2019届二轮复习高考四大数学思想回顾学案（全国通用） 22页

一、高考四大数学思想回顾 ‎1　函数与方程思想 函数思想 方程思想 ‎　　函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.‎ ‎　　方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.‎ ‎　　函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.‎ ‎【例1】　(1)(2018·秦皇岛模拟)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式＜1的解集为(　　)‎ A．(－∞，0)　　　　　 B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，2) D．(2，＋∞)‎ B　[构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．又g(0)＝＝1，所以＜1，即g(x)＜1，解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n 项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎①若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎②若T3＝21，求S3.‎ ‎[解]　①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.(*)‎ 由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.(**)‎ 联立(*)和(**)解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎②由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由(*)得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由(*)得d＝－1，则S3＝－6.‎ ‎[方法归纳]　函数与方程思想在解题中的应用 ‎1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．‎ ‎2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．‎ ‎3．解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．‎ ‎4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.‎ ‎5　2　[(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.‎ 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.‎ 所以a2＋b2＝5，ab＝2.]‎ ‎2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎(1)试写出y关于x的函数关系式．‎ ‎(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ ‎[解]　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，‎ 即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256(0＜x＜m)．‎ ‎(2)由(1)知，f′(x)＝－＋＝.‎ 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.‎ 当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；‎ 当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，‎ 所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，‎ n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使y最小.‎ ‎2　数形结合思想 以形助数(数题形解)‎ 以数辅形(形题数解)‎ 借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.‎ 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.‎ 数形结合思想通过“以形助学，以数辅形”‎ ‎，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.‎ ‎【例2】　已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是(　　)‎ A．5个　　　B．7个 C．9个　　　D．10个 C　[由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数. ‎ 由图象可知共9个交点，故选C.]‎ ‎【例3】　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有f′(x)≤0在区间(－1,0)上恒成立，即 所以画出可行域，则点(a，b)到原点的距离的最小值为＝，无最大值，所以a2＋b2的最小值为.]‎ ‎[方法归纳]　数形结合思想在解题中的应用 ‎1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．‎ ‎2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．‎ ‎3．构建解析几何模型求最值或范围．‎ ‎4．如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的有：‎ ‎(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．‎ ‎(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．‎ ‎(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．‎ ‎(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1)　　　　　　 B．(0,2)‎ C．(0,1) D．(0,1]‎ C　[当x≥2时，f(x)＝，此时f(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ 且0＜f(x)≤1.当x＜2时，f(x)＝(x－1)3，此时f(x)过点(1,0)，(0，－1)，‎ 且在(－∞，2)上单调递增．当x→2时，f(x)→1.‎ 如图所示作出函数y＝f(x)的图象，由图可得f(x)在(－∞，2)上单调递增且f(x)＜1，f(x)在[2，＋∞)上单调递减且0＜f(x)≤1，‎ 故当且仅当0＜k＜1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不相等的实根，即实数k的取值范围是(0,1)．]‎ ‎2．若不等式4x2－logax<0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. B　[由已知4x21时，不成立，当0＜a＜1时，如图，只需loga≥4×2⇒a≥⇒a≥，‎ 又0＜a＜1，故a∈.故选B.]‎ ‎3　分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.‎ ‎【例4】　(1)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B．[0,1]‎ C. D．[1，＋∞)‎ ‎(2)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则的值为________．‎ ‎(1)C　(2)2或　[(1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.‎ 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.‎ 综上，a≥，故选C.‎ ‎(2)若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.‎ ‎∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，‎ 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.‎ 若∠F2PF1＝90°，‎ 则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2‎ ‎＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，‎ 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，‎ ‎∴＝2，综上所述，＝2或.]‎ ‎[方法归纳]　分类讨论思想在解题中的应用 ‎1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．‎ ‎2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．‎ ‎3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．‎ ‎4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)‎ A．－3　　　　　　　　 B．－ C．3 D.或－3‎ D　[当a＞0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x＝2时，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝.当a＜0时，易知f(x)在x＝－1处取得最大，即－a＋1＝4，∴a＝－3.‎ 综上可知，a＝或－3.故选D.]‎ ‎2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q为________．‎ ‎1或－1　[①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，‎ ‎∴S3＋S6＝S9成立，‎ ‎②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得＋＝，‎ ‎∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.‎ ‎∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.‎ 综上，有q＝1或－1.]‎ ‎4　转化与化归思想 ‎　　转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.‎ ‎【例5】　(1)(2018·洛阳模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y ‎)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)B　(2)(－∞，－8]　[(1)如图，作PH⊥l于H，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，从而的最小值等价于的最小值，等价于∠PAH最小，等价于∠PAF最大，即直线PA的斜率最大．此时直线PA与抛物线y2＝4x相切，由直线与抛物线的关系可知∠PAF＝45°，所以＝＝sin 45°＝.‎ ‎(2)设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a，得a＋4＝－，∵t＞0，∴－≤－4，‎ ‎∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8]．]‎ ‎[方法归纳]　转化与化归思想在解题中的应用 ‎1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．‎ ‎2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．‎ ‎3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．‎ ‎4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．‎ ‎5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体BEB1D1的体积为________．‎ 　　[连接BD，DE(图略)，因为BD∥B1D1，所以∠EBD就是异面直线BE与B1D1所成的角，设A1A＝1，则DE＝BE＝，BD＝，cos∠EBD＝＝，由V三棱锥BEB1D1＝V三棱锥D1BEB1＝××1＝.]‎ ‎2．若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．‎ 　[g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．‎ 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，‎ 则m＋4≥－1，即m≥－5；‎ 由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.‎ 因为函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，所以m的取值范围为－＜m＜－5.]‎ 增分限时训练(一)‎ ‎(建议用时：60分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为(　　)‎ A．16　　　B．32　　　C．64　　　D．62‎ C　[由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，‎ 解得d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]‎ ‎2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是(　　)‎ A．1　　　　 B．2　　　　 ‎ C．3　　　　 D．4‎ B　[∵a＞0，∴a2＋1＞1.‎ 而y＝|x2－2x|的图象如图，‎ ‎∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．]‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1(P是常数)，则数列{an}是(　　)‎ A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 D　[∵Sn＝Pn－1，‎ ‎∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)．‎ 当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列；‎ 当P＝1时，{an}是等差数列；‎ 当P＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．]‎ ‎4．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)‎ A．2a B. C．4a D. C　[抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程为x2＝y(a＞0)，焦点F，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，所以＋＝4a.]‎ ‎5．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 C　[若双曲线的焦点在x轴上，则＝，e＝＝＝；若双曲线的焦点在y轴上，则＝，e＝＝＝，故选C.]‎ ‎6．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)‎ A. B．(－∞，3]‎ C. D．[3，＋∞)‎ C　[f′(x)＝3x2－2tx＋3，‎ 由于f(x)在区间[1,4]上单调递减，‎ 则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，‎ 即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1,4]上恒成立，‎ 因为y＝在[1,4]上单调递增，所以t≥＝，故选C.]‎ ‎7．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)‎ A．x＋y≥0 B．x＋y≤0‎ C．x－y≤0 D．x－y≥0‎ B　[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数z＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]‎ ‎8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ B　[根据题意，画出示意图，如图所示，‎ 则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.]‎ 二、填空题 ‎9．(2018·南昌模拟)已知α是锐角三角形的最小内角，向量a＝(sin α，1)，b＝(1，cos α)，则a·b的取值范围是________. ‎ ‎(1，]　[a·b＝sin α＋cos α＝sin，‎ 由0＜α≤得＜α＋≤π，‎ 所以＜sin≤1，‎ 所以1＜a·b≤.]‎ ‎10．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1,2]　[由题意f(x)的图象如图，‎ 则∴1＜a≤2.]‎ ‎11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________. ‎ ‎4或　[若侧面矩形的长为6，宽为4，则 V＝S底×h＝×2×2×sin 60°×4＝4.‎ 若侧面矩形的长为4，宽为6，则 V＝S底×h＝×××sin 60°×6＝.]‎ ‎12．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围为________. ‎ 　[如果在[－1,1]内没有值满足f(c)＞0，则⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为.]‎ 三、解答题 ‎13．已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性．‎ ‎[解]　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞), ‎ f′(x)＝＋2ax＝.‎ ‎①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎③当－10；‎ 当x∈时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ 当－1