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- 2021-05-11 发布
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第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题
1． (ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
解析 ∵(ex＋x2)′＝ex＋2x，
∴(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|
＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.
答案 C
2．已知f(x)＝2－|x|，则－1f(x)dx等于 ( )．
A．3 B．4 C. D.
解析 f(x)＝2－|x|＝
∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
答案 C
3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( )．
A. B.
C．2 D.
解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.
答案 B
4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 ( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.
答案 A
5．曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A．2－ln 2 B．4－2ln 2
C．4－ln 2 D．2ln 2
解析 y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的面积为如图所示的阴影部分，[来
联立得在第一象限的交点为(2,1)，
故所求面积为dx
＝＝4－2ln 2.
答案 B
6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.
答案 D
二、填空题
7．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析 S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.
答案
8．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.
解析 f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.
答案 0或－1
9．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．
解析 因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.
答案 1
10．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0
成立，则实数a的值为________．
解析 (构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.[来源:学§科§网]
当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.
答案 4
三、解答题
11．已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.
∴a＋b＝5.①
又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx
＝＝a＋b.
∴a＋b＝.②
解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
∴dx＝dx＝dx
＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2.
12．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得即
∴f(x)＝ax2＋2－a.
又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx
＝＝2－a＝－2，
∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.
14．已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.
(1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0.
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．
解 (1)证明：①f′(x)＝12ax2－2b＝12a.
当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当b＞0时，f′(x)＝12a，
此时f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}
＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.
②由于0≤x≤1，故当b≤2a时，
f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b
＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a
＝2a(2x3－2x＋1)．
当b＞2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b
＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a
＝2a(2x3－2x＋1)．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6，
于是g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
减[
极小值
增
1
所以，g(x)min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.
(2)由①知，当0≤x≤1，f(x)max＝|2a－b|＋a，
所以|2a－b|＋a≤1.
若|2a－b|＋a≤1，则由②知
f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1.
所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是即或
在直角坐标系aOb中，(*)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.
作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1＜a＋b≤3.
所以a＋b的取值范围是(－1,3]．
