高考数学专题12常用逻辑用语试题理含解析 22页

专题 1.2 常用逻辑用语 【三年高考】 1. 【2016 高考浙江理数】命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ） A． ，使得 B． ，使得 C． ，使得 D． ，使得 【答案】D 【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选 D． 2．【2016 高考山东理数】已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线a 和直线 b 相交”是“平 面 α 和平面 β 相交”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 3．【2016 高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q<0”是“对任意的正整数 n， a2n−1+a2n<0”的（ ） （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分 条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得， ，故是必 要不充分条件，故选 C. 4．【2016 高考上海理数】设 ，则“ ”是“ ”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 ，所以是充分非必要条件，选 A. 5．【2015 高考新课标 1，理 3】设命题 ： ，则 为( ) *x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x> *x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈，R N 2n x< *x n∃ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈，R N 2n x< ∀ ∃ ∃ ∀ 2n x≥ 2n x< 2 2 2 1 2( 1) 2 1 2 10 ( ) 0 ( 1) 0 ( , 1)n n n n na a a q q q q q− − − − + < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ ∈ −∞ − Ra∈ 1>a 12 >a 2 21 1, 1 1 1a a a a a> ⇒ > > ⇒ > < −或 p 2, 2nn N n∃ ∈ > p¬ （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 : ，故选 C. 6.【2015 高考湖北，理 5】设 ， . 若 p： 成等比数列； q： ，则（ ） A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 【答案】A 7.【2015 高考重庆，理 4】“ ”是“ ”的（　　 ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 ，因此选 B. 8.【2015 高考山东，理 12】若“ ”是真命题，则实数 的最小值为 . 【答案】1 9.【2015 高考湖南，理 2】.设 ， 是两个集合，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, =2nn N n∃ ∈ p¬ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 1 2, , , na a a ∈R 3n ≥ 1 2, , , na a a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1( )( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a− −+ + + + + + = + + +   1x > 1 2 log ( 2) 0x + < 1 2 log ( 2) 0 2 1 1x x x+ < ⇔ + > ⇔ > − 0, ,tan4x x m π ∀ ∈ ≤   m A B A B A= A B⊆ 【答案】C. 【解析】由题意得， ，反之， ，故为充要条件，选 C. 10.【2014 高考湖南卷第 5 题】已知命题 在命题 ① 中，真命题是（ ） A①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】当 时,两边乘以 可得 ,所以命题 为真命题,当 时, 因为 ,所以命题 为假命题,则 为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选 C. 11.【2014 陕西高考理第 8 题】原命题为“若 互为共轭复数，则 ”，关于逆命题，否命题，逆 否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 【答案】 【解析】设复数 ，则 ，所以 ，故原命题为真； 逆命题：若 ，则 互为共轭复数；如 ， ，且 ，但此时 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若 不互为共轭复数，则 ；如 ， ，此时 不互为共轭复，但 ，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同， 所以逆否命题为真；故选 . 12.【2014 重庆高考理第 6 题】已知命题 对任意 ，总有 ； 是 的充分不必 要条件则下列命题为真命题的是（ ） 【答案】D 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、 必要条件、全称与特称命题等知识点为主，难度不大，全称命题与特称命题，是新课标教材的新增内容， A B A A B= ⇒ ⊆ ABABA =⇒⊆  .,:,: 22 yxyxqyxyxp ><−<−> 则若；命题则若 qpqpqpqp ∨¬¬∧∨∧ ）④（③② );(;; x y> 1− x y− < − p 1, 2x y= = − 2 21 4x y= < = q q¬ 1 2,z z 1 2z z= B 1z a bi= + 2 1z z a bi= = − 2 2 1 2z z a b= = + 1 2z z= 1 2,z z 1 3 4z i= + 2 4 3z i= + 1 2 5z z= = 1 2,z z 1 2,z z 1 2z z≠ 1 3 4z i= + 2 4 3z i= + 1 2,z z 1 2 5z z= = B :p x R∈ 2 0x > :" 1"q x > " 2"x > .A p q∧ .B p q¬ ∧ ¬ .C p q¬ ∧ .D p q∧ ¬ 是考查的重点.高考对本节考查的题型是选择题或填空题.有时在大题的条件或结论中出现，以本节知识作 为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为 载体来考查，重点考查学 生的推理能力. 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式,在 2017 年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习, 高考备考 中同学们只需要像集合一样，掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的 例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题 的高考备考还需要注意以下几点：1.在命题类的题目 中首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；2.要 注意四种命题关系的相 对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真 命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入 手；3.要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少 个的否定为至多 个等；4.充要条件的判断，重 在“从定义出发”，利用命题“若p，则 q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁 是条件”“谁是结论”，如“A 是 B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是 B”中，A 是结论，B 是条件；5.注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不 同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”；6.注意理解逻辑联结词与集合的关系；7.正确区别命题的否定与否 命题. 命题及其关系，以及逻辑联结词, 全称量词与存在量词, 充要条件 2016 年全 国卷中没考,估计 2017 年可能 从中选一考查.预测 2017 年高考仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、 不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查.题目以选择填空题为主，在总分中占 5 分， 重点考查学生的推理能力. 【2017 年高考考点定位】 高考对常用逻辑用语的考查有四种形式：一是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与 全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断.难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等 式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查. 【考点 1】四种命题 【备考知识梳理】 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题， 判断为假的语句叫做假命题. n 1n − 二、四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 ，则 逆否命题 若 ，则 三、四种命题之间的逆否关系 四、四种命题之间的真假关系 1、 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2、 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 【规律方法技巧】 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产 生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： （1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题； （2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题； （3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。 2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不 同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 3.命题真假的判断方法：判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及 数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 4. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系 p¬ q¬ q¬ p¬ 确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假． 5. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否 定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 【考点针对训练】 1. 【安徽省示范高中 2016 届高三第二次联考】原命题为“三角形 ABC 中，若 cosA <0，则三角形 ABC 为钝 角三角形”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A．真，真，真 B. 假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假 【答案】B 【解析】 ， 为钝角，则三角形 为钝角三 角形，所以原命题为真,则逆否命题也为真. 三角形 为钝角三角形，可能是 或者 为钝角， 可能为锐角， .所以逆命题为假,则否命 题也为假.故 B 正确. 2. 【江西省吉安市第一中学 2016 届高三上学期第四次周考数学理试题】下列说法中正确的是（ ） A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ” B. 已知 是上的可导函数，则“ ” 是“ 是函数 的极值点”的必要不充分 条件 C.命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意 ，均有 ” D.命题“角 的终边在第一象限，则 是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】B 【考点 2】逻辑连接词 【备考知识梳理】 1.用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 p∧q，读作“p 且 q”. cos 0A < A ABC ABC B C A cos 0A > 2 1x = 1x = 2 1x = 1x¹ ( )y f x= ( )0 0f x¢ = 0x ( )y f x= x RÎ 2 1 0x x+ + < x RÎ 2 1 0x x+ + < a a 2.用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 p∨q，读作“p 或 q”. 3.对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ，读作“非 p”或“p 的否定”. 4.命题 p∧q，p∨q， 的真假判断：p∧q 中 p、q 有一假为假，p∨q 有一真为真，p 与 非 p 必定是一真一 假. 【规律方法技巧】 1.正确理解逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、 补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题. 2.正确区别命题的否定与否命题:“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到 的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论.命题的否定 与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系. 3.含有逻辑连接词命题的真假判断步骤: (1)准确判断简单命题 p、q 的真假； (2)判断“p∧q”“p∨q”“ p”命题的真假. 4.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律 (1)p∨q：p、q 中有一个为真，则 p∨q 为真，即一真即真； (2)p∧q：p、q 中有一个为假，则 p∧q 为假，即一假即假； (3) p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反. 【考点针对训练】 1. 【2016 届河北省石家庄市高三二模】 命题 ，命题 在 中，若 ， 则 .下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016 年广东省揭阳市高中毕业班二模】已知命题 ，命题 ，则下列判断正确的是 A．命题 是假命题 B．命题 是真命题 C．命题 是假命题 D．命题 是真命题 p¬ p¬ ¬ ¬ xyyxp 2: ≥+ :q ABC∆ BA sinsin > BA > p q¬ qp ∨ qp ∧ : ,cos sinp x R x x∃ ∈ > 1: (0, ),sin 2sinq x x x π∀ ∈ + > p q∨ p q∧ ( )p q∨ ¬ ( )p q∧ ¬ 【答案】D 【解析】：当 x＝ 时， 成立，所以，命题 p 是真命题；当 时， ，故 q 是假命题，从而有 是真命题. 【考点 3】全称命题与特称命题 【备考知识梳理】 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意 x 属于 M， 有 p(x)成立”. 2.存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题，叫做特称命题. (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”. 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M， p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M， p(x) 【规律方法技巧】 1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成立； (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则这一特 称命题就是假命题. 3.全称与特称命题的否定需要注意: (1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. (2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定. 【考点针对训练】 1. 【2016 年安徽淮北一中最后冲刺】命题“ 或 ”的否定形式是（ ） 6 π cos sinx x> 2x π= 1sin 2sinx x + = ( )p q∧ ¬ ¬ ¬ 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + < 2 0 0 0x x− > A． 或 B． 或 C． 且 D． 且 【答案】D 2. 【2016 届重庆市南开中学高三 12 月月考】已知命题 对任意 ，有 ，则（ ） A． 存在 ，使 B． 对任意 ，有 C． 存在 ，使 D． 对任意 ，有 【答案】A 【考点 4】充分条件与必要条件 【备考知识梳理】 1.如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 2.如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件. 3.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件. 【规律方法技巧】 充要关系的几种判断方法 1.定义法：若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要而 不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不必 要条件。 2.等价法：即利用 与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条件 或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 3. 充要关系可以从集合的观点理解：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度 来考虑，记条件 、 所对应的集合分别为 、 ，则： ○1 若 ,则 是 的充分条件．○2 若 ,则 是 的充分不必要条件． ○3 若 ,则 是 的必要条件．○4 若 A,则 是 的必要不充分条件． 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + ≥ 2 0 0 0x x− ≤ , 1 0x R x∀ ∈ + ≥ 2 0x x− ≤ 0 0, 1 0x R x∃ ∈ + ≥ 2 0 0 0x x− ≤ , 1 0x R x∀ ∈ + ≥ 2 0x x− ≤ :p x R∈ cos 1x ≤ :p¬ x R∈ cos 1x > :p¬ x R∈ cos 1x > :p¬ x R∈ cos 1x ≥ :p¬ x R∈ cos 1x ≥ ,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒ p q ,p q q p⇒ ⇒ p q ,p q q p≠> ≠> p q p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔ p q A B A ⊆ B p q A B p q A ⊇ B p q B p q ○5 若 = , 则 是 的充要条件．○6 若 , 且 则 是 的既不充分也不必要条件． 【特别提醒】 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前者是 “ ”而后者是“ ”． 2．从逆否命题，谈等价转换：由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真 假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”． 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西师大附中高三上学期期末】 “ ”是“曲线 为双曲线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时， ， ，原方程是双曲线方程；当原方 程为双曲线方程时，有 ；由以上说明可知 是“曲线 是 双曲线”充分而非必要条件．故本题正确选项为 A. 2. 【2016 届高三 江西师大附中、鹰潭一中联考】已知 ,“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【应试技巧点拨】 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判 断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与 A B p q A B A B p q ,p q q p⇒ ≠> ,p q q p≠> ⇒ 3>m 02 >−m 121)2( 22 22 =−−⇒=−− m y m xymmx 202,0 >⇒>−> mmm 3>m 1)2( 22 =−− ymmx m R∈ 2 1xy m= + − logmy x= 0 +∞（ ， ） 3m > 2 2( 2) 1mx m y− − = 否命题同真或同假来判定. 2. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否 定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 3.“p q”“p q”“ p”形式命题真假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式； （2）判断其中命题 p、q 的真假； （3）确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假． 4．含逻辑联结词命题真假的等价关系 （1）p q 真⇔p,q 至少一个真⇔( p) ( q)假. （2）p q 假⇔p,q 均假⇔( p) ( q)真. （3）p q 真⇔p,q 均真⇔( p) ( q)假. （4）p q 假⇔p,q 至少一个假⇔( p) ( q)真. （5） p 真⇔p 假; p 假⇔p 真. 5．命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断规律：p q 中 p、q 有一假为假，p q 有一真为真，p 与非 p 必定 是一真一假． 6.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 真 所有对象使命题真 否定为假全称命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 真 存在一个对象使命题真 否定为假特称命题 假 所有对象使命题假 否定为真 7.对于命题的考查,因其载体丰富多彩,涉及知识较多,但命题角度以基础知识为主,多以易错点出发命制, 故得分不易,出错率较高,因此解题时一定要静下心来,仔细分析,慢慢审题,联想可能出现的特殊情况,考虑 全面即可. 二年模拟 ∨ ∧ ¬ ∧ ∨ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ∧ ¬ ∨ ¬ ¬ ¬ ∧ ∨ 1. 【2016 年湖南师大附中高三月考】“cos ＝ 3 2 ”是“cos 2 ＝ 1 2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 2. 【2016 年福建省漳州市二模】已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2 或 x≥4}，则 A∩B=∅的充要 条件是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2 【答案】A 【解析】解：法一：当 a=0 时，符合，所以排除 C．D，再令 a=2，符合，排除 B，故选 A； 法二：根据题意，分析可得， ，解可得，0≤a≤2；故选 A． 3. 【 2016 届 山 西 省 四 校 高 三 联 考 】 以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ① 若 ，则 ， 中至少有一个不小于 ； ② 是 的充要条件； ③ ； ④ 函数 是奇函数，则 的图像关于 对称. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D α α 2 2 2 4 a a − ≥ −  + ≤ 2a b+ ≥ a b 1 0=⋅ba ba ⊥ [ ) 30 , , 0x x x∀ ∈ + ∞ + ≥ ( 1)y f x= + ( )y f x= (1,0) 4. 【2016 辽宁大连双基，理 4】已知函数 定义域为 ，则命题 ：“函数 为偶函数”是命题 ： “ ”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 偶函数，则有 ；若 ，则有 ， ，即 ，而 为奇函数，所以命题 ：“函数 为偶函数” 是命题 ：“ ”的充分不必要条件，故选 A． 5. 【2016 广东广州一模】已知下列四个命题： ：若直线 和平面 内的无数条直线垂直，则 ； ：若 ，则 ， ； ：若 ，则 ， ； ：在△ 中，若 ，则 ． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 6. 【2016 届湖北省八校高三联考】已知圆 方程为 ，若 ： ； ：圆 上至多有 3 个点到直线 的距离为 1，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆心 到直线 的距离 ，当 时，圆上恰有一个点到直线的 ( )f x R p ( )f x q 0 0 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ = − ( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ) sin( )f x xπ= ( 1) sin( ) 0f π− = − = (1) sin 0f π= = ( 1) (1)f f− = ( ) sin( )f x xπ= p ( )f x q 0 0 0, ( ) ( )x R f x f x∃ ∈ = − 1p l α l α⊥ 2p ( ) 2 2x xf x −= − x∀ ∈R ( ) ( )f x f x− = − 3p ( ) 1 1f x x x = + + ( )0 0,x∃ ∈ +∞ ( )0 1f x = 4p ABC A B> sin sinA B> C ( ) ( )2 2 21 0x y r r− + = > p 1 3r≤ ≤ q C 3 +3 0x y− = p q C 3 +3 0x y− = 1 3 0+3 2 1 3 d − × = = + 1r = 距离为 ，当 时，圆上有两个点到直线的距离为 ，当 时，圆上有三个点到直线的距离为 ， 所以 ；若圆 上不存在点到直线的距离为 时， ，所以 ，所以 是 的充分不必 要条件. 7. 【江西省南昌市第二中学 2016 届高三第四次考试】下列命题中正确的是（ ） A．若 为真命题，则 为真命题 B．“ ， ”是“ ”的充分必要条件 C．命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 或 ，则 ” D．命题 ，使得 ，则 ，使得 【答案】D 【解析】对选项 A，因为 为真命题，所以 中至少有一个真命题，若一真一假，则 为假命题， 故选项 A 错误；对于选项 B， 的充分必要条件是 同号，故选项 B 错误；命题“若 ， 则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”，故选项 C 错误；故选 D. 8. 【河北省武邑中学 2016 届高三上学期期末考试】下列命题正确的个数是（ ） (1)命题“若 则方程 有实根”的逆否命题为：“若方程 无实根则 ” (2)对于命题 ：“ 使得 ”，则 ：“ ，均有 ” (3)“ ”是“ ”的充分不必要条件 （4）若 为假命题，则 均为假命题 A． B． C． D． 【答案】C 9．【湖南省衡阳市第八中学 2016 届高三第三次月考】数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都 有 成立，则称数列 为周期数列，周期为 ．已知数列 满足 ， 1 1 3r< < 1 3r = 1 p q⇒ C 1 0 1r< < /q p⇒ p q p q∨ p q∧ 0a > 0b > 2b a a b + ≥ 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ :p 0 Rx∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ − < :p¬ Rx∀ ∈ 2 1 0x x+ − ≥ p q∨ ,p q p q∧ 2b a a b + ≥ ,a b 2 3 2 0x x− + = 1x = 2x = 1x ≠ 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 0>m 02 =−+ mxx 02 =−+ mxx 0≤m p Rx∈∃ 012 <++ xx p¬ Rx∈∀ 012 ≥++ xx 1≠x 0232 ≠+− xx qp ∧ qp, 4 3 2 1 }{ na T n nTn aa =+ }{ na T }{ na )0(1 >= mma ，现给出以下命题： ①若 ，则 可以取 3 个不同的值 ②若 ，则数列 是周期为 3 的数列 ③ 且 ，存在 ， 是周期为 的数列 ④ 且 ，数列 是周期数列．其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①②③ 10．【河北省衡水中学 2016 届高三上学期一调】已知 ，命题 ，命题 . （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；    ≤< >− =+ 10,1 1,1 1 n n nn n aa aa a 43 =a m 2=m }{ na ∗∈∀ NT 2≥T 1>m }{ na T Qm ∈∃ 2≥m }{ na a R∈ [ ] 2: 1,2 , - 0p x x a∀ ∈ ≥ 2q : 2 2, - 0x R x ax a∃ ∈ + + = p a （2）若命题“ ”为真命题，命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围. 【解析】（1）因为命题 .令 ，根据题意，只要 时， 即可，也就是 ； （2）由（1）可知，当命题 为真命题时， ， 命题 为真命题时， ，解得 或 因为命题“ ”为真命题，命题“ ”为假命题，所以命题 与 一真一假， 当命题 为真，命题 为假时， , 当命题 为假，命题 为真时， . 综上： 或 . 11. 【2015 届湖南省益阳市高三四月调研】给出下列两个命题：命题 ： ,当 时， ；命题 ：函数 是偶函数．则下列命题是真命题的是 A． B． C． D． 【答案】B． 12. 【2015 届浙江省嘉兴市高三下学期教学测试一】已知条件 ，条件 ．若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ，令 则该函数开口向上 且对称轴为 ，所以结合图像观察若 是 的充分不必要条件，则应满足 或 . p q∨ p q∧ a [ ] 2: 1,2 , - 0p x x a∀ ∈ ≥ ( ) 2 -f x x a= [ ]1,2x ∈ ( )min 0f x ≥ 1- 0 1a a≥ ⇒ ≤ p 1a ≤ q ( )24 4 2 0a a∆ = − − ≥ 2a ≤ − 1a ≥ p q∨ p q∧ p q p q 1 2 12 1 a aa ≤ ⇒ − < <− < < p q 1 12 1或 a aa a > ⇒ > ≤ − ≥ 1a > 2 1a− < < 1p , (0, )a b∃ ∈ +∞ 1a b+ = 1 1 4a b + = 2p x xy + −= 1 1ln 1 2p p∧ ( )1 2p p∧ ¬ 1 2( )p p¬ ∨ 1 2( ) ( )p p¬ ∧ ¬ 043: 2 ≤−− xxp 096: 22 ≤−+− mxxq p q m ]1,1[− ]4,4[− ),4[]4,( +∞−−∞  ),4[]1,( +∞−−∞  41:043: 2 ≤≤−⇒≤−− xpxxp ( ) 22 96 mxxxf −+−= 3=x p q ( ) 401 ≥⇒≤− mf 4−≤m 13. 【2015 届安徽省淮南一中等四校高三 5 月联考】已知命题 ：“存在 ，使得 ”，则下列说法正确的是（ ） A. 是假命题； “任意 ，都有 ” B. 是真命题； “不存在 ，使得 ” C. 是真命题； “任意 ，都有 ” D. 是假命题； “任意 ，都有 ” 【答案】C 【解析】由于 所以存在 ，使得 ，即 是真命题；而存在性命 题的否定是全称命题，否定结论，所以 “任意 ，都有 ”,故选 . 14. 【2015 届山东省日照市高三校际联合检测（二模）】下列说法不正确的是（ ） A.若“p 且 q”为假，则 p，q 至少有一个是假命题 B.命题“ ”的否定是“ ” C.“ ”是“ 为偶函数”的充要条件 D.当 时，幂函数 上单调递减 【答案】C 15. 【2015 届北京市东城区高三 5 月综合练习二】已知 ， 是简单命题，那么“ 是真命题”是“ 是真命题”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若 是真命题，则 为真命题，且 为真，而 为假命题，所以“ 是真命题”是 为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为 D． p [ )0 1,x ∈ +∞ 0 2(log 3) 1x ≥ p :p¬ [ )1,x ∈ +∞ 2(log 3) 1x < p :p¬ [ )0 1,x ∈ +∞ 1)3(log 0 2 = [ )0 1,x ∈ +∞ 0 2(log 3) 1x ≥ p :p¬ [ )1,x ∈ +∞ 2(log 3) 1x < C 2, 1 0x R x x∃ ∈ − − < 2, 1 0x R x x∀ ∈ − − ≥ 2 πϕ = ( )sin 2y x ϕ= + 0α < ( )0,y xα= +∞在 p q p q∧ p¬ p q∧ p q p¬ p q∧ p¬ 拓展试题以及解析 1. 已知命题 ： ， ，则下列说法正确的是（ ） A.命题 为假命题； ： ， B.命题 为假命题； ： ， C.命题 为真命题； ： ， D.命题 为真 命题； ： ， 【答案】C 【入选理由】本题主要考查含量词的命题的真假判断及其否定形式、导数与函数的最值等，考查基本的逻 辑推理能力以及函数与方程的思想等，本题考查的知识面大,但是不难,是比较典型的高考题样板. 2.已知命题 ： ，当 时， ；命题 ：过一条直线有且只有一个平面和已 知平面垂直．在命题① ；② ；③ ；④ 中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】对于命题 ：当 时， ，当且仅当 时取等号，故命题 是真命题；对于命题 ：当直线和平面垂直时，过这条直线和已知平面垂直 的平面有无数多个，故命题 是假命题，所以命题① 是假命题；②命题 是真命题；③命题 是真命题；④命题 是假命题，所以选 C． 【入选理由】本题考查基本不等式、直线和平面的位置关系、含逻辑联结词的命题真假的判断等基础知识， p (0, )x π∀ ∈ sinx x> p p¬ (0, )x π∃ ∈ sinx x< p p¬ (0, )x π∀ ∈ sinx x≤ p p¬ (0, )x π∃ ∈ sinx x≤ p p¬ (0, )x π∀ ∈ sinx x≤ p , (0, )a b$ Î +¥ 1a b+ = 1 1 5a b+ = q p q∧ p q∨ ( )p q¬∧ ( )p q¬ ∨ p 1a b+ = 1 1 1 1( )( )a ba b a b + = + + 2 b a a b = + + ≥ 2 2 4b a a b + ⋅ = 1 2a b= = p q q p q∧ p q∨ ( )p q¬∧ ( )p q¬ ∨ 意在考查基本运算能力、空间想象能力．近几年来复合命题的真假是高考的常考内容,所以需要特别注意. 3.已知命题 ： ， ，命题 ：“ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列 命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． .【答案】C 【解析】根据指数函数的性质可知，命题 为真命题；由 ，所以“ ”是 “ ”的充要条件，所以命题 为假命题，所以 为真命题，故选 C. 【入选理由】此题综合考查了数函数的性质,对数不等式的解法,是一道比较综合的复合命题题,比较典型, 是高考比较青睐的一种类型，体现小题综合化，故押此题. 4.已知命题 ：“ R， ”的否定是“ R， ”；命题 ：函数 有三 个零点，则下 列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B p Rx∈∀ 03 12 >+x q 20 << x 1log2 +∈∀ 5),3,2( 2 a 52 ），（ ∞+ 2 9 ]52,(−∞ p¬ axxx ≤+∈∃ 5),3,2( 2 p xxax 5),3,2( +≥∈∃ min)5( xxa +≥ 32 << x 52525 =×≥+ xxxx xx 5= 5=x 52≥a 2 2am bm＜ a b＜ βα, 1tan( ) 2 α β+ = 1tan 3 β = π2 4 α β+ = x f x = f x g x = g x− − −（ ） （ ）,（ ） （ ） 0＞x f x 0 g x 0′ ′（ ）＞ ， （ ）＞ 0＜x )（ ）＞ （f x g x′ ′ (2,1), ( , 4)m n a= = −  m n⊥  2a = 2 2＜am bm 2 0＞m ＜a b tan( ) tantan( 2 ) tan[( ) ] 11 tan( ) tan α β βα β α β β α β β + ++ = + + = =− + βα, 1tan 3 β = π0 2 2 < α + β < 所以 ，故②正确；对于③，由对于任意实数 x，有 ，得函数 为奇函数，函数 为偶函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反， 易判断③正确；对于④，由 得 ，即 ，所以 ，故④正确. 【入选理由】本题是一道判断命题真假的题目，综合考查不等式、三角恒等变换公式、导数与函数的性质、 向量垂直的充要条件,比较典型,体现小题综合化，故押此题. π2 4 α β+ = f x = f x g x = g x− − −（ ） （ ）, （ ） （ ） （ ）f x （ ）g x m n ⊥ = 0m n×  2 4 0a − = 2a =