华东师大版八年级上册专题练习题含答案等腰三角形 5页

等腰三角形 基础训练 1．若一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为(A) A. 12 B. 9 C. 12 或 9 D. 9 或 7 2．如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组 数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D) A. 1，2，3 B. 1，1， 2 C. 1，1， 3 D. 1，2， 3 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角度数为(D) A. 60° B. 120° C. 60°或 150° D. 60°或 120° 4．下面给出的几种三角形：①有两个角为 60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的 高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为 60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 (第 5 题图) 5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 O 作 OD⊥AC 于 D，下列四个结论： ①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋1 2 ∠A； ③点 O 到△ABC 各边的距离相等； ④设 OD＝m，AE＋AF＝n，则 S△AEF＝mn. 其中正确的结论是( A ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ (第 6 题图) 6．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O.给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形 (用序号写出一种情形)：①③或②③． 7．在△ABC 中，AB＝2 2，BC＝1，∠ ABC＝45°，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD，使∠ABD ＝90°，连结 CD，则线段 CD 的长为__ 5或 13__． (第 8 题图) 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 CA 延长线上一点，DE⊥BC，交线段 AB 于点 F.请找出一组相 等的线段(AB＝AC 除外)并加以证明． 解：AD＝AF.证明如下： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE⊥BC， ∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°， ∴∠BFE＝∠D. ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠D， ∴AF＝AD. 拓展提高 (第 9 题图) 9．如图，△ABC 是等边三角形，点 P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂 直平分线交 BC 于点 F，垂足为 Q.若 BF＝2，则 PE 的长为(B) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 3 10．已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝1 2BC，则△ABC 底角的度数为(D) A. 45° B. 75° C. 60° D. 45°或 75° 11．在平面直角坐标系中，点 A( 2， 2)，B(3 2，3 2)，动点 C 在 x 轴上，若以 A，B，C 三点为顶 点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为(B) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12．如图，等腰△ABC 纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点 A 与点 B 重合，点 C 与 点 D 重合，则在原等腰△ABC 中，∠B＝72 度． (第 12 题图) (第 13 题图) 13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC 与∠DCB 的平分线相交于点 H，过 H 作 AD 的平分 线交 AB 于 E，交 CD 于 F.若 BE＝3，CF＝2，则 EF＝__5__． 14．如图，已知∠AOB＝α，在射线 OA，OB 上分别取点 OA＝OB1，连结 AB1，在 B1A，B1B 上分别取 点 A1，B2，使 B1B2＝B1A1，连结 A1B2，…，按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠AnBnBn ＋1＝θn，则： (1)θ1＝180°＋α 2 ；(2) θn＝(2n－1)·180°＋α 2n ． ,(第 14 题图)) 15．在如图所示的钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架．若 AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A， 则∠A 的度数是__12°__． ,(第 15 题图)) 16．如图，∠BOC＝9°，点 A 在 OB 上，且 OA＝1，按下列要求画图： 以点 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1； 再以点 A1 为圆心，1 为半径向右画弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2； 再以点 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3； …… 这样画下去，直到得第 n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 n＝__9__． ,(第 16 题图)) 17．如图，已知点 A(3，0)，B(0，4)，C 为 x 轴上一点． (1)画出等腰三角形 ABC. (2)求出 C 点的坐标． ,(第 17 题图)) 解：(1)如解图． ,(第 17 题图解)) (2)①当 A 是顶点时，C1(－2，0)，C2(8，0)， ②当 B 是顶点时，C3(－3，0) ③当 C 是顶点时，C4 －7 6 ，0 . (第 18 题图) 18．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为 E，M 为 AB 边的中点，连结 ME， MD，ED. (1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD＝2∠DAC. 解：(1)证明：∵M 为 AB 边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴ME＝1 2AB，MD＝1 2AB， ∴ME＝MD， ∴△MED 为等腰三角形． (2)∵ME＝1 2AB＝MA， ∴∠MAE＝∠MEA， ∴∠BME＝2∠MAE. 同理，MD＝1 2AB＝MA， ∴∠MAD＝∠MDA， ∴∠BMD＝2∠MAD， ∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC. (第 19 题图) 19．如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为 AD 延长线上的一点， 且 CE＝CA. (1)求证：DE 平分∠BDC. (2)若点 M 在 DE 上，且 DC＝DM，求证：ME＝BD. 解：(1)证明：∵△ABC 为等腰 Rt△， ∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°. ∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD. 又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)． ∴∠DCA＝∠DCB. 又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°. ∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM＝∠EDC.∴DE 平分∠BDC. (第 19 题图解) (2)如解图，连结 MC. ∵DC＝DM，且∠MDC＝60°， ∴△MDC 是等边三角形， ∴CM＝CD. 又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°， ∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°， ∴∠EMC＝∠ADC. 又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°. ∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.