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- 2021-05-10 发布
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高中数学不等式部分错题精选
一、选择题：
1．设若0f(b)>f(c),则下列结论中正确的是 (D)
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac<1
错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.
2．设成立的充分不必要条件是 (D)
A B C D x<-1
错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。
3．不等式的解集是 (D)
A B C D
错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。
4．某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a,第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x,则
A B C D
错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。
5．已知，则2a+3b的取值范围是 (D)
A B C D
错解：对条件“ ”不是等价转化，解出a, b范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。
6．若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（D ）
A a≤-或a≥ B a＜ C -≤a≤ D a≥
正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
7．已知函数y=㏒(3x在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A a≤-6 B -＜a＜-6 C -8＜a≤-6 D －8≤a≤-6
正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。
8．已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=＋＋,则（ C ）
A T＞0 B T=0 C T＜0 D 以上皆错
正确答案： C 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定 xyz(＋＋)的符号。
9．下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ D ）
A． 甲 a＞b，乙 ＜ B 甲 ab＜0，乙 ∣a+b∣＜∣a－b∣
C. 甲 a=b ，乙 a＋b=2 D 甲 ，乙
正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
10． f(x)=︱2—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（D） A A . a＜0,b＜0,c＜0 B a＜0,b＞0,c＞0 C 2＜2 D 2＜2
正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。
11．a, b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（B ）
A.a2>b2 B.( ) a <()b C. lg (a－b)>0 D.>1
正确答案：B。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。
12． x为实数，不等式|x－3|－|x－1|>m恒成立，则m的取值范围是（ D ）
A. m>2 B. m<2 C. m>－2 D. m<－2
正确答案：D 易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。
13．已知实数x、y满足x2+y2=1，则(1－xy)(1+xy)( B)
A.有最小值，也有最大值1 B.有最小值，也有最大值1
C.有最小值，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值
正确答案：B 错因：容易忽视x、y本身的范围。
14．若a>b>0，且>，则m的取值范围是（）
A. mR B. m>0 C. m<0 D. –b0）的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的值等于（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（ B ）
A、 B、 C、 D、
点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。
20．数列{an}的通项式，则数列{an}中的最大项是（ D ）
A、第9项 B、第8项和第9项 C、第10项 D、第9项和第10项
答案：D点评：易误选A，运用基本不等式，求，忽略定义域N*。
21. 不等式＞在上有解,则的取值范围是 （ C ）
A． B. C． D．
错解：D 选D恒成立 正解 C
22．已知是方程的两个实根，则的最大值为（ Ａ ）
A、18 B、19 C、 D、不存在
答案：A 错选：B 错因：化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于所得的k的范围。
23．实数m,n,x,y满足m2+n2=a , x2+y2=a , 则mx+ny的最大值是 Ａ 。
A、 B、 C、 D、
答案：B错解：A错因：忽视基本不等式使用的条件，而用
得出错解。
24．如果方程（x-1）(x 2-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是 （ ）
A、0≤m≤1 B、＜m≤1 C、≤m≤1 D、m≥
正确答案：（B）错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。
二 填空题
1．设，则的最大值为
错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式=，求出最大值为1。
2．若恒成立，则a的最小值是
错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。
3．已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为 。
错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。
错解二、，所以z的最小值是。
错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。
正解：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。
4．若对于任意x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是 。
正确答案：(－2,2) 。
错误原因：容易忽视m＝2。
5．不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：
① a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.
正确答案 2 、3、 4 错因：一元二次函数的理解
6．不等式(x－2)≥0的解集是 ．正确答案：
7．不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。
正确答案：{-1，1}
8．若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) _____<_________f(-γ)。
9．不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________
答案： 点评：误填而忽略x=－1。
10．设x>1，则y=x+的最小值为___________
答案： 点评：误填：4，错因：≥，当且仅当即x=2时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。
11．设实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3, 则ax+by的取值范围为_______________.
错解：错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。 正解：[－]
12．.－4＜k＜o是函数y=kx2－kx－1恒为负值的___________条件
错解：充要条件 错因：忽视时符合题意。 正解：充分非必要条件
13．函数y=的最小值为_______________
错解：2 错因：可化得，而些时等号不能成立。 正解：
14．已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.
错解： 错因：由得，，
等号成立的条件是与已知矛盾。 正解：
15．设函数的定义域为R，则k的取值范围是 。
错解： 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用。答案：
16．不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集为 。
答案： 错解： 错因：忽视x=2时不等式成立。
17．已知实数x,y满足，则x的取值范围是 。
答案：错解： 错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“”。
18．若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是 。
答案：由原方程可得
错解：设代入原方程使用判别式。
错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>8
19．已知实数 。
正确答案：错因：找不到解题思路，另外变形为时易忽视这一条件。
20．已知两个正变量
恒成立的实数m的取值范围是 。
正确答案： 错误原因：条件x+y＝4不知如何使用
21已知函数①②③④，其中以4为最小值的函数个数是 ０ 。
错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。
22．已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为 。
正确答案： 错误原因：不能正确转化为不等式组。
23．已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz的最大值为
错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a2+x2≥6ax, 9b2+y2 ≥6by，9c2+z2≥6cz，6(ax+by+cz)≤9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz≤3
三、解答题：
1．是否存在常数 c，使得不等式对任意正数 x,y恒成立？
错解：证明不等式恒成立，故说明c存在。
正解：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。 要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤
2（2 x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤（恒成立）同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。
2．已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。
错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。
正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于，
即，则，
设（1）（2）的根分别为，则
若，则9-15+p-2=0，p=8
若，则9-9+p+2=0,p=-2 当a=-2时，原方程组无解，则p=8
3． 设，且，求的取值范围。
解：令 则
比较系数有
即
说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。
4． 若，解关于的不等式：。
解：令 则
的判别式
恒成立
原不等式的解为
说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。
5． 求函数的极大值或极小值。
解：当时，
当且仅当 即时，
当时，
当且仅当 即时，
说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。
6．求函数的最大值。
解：
当且仅当 即时，
说明：此题容易这样做：
。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。
7．解不等式：。
解：当时，原不等式为
当时，原不等式为
又
原不等式的解为
说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。
7． 若且，解不等式：
解：若，两边取以为底的对数
若，同样有，
又 当时不等式的解为
当时不等式的解为
说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。
8．方程的两根都大于2，求实数的取值范围。
解：设方程的两根为，则必有
说明：此题易犯这样的错误：
且 和判别式联立即得的范围
原因是只是的充分条件
即不能保证同时成立
9．设函数f(x)=logb(b>0且b≠1)，
（1）求f(x)的定义域；
（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。
解 （1）∵x2－2x+2恒正，∴f(x)的定义域是1+2ax>0，
即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。
当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）
当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－）
（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0>1x2－2x+2>1+2ax
x2－2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2)
(i)当Δ<0时，即－20∴f(x)>0x<－
(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时
若a=0,f(x)＞0(x－1)2>0x∈R且x≠1
若a=－2,f(x)＞0(x+1)2＞0x＜且x≠－1
(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时
方程x2－2(1+a)x+1=0的两根为x1=1+a－,x2=1+a+
若a＞0，则x2＞x1＞0＞－
∴或
若a<－2，则
∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－
综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为x|x＜－
当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：x|x＜－1或－1＜x＜
当a＞0时，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－
当a＜－2时，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－
错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。
10．设集合M＝[－1，1]，N=[－，]，f(x)=2x2+mx－1，若x∈N,m∈M,求证|f(x)|≤
证明：|f(x)|=|2x2+mx－1|= |(2x2－1)+mx|≤|(2x2－1)|+|mx|= (2x2－1)+|mx|≤(2x 2－1)+| x|
=－2（| x|－）2＋≤
错因：不知何时使用绝对值不等式。
11．在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。
解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s1、、s2、s3，则
S=SΔABC－S1－S2－S3=a2－[a2－（xy+xz+yz）]＝（xy+xz+yz）
由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴Smav=a2，此时，x=y=z=
错因：不知如何使用基本不等式。
12．设a、b∈R，求证：≤
证明：当|a+b|=0时，不等式已成立 当|a+b|≠0时，∵ |a+b|≤|a|+|b|
∴ =≤=
=+≤
点评：错证：∵|a+b|≤|a|+|b|
∴ ≤≤ ①
错因：①的推理无根据。
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