高中数学人教a版选修2-3章末综合测评2word版含解析 11页

章末综合测评(二) 随机变量及其分布 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法不正确的是( ) A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为 0 C．公式 E(X)＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值 D．从一副扑克牌中随机抽取 5 张，其中梅花的张数服从超几何分布 【解析】 公式 E(X)＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算， 适用于二项分布的均值的计算．故选 C. 【答案】 C 2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有 8 个白球、4 个红球，在乙袋内装 有 6 个白球、5 个红球，现从两袋内各任意取出 1 个球，设取出的白球个数为 X， 则下列概率中等于C18C15＋C14C16 C112C111 的是( ) A．P(X＝0) B．P(X≤2) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 【解析】 由已知易知 P(X＝1)＝C18C15＋C14C16 C112C111 . 【答案】 C 3．(2016·长沙高二检测)若 X 的分布列为 X 0 1 P 1 5 a 则 E(X)＝( ) A.4 5 B.1 2 C.2 5 D.1 5 【解析】 由1 5 ＋a＝1，得 a＝4 5 ，所以 E(X)＝0×1 5 ＋1×4 5 ＝4 5. 【答案】 A 4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是 0.8,0.6,0.5， 则三人中至少有一人达标的概率是( ) A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04 【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三 人中至少有一人达标的概率为 1－0.04＝0.96. 【答案】 C 5．如果随机变量 X～N(4,1)，则 P(X≤2)等于( ) (注：P(μ－2σ110)＝P(ξ<50)，即分数在 110 分以上 的人数与分数在 50 分以下的人数相同，故 C 正确，故选 B. 【答案】 B 10．设随机变量ξ等可能地取 1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则 P(η<6)＝( ) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【解析】 因为 P(ξ＝k)＝ 1 10 ，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<7 2 ， 即ξ＝1,2,3，所以 P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝ 3 10 ＝0.3. 【答案】 A 11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况 如下表所示，则有结论( ) 工人 甲 乙 废品数 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的产品质量好一些 【解析】 ∵E(X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E(X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E(X 甲)>E(X 乙)， ∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 【答案】 B 12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二 进制数 A＝a1a2a3a4a5，其中 A 的各位数中 a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现 0 的概率为1 3 ， 出现 1 的概率为2 3 ，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望 为( ) A. 8 27 B.11 3 C.16 81 D.65 81 【解析】 记 a2，a3，a4，a5 位上出现 1 的次数为随机变量η，则η～B 4，2 3 ， E(η)＝4×2 3 ＝8 3.因为ξ＝1＋η， E(ξ)＝1＋E(η)＝11 3 .故选 B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横 线上) 13．袋中有 4 只红球，3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分， 取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量 X，则 P(X≤6)＝________. 【解析】 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C44＋C34C13 C47 ＝13 35. 【答案】 13 35 14．一只蚂蚁位于数轴 x＝0 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个 单位，设它向右移动的概率为2 3 ，向左移动的概率为1 3 ，则 3 秒后，这只蚂蚁在 x ＝1 处的概率为________． 【解析】 由题意知，3 秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位， 所以蚂蚁在 x＝1 处的概率为 C23 2 3 2 1 3 1＝4 9. 【答案】 4 9 15．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域 随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B，则 P(A|B) ＝________. 【解析】 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以 n(AB)＝1， P(A|B)＝nAB nB ＝1 4. 【答案】 1 4 16．一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论： ①从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是3 5 ； ②从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为4 3 ； ③现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二 次再次取到红球的概率为2 5 ； ④从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 26 27. 其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】 【解析】 ①恰有一个白球的概率 P＝C12C24 C36 ＝3 5 ，故①正确；②每次任取一 球，取到红球次数 X～B 6，2 3 ，其方差为 6×2 3 × 1－2 3 ＝4 3 ，故②正确； ③设 A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}． 则 P(A)＝2 3 ，P(AB)＝4×3 6×5 ＝2 5 ， ∴P(B|A)＝PAB PA ＝3 5 ，故③错； ④每次取到红球的概率 P＝2 3 ， 所以至少有一次取到红球的概率为 1－ 1－2 3 3＝26 27 ， 故④正确． 【答案】 ①②④ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白 球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取 出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 【解】 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球； 事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． P(B)＝ 4 2＋4 ＝2 3. P( B )＝1－P(B)＝1 3. (1)P(A|B)＝3＋1 8＋1 ＝4 9. (2)∵P(A| B )＝ 3 8＋1 ＝1 3 ， ∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩ B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) ＝4 9 ×2 3 ＋1 3 ×1 3 ＝11 27. 18．(本小题满分 12 分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布， 即ξ～N(90,100)． (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有 多少人？ 【解】 因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝ 100＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954 4，而该正态分 布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区 间(70,110)内的概率就是 0.954 4. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是 0.682 6，所以考试成绩ξ 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6.一共有 2 000 名学生，所以考试成绩在 (80,100)的考生大约有 2 000×0.682 6≈1 365(人)． 19．(本小题满分 12 分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的 零件数相同，所得次品数分别为 X，Y，X 和 Y 的分布列如下表．试对这两名工 人的技术水平进行比较. X 0 1 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 0 1 2 P 5 10 3 10 2 10 【解】 工人甲生产出次品数 X 的数学期望和方差分别为 E(X)＝0× 6 10 ＋1× 1 10 ＋2× 3 10 ＝0.7， D(X)＝(0－0.7)2× 6 10 ＋(1－0.7)2× 1 10 ＋(2－0.7)2× 3 10 ＝0.81. 工人乙生产出次品数 Y 的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0× 5 10 ＋1× 3 10 ＋2× 2 10 ＝0.7， D(Y)＝(0－0.7)2× 5 10 ＋(1－0.7)2× 3 10 ＋(2－0.7)2× 2 10 ＝0.61. 由 E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定． 20．(本小题满分 12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张 卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张 卡片． (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望． (注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中位数) 【解】 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 p＝C34＋C33 C39 ＝ 5 84. (2)X 的所有可能值为 1,2,3，且 P(X＝1)＝C24C15＋C34 C39 ＝17 42 ， P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33 C39 ＝43 84 ， P(X＝3)＝C22C17 C39 ＝ 1 12. 故 X 的分布列为 X 1 2 3 P 17 42 43 84 1 12 从而 E(X)＝1×17 42 ＋2×43 84 ＋3× 1 12 ＝47 28. 21．(本小题满分 12 分)某公司有 10 万元资金用于投资，如果投资甲项目， 根据市场分析知道一年后可能获利 10%，可能损失 10%，可能不赔不赚，这三 种情况发生的概率分别为1 2 ，1 4 ，1 4 ；如果投资乙项目，一年后可能获利 20%，也可 能损失 20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)． (1)如果把 10 万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资 金)，求ξ的分布列及 E(ξ)； (2)要使 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益， 求α的取值范围． 【解】 (1)依题意，ξ可能的取值为 1,0，－1.ξ的分布列为 ξ 1 0 －1 P 1 2 1 4 1 4 E(ξ)＝1 2 －1 4 ＝1 4. (2)设η表示 10 万元投资乙项目的收益，则η的分布列为 η 2 －2 P α β E(η)＝2α－2β＝4α－2. 依题意得 4α－2≥1 4 ， 故 9 16 ≤α≤1. 22．(本小题满分 12 分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三 次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现 一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有 出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1 2 ，且各 次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ (3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分 数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 【解】 (1)X 可能的取值为 10,20,100，－200. 根据题意，有 P(X＝10)＝C13× 1 2 1× 1－1 2 2＝3 8 ， P(X＝20)＝C23× 1 2 2× 1－1 2 1＝3 8 ， P(X＝100)＝C33× 1 2 3× 1－1 2 0＝1 8 ， P(X＝－200)＝C03× 1 2 0× 1－1 2 3＝1 8. 所以 X 的分布列为 X 10 20 100 －200 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝1 8. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－ 1 8 3＝1－ 1 512 ＝511 512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511 512. (3)X 的数学期望为 EX＝10×3 8 ＋20×3 8 ＋100×1 8 －200×1 8 ＝－5 4. 这表明，获得的分数 X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．