人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解运用平方差公式因式分解教学课件 18页

第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版 八年级数学上册 运用平方差公式因式分解 导入新课 a米 b米 b米a米 (a-b) 情境引入 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小 正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换， 你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用平方差公式进行因式分解一 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解 因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ))(( b a ba -+=22 ba - ))(( 22baba ba-+ = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的 差的乘积. 平方差公式： √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为 什么？ √ √ ★符合平方差的形式 的多项式才能用平方 差公式进行因式分解， 即能写成: ( ) 2 - ( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2（4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2(1) 4 9;x  例1 分解因式： 2 2(2 ) 3x  (2 3)(2 3);x x   2 2(2) ( ) ( ) .x p x q   a ab b( + ) ( - )a2 - b2 = 解:(1)原式=    ( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q      (2)原式 (2 )( ).x p q p q    2 2( ) ( )x p x q   典例精析 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、 还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方 差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结 果中有公因式，一定要再用 提公因式法继续分解. ))((22 bababa -+=- 20152－20142 =（2mn）2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 = 例2 分解因式： 4 4 3(1) ; (2) .x y a b ab  解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查. ＝ab(a+1)(a-1). 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必 须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b. 针对训练 ＝(a＋2b)(a－2b－1). ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)； 解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 1 , 2 3 . 2 x y        方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或 未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然 后整体代入或联立方程组求值. 例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用 因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2 一定能被8整除． 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 当堂练习 D 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) D 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　） A．-21 B．21 C．-10 D．10 A (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 4 原式=-40×5=-200． 当4m+n=40，2m-3n=5时，