【数学】2020届一轮复习人教A版不等式的解法学案 7页

不等式的解法 ‎【考纲要求】‎ ‎1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，‎ ‎2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，‎ ‎3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，‎ ‎4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。‎ ‎【知识网络】‎ 不等式的解法 一次、分式、高次、指对等不等式 函数不等式解法 一元二次不等式解法 ‎【考点梳理】‎ 要点一、一元二次不等式的解法 一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.‎ 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ‎ 无实根 ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ 要点诠释：‎ 一元二次不等式的步骤：‎ ‎（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：‎ ‎（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ‎ ‎①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；‎ ‎②时，求根；‎ ‎③时，方程无解 ‎ ‎（3）写出解集.‎ 要点二、高次不等式的解法 不等式的解法394838 知识要点】‎ 高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).‎ 要点诠释：‎ 作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.‎ 要点三、无理不等式的解法 无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.‎ 要点诠释：‎ ‎ (1)> ‎ ‎ (2)>g(x) 或 ‎ ‎ 或 ‎ (3) 0,a≠1).当01时，f(x)>g(x).‎ ‎ (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0.令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.‎ ‎ (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a≠1).‎ ‎ 当01时，‎ ‎ (4) .‎ ‎ 令logaf(x)=t(t∈R)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：一元二次不等式 例1. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。‎ ‎【解析】由题意可知方程的两根为和 由韦达定理有，‎ ‎∴，‎ ‎∴化为，即 ‎，解得，‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式.‎ ‎【解析】由韦达定理有：，，∴,.‎ ‎∴代入不等式得，‎ 即，，解得，‎ 故不等式的解集为：.‎ ‎【变式2】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.‎ ‎【解析】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得 ‎，即，解得或.‎ ‎∴的解集为：.‎ 例2．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5‎ 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。‎ 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。‎ ‎(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，‎ 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，‎ 所以，‎ ‎ 即， ∴ 10;(2)(x2-5x-6)(1-x)>0.‎ ‎【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）.‎ ‎ ‎ ‎ 所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞).‎ ‎ (2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)(1,6).‎ ‎【总结升华】(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0.‎ ‎【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，‎ ‎ ‎ ‎ 故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞).‎ ‎【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于 类型三：无理不等式 例4．解不等式≤x-2.‎ 解法一： 即 ，所以x≥5.‎ 所以原不等式的解集为[5，+∞）.‎ 解法二：设=t (t≥0). 则x=.‎ 所以原不等式化为t≤-2, ‎ 所以t2-2t-3≥0, 即t≤-1或t≥3.‎ 因为 t≥0, 所以 t≥3, 所以 x≥5.‎ 解法3：令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.‎ 在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4）.‎ 设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-2>0.‎ 解之，得x0=5或x0=1（舍）.所以原不等式解集为[5，+∞）.‎ ‎【总结升华】解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x的方程.解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】解不等式 ‎【解析】或 ‎ Û x>1或x=1或x=-2.‎ ‎ 所以原不等式的解集是[1,+∞{-2}.‎ 类型四：指对不等式 例5.(2018 洛阳一模)若,均有(且)则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时,函数的图像如下图所示:‎ 对任意的,总有恒成立 若不等式恒成立,则的图像恒在的图象的上方 的图象与的图象交于点时,此时 故所求的的图象对应的底数应满足故选A.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】(2018 北京高考)如图,函数的图象为折线ACB,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知的图象,在此坐标系内做出的图象,如图 满足不等式的范围是所以不等式的解集是故选C.‎ 例6．解不等式 ‎【解析】原不等式可化为：‎ ‎ ‎ ‎ 所以 所以 所以 1