<90°.
所以边BC的长为2或.——————————————————（1分）
金山区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）
如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，，P是线段BC上
一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线
CD相交于点E，设BP=x．
（1）求证△ABP∽△ECP；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，
求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．
A
B
P
C
D
Q
E
A
B
C
D
图9
备用图
25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……（1分）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1分）
∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1分）
（2）作AM⊥BC，PN⊥AD，
∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，
∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1分）
在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=，
∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………（1分）
∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ= 2x-8，……………………………………（1分）
∴，即，………………………（1分）
定义域是．………………………………………………………（1分）
（3）解法一：由△QED 与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，
①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，
又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………（2分）
②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠APB，∴ AB=AP，∵AM⊥BC，∴ BM=MP=4，∴ BP=8．………（2分）
综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1分）
解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD，
在Rt△APN中，，
∵QD∥PC，∴，
∵△APB∽△ECP，∴，∴，
①如果，∴，即，
解得………………………………………………………………………（2分）
②如果，∴，即，
解得………………………………………………………………………（2分）
综上所述BP的长为5或者8．…………………………………………………（1分）
静安区
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）
A
第25题图
B
P
O
C
D
E
·
如图，平行四边形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．设BP= x．
（1） 求AC的长；
（2） 设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，
求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
第25题备用图
A
B
O
C
D
（3） 如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，
求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
A
·
第25题图(1)
B
P
O
C
H
E
D
解：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，
那么…………（2分）
BC=9，HC=9-2=7，
， ……………………（1分）
﹒ ………（1分）
·
A
第25题图(2)
B
P
O
C
D
H
E
I
（2）作OI⊥AB于I，联结PO, AC=BC=9，AO=4.5
∴∠OAB=∠ABC,
∴Rt△AIO中，
∴AI=1.5，IO= ……………………（1分）
∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=， ……………………（1分）
∴Rt△PIO中，
……（1分）
∵⊙P与⊙O外切，∴ ……………………（1分）
∴= …………………………（1分）
∵动点P在边AB上，⊙P经过点B,交线段PA于点E．∴定义域：0 90o．
与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．
∴四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………（2分）
普陀区
25．（本题满分14分）
已知是的直径延长线上的一个动点，的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，，，如图11所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．
（1）当时，求线段的长；
（2）设圆心在直线上方，试用的代数式表示；
（3）△在点P的运动过程中，是否能成为以为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时的值；如果不能，请说明理由．
O
A
B
备用图
P
D
O
A
B
C
图11
25．解：
（1）过点作⊥，垂足为点，联结．
在Rt△中，∵，，∴． （1分）
∵＝6，∴． （1分）
由勾股定理得 ． （1分）
∵⊥，∴． （1分）
（2）在Rt△中，∵，，∴． （1分）
在Rt△中，． （1分）
在Rt△中，． （1分）
可得 ，解得． （2分）
（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况：
● 当圆心、在弦异侧时
①，即，由解得． （1分）
即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去． （1分）
②，由，
解得，即，解得． （1分）
● 当圆心、在弦同侧时,同理可得 ．
∵是钝角，∴只能是，即，解得． （2分）
综上所述，的值为或．
青浦区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图9-1，已知扇形MON的半径为，∠MON=，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y．
（1）如图9-2，当ABOM时，求证：AM =AC；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.
图9-1
图9-2
备用图
25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM =90°． （1分）
∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM． （1分）
∵∠OAC=∠BAM，OC =BM，
∴△OAC≌△ABM， （1分）
∴AC =AM． （1分）
（2）过点D作DE//AB，交OM于点E． （1分）
∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM． （1分）
∵DE//AB，
∴，∴AE＝EM，
∵OM=，∴AE＝． （1分）
∵DE//AB，
∴， （1分）
∴，
∴．（） （2分）
（3）（i） 当OA=OC时，
∵，
在Rt△ODM中，．∵，
∴．解得，或（舍）． （2分）
（ii）当AO=AC时，则∠AOC =∠ACO，
∵∠ACO >∠COB，∠COB =∠AOC，∴∠ACO >∠AOC，
∴此种情况不存在． （1分）
（ⅲ）当CO=CA时，
则∠COA =∠CAO=，
∵∠CAO >∠M，∠M=，∴>，∴>，
∴，∵，∴此种情况不存在． （1分）
松江区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E.
（1）求CE的长；
（2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q.
① 如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长；
(备用图)
C
B
A
D
E
(第25题图)
C
B
A
D
E
② 如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长.
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）
(第25题图)
C
B
A
D
E
解：（1）∵AE∥CD
∴…………………………………1分
∵BC=DC
∴BE=AE …………………………………1分
设CE=x
则AE=BE=x+2
∵ ∠ACB=90°，
∴
即………………………1分
C
B
A
D
E
P
Q
∴
即…………………………………1分
（2）①
∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P
∴∠ACQ=∠P…………………………………1分
又∵AE∥CD
∴∠ACQ=∠CAE
∴∠CAE=∠P………………………………1分
∴△ACE ∽△PCA，…………………………1分
∴…………………………1分
即
∴ ……………………………1分
②设CP=t，则
∵∠ACB=90°，
∴
∵AE∥CD
∴……………………………1分
即
∴……………………………1分
若两圆外切，那么
此时方程无实数解……………………………1分
若两圆内切切，那么
∴
解之得………………………1分
又∵
∴………………………1分
徐汇区
25. 已知四边形是边长为10的菱形，对角线、相交于点，过点作∥交延长线于点，联结交于点.
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，以为直径作⊙，⊙经过点交边于点（点、
不重合），设的长为，的长为；
① 求关于的函数关系式，并写出定义域；
① 联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.
杨浦区
25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥
DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.
（1） 当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2） 分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3） 将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。