人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2-2综合法与分析法word版含解析 6页

第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若 a＞0，b＞0，则必有( ) A.b2 a ＞2b－a B.b2 a ＜2b－a C.b2 a ≥2b－a D.b2 a ≤2b－a 解析：因为 a2＋b2≥2ab，a＞0， 所以 a＋b2 a ≥2b，即b2 a ≥2b－a. 答案：C 2．设 x，y＞0，且 xy－(x＋y)＝1，则( ) A．x＋y≥2( 2＋1) B．xy≤ 2＋1 C．x＋y≤2( 2＋1)2 D．xy≥2( 2＋1) 解析：因为 x，y＞0，且 xy－(x＋y)＝1， 所以(x＋y)＋1＝xy≤ x＋y 2 2 . 所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， 解得 x＋y≥2( 2＋1)． 答案：A 3．若 a＞b＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a＋b a＋2b ＞a b B.b2＋1 a2＋1 ＞b2 a2 C．a＋1 a ＞b－1 b D．aa＞ab 解析：因为 a＞b＞0，所以 a2＞b2，所以b2＋1 a2＋1 ＞b2 a2. 答案：B 4．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1 a ＋1 b ＋1 c ≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤1 3 解析：因为 a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加， 得 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即 a2＋b2＋c2≥1. 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项 B 成立． 答案：B 5．已知 a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当 a＞1，b＞1 时，两式相加得 a＋b＞2，两式相乘得 ab＞ 1. 反之，当 a＋b＞2，ab＞1 时，a＞1，b＞1 不一定成立． 如：a＝1 2 ，b＝4 也满足 a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足 a＞1，b ＞1. 答案：B 二、填空题 6．如果 a a＋b b＞a b＋b a，则实数 a，b 应满足的条件是 ________． 解析：a a＋b b＞a b＋b a⇔( a＋ b)( a－ b)2＞0⇔a≥0，b ≥0，且 a≠b. 答案：a≥0，b≥0，且 a≠b 7．若1 a ＜1 b ＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜ b；④b a ＋a b ＞2. 其中正确的不等式的序号为________． 解析：因为1 a ＜1 b ＜0， 所以 b＜a＜0，故②③错． 答案：①④ 8．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c 为斜边，则a＋b c 的取值范围是 ________． 解析：因为 a2＋b2＝c2， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2， 所以a＋b c ≤ 2， 又因为 a＋b＞c，所以a＋b c ＞1. 所以a＋b c 的取值范围是(1， 2]． 答案：(1， 2] 三、解答题 9．求证： 7＜2 5－ 3. 证明：21＜25⇒ 21＜5⇒2 21＜10⇒10＋2 21＜20⇒( 7＋ 3)2 ＜(2 5)2⇒ 7＋ 3＜2 5⇒ 7＜2 5－ 3. 所以原不等式成立． 10．已知：a，b 是不相等的正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1＜ a＋b＜4 3. 证明：因为 a，b 是不相等的正数，且 a3－b3＝a2－b2. 所以 a2＋ab＋b2＝a＋b. 所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b. 所以 a＋b＞1. 要证 a＋b＜4 3 ，只需证 3(a＋b)＜4， 只需证 3(a＋b)2＜4(a＋b)， 即 3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)， 只需证 a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0， 而 a，b 为不相等的正数， 所以(a－b)2＞0 一定成立． 故 a＋b＜4 3 成立． 综上所述，1＜a＋b＜4 3. B 级 能力提升 1．设 a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A．(a＋b) 1 a ＋1 b ≥4 B．a3＋b3≥2ab2 C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D. |a－b|≥ a－ b 解析：因为 a＞0，b＞0， 所以(a＋b) 1 a ＋1 b ≥2 ab·2 1 ab ≥4， 当且仅当 a＝b 时等号成立，故 A 恒成立； a3＋b3≥2ab2，取 a＝1 2 ，b＝2 3 ，则 B 不成立； a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故 C 恒成立； 若 a＜b，则 |a－b|≥ a－ b恒成立； 若 a≥b，则( |a－b|)2－( a－ b)2＝2( ab－b)≥0， 所以 |a－b|≥ a－ b，故 D 恒成立． 答案：B 2．若 n 为正整数，则 2 n＋1与 2 n＋ 1 n 的大小关系是________． 解析：要比较 2 n＋1与 2 n＋ 1 n 的大小，只需比较(2 n＋1)2 与 2 n＋ 1 n 2 的大小，即 4n＋4 与 4n＋4＋1 n 的大小． 因为 n 为正整数，所以 4n＋4＋1 n ＞4n＋4. 所以 2 n＋1＜2 n＋ 1 n. 答案：2 n＋1＜2 n＋ 1 n 3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d. 证明： (1)若 ab＞cd，则 a＋ b＞ c＋ d； (2) a＋ b＞ c＋ d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 证明：(1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab， ( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd， 由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd，得( a＋ b)2>( c＋ d)2. 因此 a＋ b> c＋ d. (2)①若|a－b|<|c－d|， 则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd， 由(1)得 a＋ b> c＋ d. ②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2 即 a＋b＋2 ab>c ＋d＋2 cd， 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2， 因此|a－b|<|c－d|， 综上所述 a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件．