九年级数学上册 243 正多边形和圆教学 新版新人教版 18页

24.3 　正多边形和圆 知识点一 知识点二 知识点一 正多边形的相关概念 把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 , 外接圆的半径叫做正多边形的半径 , 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 , 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 . 名师解读 : 由正多边形的相关概念可以发现都是与这个正多边形的外接圆有关的 . 因此解答正多边形的问题时 , 特别要注意 : (1) 任何一个圆都存在着内接正 n 边形和外切正 n 边形 ; (2) 任何一个正 n 边形都有一个外接圆和一个内切圆 , 而且它们是同心圆 . 这种关系是研究正多边形的画法和有关计算的基础 . (3) 正 n 边形一定是轴对称图形 , 有 n 条对称轴 , 但是不一定是中心对称图形 , 当边数是偶数时 , 是中心对称图形 , 对称中心是各条对称轴的交点 ; 当边数是奇数时 , 不是中心对称图形 . 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 求解正多边有关的计算问题 , 关键是把握被半径和边心距分割成的直角三角形 , 将正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题 . 知识点一 知识点二 知识点二 正多边形的画法 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等 , 因此作相等的圆心角就可以等分圆周 , 从而得到相应的正多边形 . 具体如下 : 画一个圆 , 记为 ☉ O. 用量角器画一个 的圆心角 ∠ A 1 OA 2 , 再以点 A 2 为圆心 , 以弦 A 2 A 1 为半径在 ☉ O 上截得点 A 3 . 然后以点 A 3 为圆心 , 以弦 A 2 A 1 为半径在 ☉ O 上截得点 A 4 , … 这样下去 , 就可以把 ☉ O 分成 n 等份 . 顺次连接这 n 个分点 , 就得到一个正 n 边形 . 名师解读 : 这种方法适合于作任意边数的正多边形 , 但是作具体的正多边形时 , 可根据正多边形的边数和自身的特点选择其他方法 . 知识点一 知识点二 例 2 　 已知半径为 R 的 ☉ O , 用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形 . 分析 : 根据正三角形的特点 , 即中心角为 120 ° , 边长与半径相等 , 边心距等于半径的一半 , 结合圆的性质可以有多种作法 . 解 : 方法一 :(1) 用量角器依次画圆心角 ∠ AOB= 120 ° , ∠ BOC= 120 ° ; (2) 连接 AB , BC , CA , 则 △ ABC 为圆内接正三角形 . 方法二 :(1) 用量角器画圆心角 ∠ BOC= 120 ° ; (2) 在 ☉ O 上用圆规截取 ; (3) 连接 AC , BC , AB , 则 △ ABC 为圆内接正三角形 . 方法三 :(1) 作直径 AD ; (2) 以 D 为圆心 , 以 OA 长为半径画弧 , 交 ☉ O 于 B , C ; (3) 连接 AB , BC , CA , 则 △ ABC 为圆内接正三角形 . 知识点一 知识点二 方法四 :(1) 作直径 AE ; (2) 分别以 A , E 为圆心 , OA 长为半径画弧与 ☉ O 分别交于点 D , F , B , C ; (3) 连接 AB , BC , CA ( 或连接 EF , ED , DF ), 则 △ ABC ( 或 △ EFD ) 为圆内接正三角形 . 知识点一 知识点二 解答作正多边形的作图问题时 , 先根据正多边形的边数分析其特点 , 结合圆的性质及基本的尺规作图 , 然后选择作法 , 最后作出图形 , 这种问题的答案不唯一 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 正多边形的计算 例 1 　 正三角形的内切圆半径 r , 外接圆半径 R 与边上的高 h 的比为 ( 　　 ) 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解析 : 画出图形 , 连接 OB , 连接 AO 并延长交 BC 于点 D , 得到直角三角形 BOD , 利用 30 ° 角所对的直角边等于斜边的一半 , 得到 R= 2 r , 然后求出 h 与 r 的关系 , 计算 r , R 与 h 的比 . 如图所示 , 在直角三角形 BOD 中 , ∠ OBD= 30 ° , ∴ R= 2 r , AD 是 BC 边上的高 h , OA=OB , ∴ h=R+r= 3 r. ∴ r ∶ R ∶ h=r ∶ 2 r ∶ 3 r= 1 ∶ 2 ∶ 3 . 答案 : A 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题 , 构造出含有所有线段的图形 , 然后数形结合 , 把所有线段用同一线段分别表示即可求出结论 . 本题考查的是正多边形 , 此题几个量之间的数量关系可当做结论加以牢记 , 有利于今后提高解题的速度 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 正多边形的对称性 例 2 　 如图 , 求中心点为原点 , 顶点 A , D 在 x 轴上 , 边长为 2 cm 的正六边形 ABCDEF 的各个顶点的坐标 . 分析 : 先连接 OE , 由于正六边形是轴对称图形 , 并设 EF 交 y 轴于 G , 那么 ∠ GOE= 30 ° . 在 Rt △ GOE 中 , GE= 1, OG= , 则 E 的坐标为 (1, ), 与 E 关于 y 轴对称的点 F 的坐标是 ( - 1, ), 其他点的坐标类似可求出 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 正多边形的计算 , 一般是过中心作边的垂线 , 把内切圆半径、外接圆半径、中心角之间的计算转化为解直角三角形问题解答 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与正多边形有关的综合题 例 3 　 正六边形的中心角 ∠ MON (60 ° ) 绕中心 O 旋转 . 试证 : 无论中心角旋转到何种位置 , 阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的 . 分析 : 连接 OB , OA , 根据正多边形内角和定理求出 ∠ OAM= ∠ OBN , 再由全等三角形的判定定理即可得出 △ OAM ≌ △ OBN 即可得出结论 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 证明 : 连接 OB , OA. ∵ ∠ AOM+ ∠ AON= 60 ° , ∠ AON+ ∠ NOB= 60 ° , ∴ ∠ AOM= ∠ NOB. ∵ ∠ OAM+ ∠ OAB= 120 ° , ∠ OBA+ ∠ OAB= 120 ° , ∴ ∠ OAM= ∠ OBN. ∵ OA=OB , ∴ △ OAM ≌ △ OBN (ASA) . ∴ S 阴影 =S △ OAB = S 六边形 ABCDEF . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答此类问题时 , 一般先画出图形 , 数形结合进行解答 . 解答本题的关键是熟知正六边形的性质及全等三角形的判定定理 .