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  • 2021-04-26 发布

人教版八年级数学下册单元检测题全套及答案(含期中期末检测题)

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1 第十六章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2019·云南)要使 x+1 2 有意义,则 x 的取值范围为 B A.x≤0 B.x≥-1 C.x≥0 D.x≤-1 2.(2019·河池)下列式子中,为最简二次根式的是 B A. 1 2 B. 2 C. 4 D. 12 3.(2019·益阳)下列运算正确的是 D A. (-2)2 =-2 B.(2 3 )2=6 C. 2 + 3 = 5 D. 2 × 3 = 6 4.等式 (4-x)2(6-x) =(x-4) 6-x 成立的条件是 B A.x≥4 B.4≤x≤6 C.x≥6 D.x≤4 或 x≥6 5.设 n 为正整数,且 n< 65 <n+1,则 n 的值为 D A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知 k,m,n 为三个整数,若 135 =k 15 , 450 =15 m , 180 =6 n ,则 下列有关于 k,m,n 大小关系,何者正确?D A.k<m=n B.m=n<k C.m<n<k D.m<k<n 7.计算 27 -1 3 18 - 12 的结果是 C A.1 B.-1 C. 3 - 2 D. 2 - 3 8.若 x= 3- 2 2 ,y= 3+ 2 2 ,则 x2+y2 的值是 A A.5 2 B. 3 2 C. 3 D.1 4 9.若 a+b<0,ab>0,则化简 a2b2 的结果是 A A.ab B.-a b C.-ab D.a b 10.(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:2+ 3 2- 3 = (2+ 3)(2+ 3) (2- 3)(2+ 3) =7+4 3 ,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简 一些有特点的无理数,如:对于 3+ 5 - 3- 5 ,设 x= 3+ 5 - 3- 5 ,易知 3+ 5 > 3- 5 ,故 x>0,由 x2 =( 3+ 5 - 3- 5 )2 =3+ 5 +3- 5 - 2 (3+ 5)(3- 5) =2,解得 x= 2 ,即 3+ 5 - 3- 5 = 2 .根据以上方法, 化简 3- 2 3+ 2 + 6-3 3 - 6+3 3 后的结果为 D A.5+3 6 B.5+ 6 C.5- 6 D.5-3 6 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.已知 a<2,则 (a-2)2 =2-a. 2 12.(2019·滨州)计算:(-1 2 )-2-| 3 -2|+ 3 2 ÷ 1 18 =2+4 3 . 13.(2019·天津)计算( 3 +1)( 3 -1)的结果等于 2. 14.若已知一个梯形的上底长为( 7 - 2 ) cm,下底长为( 7 + 2 ) cm,高为 2 7 cm,则这个梯形的面积为 14cm2. 15.如图,数轴上表示 1, 3 的对应点分别为点 A,B,点 B 关于点 A 的对称点为点 C, 设点 C 所表示的数为 x,则 x+3 x 的值为 8+2 3 . 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)计算: (1) 2 2 (2 12 +4 1 8 -3 48 ); 解:原式=4 6 +2-12 6 =2-8 6 (2)(2019·南充)计算:(1-π)0+| 2 - 3 |- 12 +( 1 2 )-1. 解:原式=1+ 3 - 2 -2 3 + 2 =1- 3 17.(9 分)如果最简二次根式 2m+n 与 m-n-1 m+7 是可以合并的,求正整数 m,n 的值. 解:m=5,n=2 18.(9 分)若 a,b,c 是△ABC 的三边,化简: (a-b-c)2 -|b-c-a|+ (c-a-b)2 . 解:化简得原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|=-a+b+c+b-c-a-c+a+b =-a+3b-c 19.(9分)已知实数a,b 满足(4a-b+11)2+ 1 3 b-4a-3 =0,求a· a ·( b ÷ 1 a ) 的值. 3 解:由题意得 4a-b+11=0, 1 3 b-4a-3=0, 解得 a=1 4 , b=12. 则 a· a ·( b ÷ 1 a )=a·a· b = 1 4 ×1 4 ×2 3 = 3 8 20.(9 分)先化简,再求值: (1)(2019·襄阳)先化简,再求值:( x x-1 -1)÷x2+2x+1 x2-1 ,其中 x= 2 -1. 解:原式=( x x-1 -x-1 x-1 )÷x2+2x+1 x2-1 = 1 x-1 ×(x+1)(x-1) (x+1)2 = 1 x+1 ,当 x= 2 -1 时,原式= 1 2-1+1 = 2 2 (2)(2019·桂林)先化简,再求值:(1 y -1 x )÷x2-2xy+y2 2xy - 1 y-x ,其中 x=2+ 2 , y=2. 解:原式=x-y xy · 2xy (x-y)2 + 1 x-y = 2 x-y + 1 x-y = 3 x-y ,当 x=2+ 2 ,y=2 时,原式= 3 2+ 2-2 =3 2 2 21.(10 分)在△ABC 中,BC 边上的高 h=6 3 cm,它的面积恰好等于边长为 3 2 cm 的正方形的面积,求 BC 的长. 解:∵1 2 BC·h=(3 2 )2=18,∴BC=36 h = 36 6 3 =2 3 (cm),答:BC 的长为 2 3 cm 22.(10 分)已知 9+ 11 与 9- 11 的小数部分分别为 a,b,求 ab-3a+4b-7 的值. 解:∵3< 11 <4,∴9+ 11 的小数部分为 11 -3,即 a= 11 -3,9- 11 的小 数部分为 4- 11 ,即 b=4- 11 ,∴ab-3a+4b-7=( 11 -3)(4- 11 )-3( 11 - 4 3)+4(4- 11 )-7=-5 23.(11 分)在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如 3 5 , 2 3 , 2 3+1 一样的式 子,其实我们还可以将其进一步化简: 3 5 = 3× 5 5× 5 =3 5 5 ;(一) 2 3 = 2×3 3×3 = 6 3 ;(二) 2 3+1 = 2×( 3-1) ( 3+1)( 3-1) =2( 3-1) ( 3)2-12 = 3 -1;(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2 3+1 还可以用以下方法化简: 2 3+1 = 3-1 3+1 =( 3)2-12 3+1 =( 3+1)( 3-1) 3+1 = 3 -1.(四) 请用不同的方法化简 2 5+ 3 . (1)①参照(三)式得 2 5+ 3 = 2( 5- 3) ( 5+ 3)( 5- 3) = 2( 5- 3) ( 5)2-( 3)2 = 5 - 3 ; ②参照(四)式得 2 5+ 3 = 5-3 5+ 3 =( 5)2-( 3)2 5+ 3 =( 5+ 3)( 5- 3) 5+ 3 = 5 - 3 ; (2)化简: 1 3+1 + 1 5+ 3 + 1 7+ 5 +…+ 1 2n+1+ 2n-1 . 解 : 原 式 = 3-1 2 + 5- 3 2 + … + 2n+1- 2n-1 2 = 3-1+ 5- 3+…+ 2n+1- 2n-1 2 =-1+ 2n+1 2 第十七章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.已知 Rt△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且∠C=90°,c=37,a=12,则 b 的值为 5 B A.50 B.35 C.34 D.26 2.由下列线段 a,b,c 不能组成直角三角形的是 D A.a=1,b=2,c= 3 B.a=1,b=2,c= 5 C.a=3,b=4,c=5 D.a=2,b=2 3 ,c=3 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是 A A.36 5 B.12 25 C.9 4 D.3 3 4 4.已知三角形三边长为 a,b,c,如果 a-6 +|b-8|+(c-10)2=0,则△ABC 是 C A.以 a 为斜边的直角三角形 B.以 b 为斜边的直角三角形 C.以 c 为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 5.(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的 证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵 爽弦图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的 是 B 6.设 a,b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为 6,斜边长为 2.5,则 ab 的值是 D A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=30°,DE 垂直平分斜边 AC 交 AB 于点 D,E 是垂足,连 接 CD,若 BD=1,则 AC 的长是 A A.2 3 B.2 C.4 3 D.4 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 8.一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长,但他把这三个数据 与其他数据弄混了,请你帮他找出来,应该是 C A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,4 9.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末 端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部 分忽略不计)D A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m 10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上,顶点 B 的坐标 为(3, 3 ),点 C 的坐标为(1 2 ,0),点 P 为斜边 OB 上的一个动点,则 PA+PC 的最小值为 B A. 13 2 B. 31 2 C.3+ 19 2 D.2 7 6 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.把命题“对顶角相等”的逆命题改写成“如果…那么…”的形式:如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 12.(2019·常州)平面直角坐标系中,点 P(-3,4)到原点的距离是 5. 13.如图,阴影部分是两个正方形,其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形,则 阴影部分的面积之和为 64. 14.(2019·东营)已知等腰三角形的底角是 30°,腰长为 2 3 ,则它的周长是 6+4 3 . 15.(2019·鄂州)如图,已知线段 AB=4,O 是 AB 的中点,直线 l 经过点 O,∠1=60°, P 点是直线 l 上一点,当△APB 为直角三角形时,则 BP=2 或 2 3 或 2 7 . 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5. (1)求△ABC 的周长; (2)判断△ABC 是否是直角三角形. 解:(1)可求得 AB=20,AC=13,所以△ABC 的周长为 20+13+21=54 (2)∵AB2+AC2=202+132=569,BC2=212=441,∴AB2+AC2≠BC2, ∴△ABC 不是直角三角形 17.(9 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫 做格点,以格点为顶点按下列要求画图: (1)在图①中画一条线段 MN,使 MN= 17 ; (2)在图②中画一个三边长均为无理数,且各边都不相等的直角△DEF. 7 解:如图: 18.(9 分)如图,已知 CD=6,AB=4,∠ABC=∠D=90°,BD=DC,求 AC 的长. 解:在 Rt△BDC,Rt△ABC 中,BC2=BD2+DC2,AC2=AB2+BC2,则 AC2=AB2+BD2+DC2, 又因为 BD=DC,则 AC2=AB2+2CD2=42+2×62=88,∴AC=2 22 ,即 AC 的长为 2 22 19.(9 分)如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是 BC 中点,且 DE⊥BC 于点 D,交 AB 于点 E. 求证:BE2-EA2=AC2. 解:连接 CE,∵ED 垂直平分 BC,∴EB=EC,又∵∠A=90°,∴EA2+AC2=EC2,∴BE2 -EA2=AC2 20.(9 分)(2019·河北)已知:整式 A=(n2-1)2+(2n)2,整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 发现 A=B2,求整式 B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当 n>1 时,n2-1,2n,B 为直角三角形的三边 长,如图.填写下表中 B 的值: 8 直角三角形三边 n2-1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 勾股数组Ⅱ 35 / 解:A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,∵A=B2,B>0,∴B =n2+1,当 2n=8 时,n=4,∴n2+1=42+1=17;当 n2-1=35 时,n2+1=37.故答案为: 17;37 21.(10 分)如图,已知某学校 A 与直线公路 BD 的距离 AB 为 3000 米,且与该公路上的 一个车站 D 相距 5000 米,现要在公路边建一个超市 C,使之与学校 A 及车站 D 的距离相等, 那么该超市与车站 D 的距离是多少米? 解:设超市 C 与车站 D 的距离是 x 米,则 AC=CD=x 米,BC=(BD-x)米,在 Rt△ABD 中,BD= AD2-AB2 =4000 米,所以 BC=(4000-x)米,在 Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2,即 x2=30002+(4000-x)2,解得 x=3125,因此该超市与车站 D 的距离是 3125 米 22.(10 分)一块长方体木块的各棱长如图所示,一只蜘蛛在木块的一个顶点 A 处,一 只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上 爬. (1)如果 D 是棱的中点,蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行,它从 A 点爬到 B 点所走的路程为 多少? (2)你认为“AD→DB”是最短路线吗?如果你认为不是,请计算出最短的路程. 9 解:(1)从点 A 爬到点 B 所走的路程为 AD+BD= 42+32 + 22+32 =(5+ 13 )cm (2) 不是,分三种情况讨论:①将下面和右面展到一个平面内,AB= (4+6)2+22 = 104 = 2 26 (cm);②将前面与右面展到一个平面内,AB= (4+2)2+62 = 72 =6 2 (cm); ③将前面与上面展到一个平面内,AB= (6+2)2+42 = 80 =4 5 (cm),∵6 2 <4 5 <2 26 ,∴蜘蛛从 A 点爬到 B 点所走的最短路程为 6 2 cm 23.(11 分)如图,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A,C 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点,P(0,m)是线段 OC 上一动点(C 点除外),直线 PM 交 AB 的延 长线于点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示); (2)当△APD 是以 AP 为腰的等腰三角形时,求 m 的值; 解:(1)先证△DBM≌△PCM,从中可得 BD=PC=2-m,则 AD=2-m+2=4-m,∴点 D 的坐标为(-2,4-m) (2)分两种情况:①当 AP=AD 时,AP2=AD2,∴22+m2=(4-m)2,解 得 m=3 2 ;②当 AP=PD 时,过点 P 作 PH⊥AD 于点 H,∴AH=1 2 AD,∵AH=OP,∴OP=1 2 AD, ∴m=1 2 (4-m),∴m=4 3 ,综上可得,m 的值为3 2 或4 3 第十八章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 10 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 C A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.(株洲中考)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 BC 的中点,以下说法错误的是 D A.OE=1 2 DC B.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE 第 2 题图 第 3 题图 第 6 题图 3.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=8 cm,∠AOD=120°,则 AB 的长为 D A. 3 cm B.2 cm C.2 3 cm D.4 cm 4.(2019·泸州)四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,下列四组条件中,一定能 判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 B A.AD∥BC B.OA=OC,OB=OD C.AD∥BC,AB=DC D.AC⊥BD 5.若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是 C A.矩形 B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 6.(2019·赤峰)如图,菱形 ABCD 周长为 20,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 CD 的中 点,则 OE 的长是 A A.2.5 B.3 C.4 D.5 7.(2019·泸州)一个菱形的边长为 6,面积为 28,则该菱形的两条对角线的长度之和 为 C A.8 B.12 C.16 D.32 8.如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折,点 B 恰好落在 AD 边的 B′处,若 AE=2,DE=6,∠ EFB′=60°,则矩形 ABCD 的面积是 D A.12 B.24 C.12 3 D.16 3 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在对角线 BD 上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB, 垂足为 F,则 EF 的长为 C A.1 B. 2 C.4-2 2 D.3 2 -4 10.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,∠EBC 的平分线交 CD 于点 F,将△DEF 沿 EF 折叠,点 D 恰好落在 BE 上点 M 处,延长 BC,EF 交于点 N,有下列四个结论:①DF= CF;②BF⊥EN;③△BEN 是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF,其中正确的结论是 B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11 11.(2019·长沙)如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选 一点 C,连接 AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测得 DE=50 m,则 AB 的长是 100m. 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 12.(江西中考)如图,在▱ ABCD 中,∠C=40°,过点 D 作 CB 的垂线,交 AB 于点 E, 交 CB 的延长线于点 F,则∠BEF 的度数为 50°. 13.(2019·湘潭)如图,在四边形 ABCD 中,若 AB=CD,则添加一个条件 AD=BC,能得 到平行四边形 ABCD.(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可) 14.如图,菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 和 8,M,N 分别是边 BC,CD 的中点,P 是对角线 BD 上一点,则 PM+PN 的最小值是 5. 15.(2019·内江)如图,点 A,B,C 在同一直线上,且 AB=2 3 AC,点 D,E 分别是 AB, BC 的中点,分别以 AB,DE,BC 为边,在 AC 同侧作三个正方形,得到三个平行四边形(阴影 部分)的面积分别记作 S1,S2,S3,若 S1= 5 ,则 S2+S3=3 5 4 . 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)如图,点 E,F 分别是锐角∠A 两边上的点,AE=AF,分别以点 E,F 为圆心, 以 AE 的长为半径画弧,两弧相交于点 D,连接 DE,DF. (1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由; (2)连接 EF,若 AE=8 cm,∠A=60°,求线段 EF 的长. 解:(1)菱形,理由:根据题意得 AE=AF=ED=DF,∴四边形 AEDF 是菱形 (2)∵AE= AF,∠A=60°,∴△EAF 是等边三角形,∴EF=AE=8 cm 17.(9 分)(2019·柳州)平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边 形是平行四边形.请你证明这个判定定理. 12 已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明: 连接 AC,如图,在△ABC 和△CDA 中, AB=CD CB=AD AC=CA ,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA, ∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形 ABCD 是平行四边形 18.(9 分)(2019·新疆)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 CD 中 点,连接 OE.过点 C 作 CF∥BD 交 OE 的延长线于点 F,连接 DF. 求证:(1)△ODE≌△FCE; (2)四边形 OCFD 是矩形. 证明:(1)∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E 是 CD 中点,∴CE=DE,在△ODE 和△FCE 中, ∠ODE=∠FCE, DE=CE, ∠DEO=∠CEF, ∴△ODE≌△FCE(ASA) (2)∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形 OCFD 是平行四边形,∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∴四边形 OCFD 是矩形 19.(9 分)(2019·大庆)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4.点 M,N 在对角线 AC 上, 且 AM=CN,E,F 分别是 AD,BC 的中点. 13 (1)求证:△ABM≌△CDN; (2)点 G 是对角线 AC 上的点,∠EGF=90°,求 AG 的长. (1)证明∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴∠MAB=∠NCD.在△ABM 和△CDN 中, AB=CD, ∠MAB=∠NCD, AM=CN, ∴△ABM≌△CDN(SAS) (2)解:如图,连接 EF,交 AC 于点 O.在△AEO 和△CFO 中, ∠EOA=∠FOC, ∠EAO=∠FCO, AE=CF, ∴△AEO ≌△CFO(AAS),∴EO=FO,AO=CO,∴O 为 EF,AC 中点.∵∠EGF=90°,OG=1 2 EF=3 2 , ∴AG=OA-OG=1 或 AG=OA+OG=4,∴AG 的长为 1 或 4 20.(9 分)如图,在▱ ABCD 中,E,F 两点在对角线 BD 上,BE=DF. (1)求证:AE=CF; (2)当四边形 AECF 为矩形时,请求出BD-AC BE 的值. 解:(1)由 SAS 证△ABE≌△CDF 即可 (2)连接 CE,AF,AC.∵四边形 AECF 是矩形,∴ AC=EF,∴BD-AC BE =BD-EF BE =BE+DF BE =2BE BE =2 21.(10 分)如图,在矩形 ABCD 中,M,N 分别是边 AD,BC 的中点,E,F 分别是线段 BM, CM 的中点. (1)求证:△ABM≌△DCM; (2)填空:当 AB∶AD=1∶2 时,四边形 MENF 是正方形,并说明理由. 解:(1)由 SAS 可证 (2)理由:∵AB∶AD=1∶2,∴AB=1 2 AD,∵AM=1 2 AD,∴AB=AM, 14 ∴∠ABM=∠AMB,∵∠A=90°,∴∠AMB=45°,∵△ABM≌△DCM,∴BM=CM,∠DMC=∠AMB =45°,∴∠BMC=90°,∵E,F,N 分别是 BM,CM,BC 的中点,∴EN∥CM,FN∥BM,EM= MF,∴四边形 MENF 是菱形,∵∠BMC=90°,∴菱形 MENF 是正方形 22.(10 分)如图,在正方形 ABCD 中,AC 是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终 经过点 B,直角顶点 P 在射线 AC 上移动,另一边交 DC 于点 Q. (1)如图①,当点 Q 在 DC 边上时,猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系,并加以证明; (2)如图②,当点 Q 落在 DC 的延长线上时,猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系,并证 明你的猜想. 解:(1)PB=PQ.证明:连接 PD,∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ACB=∠ACD,∠BCD= 90°,BC=CD,又∵PC=PC,∴△DCP≌△BCP(SAS),∴PD=PB,∠PBC=∠PDC,∵∠PBC +∠PQC=180°,∠PQD+∠PQC=180°,∴∠PBC=∠PQD,∴∠PDC=∠PQD,∴PQ=PD, ∴PB=PQ (2)PB=PQ.证明:连接 PD,同(1)可证△DCP≌△BCP,∴PD=PB,∠PBC=∠PDC, ∵∠PBC=∠Q,∴∠PDC=∠Q,∴PD=PQ,∴PB=PQ 23.(11 分)(2019·重庆)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,连接 AE,EM ⊥AE,垂足为 E,交 CD 于点 M,AF⊥BC,垂足为 F,BH⊥AE,垂足为 H,交 AF 于点 N,点 P 是 AD 上一点,连接 CP. (1)若 DP=2AP=4,CP= 17 ,CD=5,求△ACD 的面积. (2)若 AE=BN,AN=CE,求证:AD= 2 CM+2CE. 解:(1)作 CG⊥AD 于 G,如图①所示:设 PG=x,则 DG=4-x,在 Rt△PGC 中,GC2=CP2 -PG2=17-x2,在 Rt△DGC 中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,∴17-x2=9+8x -x2,解得:x=1,即 PG=1,∴GC=4,∵DP=2AP=4,∴AD=6,∴S△ACD=1 2 ×AD×CG= 1 2 ×6×4=12 15 (2)证明:连接 NE,如图②所示:∵BH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM,∴∠AEB+∠NBF=∠AEB + ∠ EAF = ∠AEB + ∠MEC = 90 ° , ∴ ∠ NBF = ∠EAF = ∠MEC , 在 △NBF 和 △EAF 中 , ∠NBF=∠EAF, ∠BFN=∠AFE, BN=AE, ∴△NBF≌△EAF(AAS),∴BF=AF,NF=EF,∴∠ABC=45°,∠ENF=45°, ∵∠ANB=90°+∠EAF,∠CEA=90°+∠MEC,∴∠ANB=∠CEA,在△ANB 和△CEA 中, AN=CE, ∠ANB=∠CEA, BN=AE, ∴△ANB≌△CEA(SAS),∴∠CAE=∠ABN,∵∠NBF=∠EAF,∴∠ABF= ∠FAC=45°∴FC=AF=BF,∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF,在△ANE 和△ECM 中, ∠EAF=∠MEC, AN=EC, ∠ANE=∠ECM, ∴△ANE≌△ECM(ASA),∴CM=NE,又∵NF= 2 2 NE= 2 2 MC,∴AF= 2 2 MC +EC,∴AD= 2 MC+2EC 第十九章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2019·广元)函数 y= x-1 的自变量 x 的取值范围是 D A.x>1 B.x<1 C.x≤1 D.x≥1 2.若函数 y=kx 的图象经过点(1,-2),那么它一定经过点 B A.(2,-1) B.(-1 2 ,1) C.(-2,1) D.(-1,1 2 ) 3.(2019·齐齐哈尔)“六一”儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童.战士们从 营地出发,匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营 地、文具店、福利院三地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步 返回营地(赠送礼物的时间忽略不计),下列图象能大致反映战士们离营地的距离 S 与时间 t 之间函数关系的是 B 16 4.(2019·娄底)如图,直线 y=x+b 和 y=kx+2 与 x 轴分别交于点 A(-2,0),点 B(3, 0),则 x+b>0, kx+2>0 解集为 D A.x<-2 B.x>3 C.x<-2 或 x>3 D.-2<x<3 第 4 题图 第 9 题图 第 10 题图 5.(2019·大庆)正比例函数 y=kx(k≠0)的函数值 y 随着 x 增大而减小,则一次函数 y =x+k 的图象大致是 A 6.已知一次函数 y=(2m-1)x+1 的图象上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),当 x1<x2 时, 有 y1<y2,那么 m 的取值范围是 B A.m<1 2 B.m>1 2 C.m<2 D.m>0 7.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与 y 轴交点的坐标 为 A A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,2) D.(-2,0) 8.把直线 y=-x-3 向上平移 m 个单位后,与直线 y=2x+4 的交点在第二象限,则 m 的取值范围是 A A.1<m<7 B.3<m<4 C.m>1 D.m<4 9.在一次自行车越野赛中,出发 m h 后,小明骑行了 25 km,小刚骑行了 18 km,此后 两人分别以 a km/h,b km/h 匀速骑行,他们骑行的时间 t(h)与骑行的路程 s(km)之间的函 数关系如图,观察图象,下列说法:①出发 m h 内小明的速度比小刚快;②a=26;③小刚 追上小明时离起点 43 km;④此次越野赛的全程为 90 km.其中正确的说法有 C A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.(2019·鄂州)如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3…An 在 x 轴上,B1,B2,B3… Bn 在直线 y= 3 3 x 上,若 A1(1,0),且△A1B1A2,△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形,从左 到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为 S1,S2,S3…Sn.则 Sn 可表示为 D 17 A.22n 3 B.22n-1 3 C.22n-2 3 D.22n-3 3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2019·本溪)函数 y=5x 的图象经过的象限是一、三. 12.(2019·哈尔滨)在函数 y= 3x 2x-3 中,自变量 x 的取值范围是 x≠3 2 . 13.(2019·无锡)已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 3kx-b >0 的解集为 x<2. 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14.(2019·金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“今有良马日行二百四十里, 驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象,则两图象交点 P 的坐标是(32,4800). 15.(2019·重庆)一天,小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后,在家休假的爸 爸发现小明忘带数学书,于是爸爸立即匀速跑步去追小明,爸爸追上小明后以原速原路跑回 家.小明拿到书后以原速的5 4 倍快步赶往学校,并在从家出发后 23 分钟到校(小明被爸爸追 上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程 y(米)与小明从家出发到学校的步行时间 x(分钟)之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为 2080 米. 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)已知 2y-3 与 3x+1 成正比例,且 x=2 时,y=5. (1)求 x 与 y 之间的函数关系,并指出它是什么函数; (2)若点(a,2)在这个函数的图象上,求 a 的值. 解:(1)y=3 2 x+2,是一次函数 (2)a=0 17.(9 分)(2019·南京)已知一次函数 y1=kx+2(k 为常数,k≠0)和 y2=x-3. (1)当 k=-2 时,若 y1>y2,求 x 的取值范围; (2)当 x<1 时,y1>y2.结合图象,直接写出 k 的取值范围. 解:(1)k=-2 时,y1=-2x+2,根据题意得-2x+2>x-3,解得 x<5 3 (2)当 x=1 时,y=x-3=-2,把(1,-2)代入 y1=kx+2 得 k+2=-2,解得 k=-4,当-4≤k<0 时,y1>y2;当 0<k≤1 时,y1>y2 18.(9 分)已知一次函数 y=(a+8)x+(6-b). 18 (1)a,b 为何值时,y 随 x 的增大而增大? (2)a,b 为何值时,图象过第一、二、四象限? (3)a,b 为何值时,图象与 y 轴的交点在 x 轴上方? (4)a,b 为何值时,图象过原点? 解:(1)a>-8,b 为全体实数 (2)a<-8,b<6 (3)a≠-8,b<6 (4)a≠-8,b =6 19.(9 分)(2019·深圳)有 A,B 两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比 B 发电厂多 发 40 度电,A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电. (1)求焚烧 1 吨垃圾,A 和 B 各发电多少度? (2)A,B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾,A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾两倍,求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值. 解:(1)设焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 a 度,B 发电厂发电 b 度,根据题意得: a-b=40, 30b-20a=1800, 解得 a=300, b=260, 答:焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 300 度,B 发电厂发 电 260 度 (2)设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾,则 B 发电厂焚烧(90-x)吨垃圾,总发电量为 y 度,则 y =300x+260(90-x)=40x+23400,∵x≤2(90-x),∴x≤60,∵y 随 x 的增大而增大,∴ 当 x=60 时,y 有最大值为:40×60+23400=25800(度).答:A 厂和 B 厂总发电量的最大值 是 25800 度 20.(9 分)(2019·绥化)甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了 6 小时.在加工 过程中乙机器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加 工.甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数 y(个)与甲加 工时间 x(h)之间的函数图象为折线 OA-AB-BC,如图所示. (1)这批零件一共有 270 个,甲机器每小时加工 20 个零件,乙机器排除故障后每小时加 工 40 个零件; (2)当 3≤x≤6 时,求 y 与 x 之间的函数解析式; (3)在整个加工过程中,甲加工多长时间时,甲与乙加工的零件个数相等? 解:(1)这批零件一共有 270 个,甲机器每小时加工零件:(90-50)÷(3-1)=20(个), 乙机器排除故障后每小时加工零件:(270-90-20×3)÷3=40(个);故答案为:270;20; 40 (2)设当 3≤x≤6 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,把 B(3,90),C(6,270) 代入解析式,得 3k+b=90, 6k+b=270, 解得 k=60, b=-90, ∴y=60x-90(3≤x≤6) (3)设甲加工 x 小时时,甲乙加工的零件个数相等,①20x=30,解得 x=1.5;②50-20=30,20x=30+ 40(x-3),解得 x=4.5,答:甲加工 1.5 h 或 4.5 h 时,甲与乙加工的零件个数相等 19 21.(10 分)(2019·重庆)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们 就一类特殊的函数展开探索.画函数 y=-2|x|的图象,经历分析解析式、列表、描点、连 线过程得到函数图象如图所示;经历同样的过程画函数 y=-2|x|+2 和 y=-2|x+2|的图 象如图所示. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 … (1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解析式中 绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变 化.写出点 A,B 的坐标和函数 y=-2|x+2|的对称轴; (2)探索思考:平移函数 y=-2|x|的图象可以得到函数 y=-2|x|+2 和 y=-2|x+2| 的图象,分别写出平移的方向和距离; (3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数 y=-2|x-3|+1 的图象.若点(x1, y1)和(x2,y2)在该函数图象上,且 x2>x1>3,比较 y1,y2 的大小. 解:(1)A(0,2),B(-2,0),函数 y=-2|x+2|的对称轴为 x=-2 (2)将函数 y= -2|x|的图象向上平移 2 个单位得到函数 y=-2|x|+2 的图象;将函数 y=-2|x|的图象 向左平移 2 个单位得到函数 y=-2|x+2|的图象 (3)将函数 y=-2|x|的图象向上平移 1 个单位,再向右平移 3 个单位得到函数 y=-2|x-3|+1 的图象.所画图象如图所示,当 x2>x1>3 时,y1>y2 22.(10 分)(2019·内江)某商店准备购进 A,B 两种商品,A 种商品每件的进价比 B 种 商品每件的进价多 20 元,用 3000 元购进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同.商 店将 A 种商品每件的售价定为 80 元,B 种商品每件的售价定为 45 元. (1)A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元? (2)商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A,B 两种商品共 40 件,其中 A 种商品的数量 不低于 B 种商品数量的一半,该商店有几种进货方案? 20 (3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件 A 种商品售价优惠 m(10<m<20) 元,B 种商品售价不变,在(2)条件下,请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方 案. 解:(1)设 A 种商品每件的进价是 x 元,则 B 种商品每件的进价是(x-20)元,由题意得: 3000 x = 1800 x-20 ,解得:x=50,经检验,x=50 是原方程的解,且符合题意,50-20=30, 答:A 种商品每件的进价是 50 元,B 种商品每件的进价是 30 元 (2)设购买 A 种商品 a 件, 则购买 B 商品(40-a)件,由题意得 50a+30(40-a)≤1560,40-a 2 , 解得40 3 ≤a≤18, ∵a 为正整数,∴a=14,15,16,17,18,∴商店共有 5 种进货方案 (3)设销售 A,B 两 种商品共获利 y 元,由题意得:y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600,① 当 10<m<15 时,15-m>0,y 随 a 的增大而增大,∴当 a=18 时,获利最大,即买 18 件 A 商品,22 件 B 商品;②当 m=15 时,15-m=0,y 与 a 的值无关,即(2)问中所有进货方案 获利相同;③当 15<m<20 时,15-m<0,y 随 a 的增大而减小,∴当 a=14 时,获利最大, 即买 14 件 A 商品,26 件 B 商品 23.(11 分)(2019·襄阳)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植 有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价 如下表所示: 有机蔬菜种类 进价(元/kg) 售价(元/kg) 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜 10 kg 和乙种蔬菜 5 kg 需要 170 元;购进甲种蔬菜 6 kg 和乙 种蔬菜 10 kg 需要 200 元.求 m,n 的值; (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 kg 进行销售,其中甲种蔬菜的数量不少 于 20 kg,且不大于 70 kg.实际销售时,由于多种因素的影响,甲种蔬菜超过 60 kg 的部分, 当天需要打 5 折才能售完,乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润 额 y(元)与购进甲种蔬菜的数量 x(kg)之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,超市在获得的利润额 y(元)取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每 千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的盈利率不低于 20%,求 a 的最大值. 解:(1)由题意可得, 10m+5n=170, 6m+10n=200, 解得 m=10, n=14, 答:m 的值是 10,n 的值是 14 (2)当 20≤x≤60 时,y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400,当 60<x≤70 时,y=(16 -10)×60+(16-10)×0.5×(x-60)+(18-14)(100-x)=-x+580,由上可得,y= 2x+400(20≤x≤60) -x+580(60<x≤70) (3)当 20≤x≤60 时,y=2x+400,则当 x=60 时,y 取得最大 值,此时 y=520,当 60<x≤70 时,y=-x+580,则 y<-60+580=520,由上可得,当 x=60 时,y 取得最大值,此时 y=520,∵在(2)的条件下,超市在获得的利润额 y(元)取得 最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院, 且要保证捐款后的盈利率不低于 20%,∴520-2a×60-40a 60×10+40×14 ≥20%,解得 a≤1.8,即 a 的最 大值是 1.8 21 第二十章检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2019·宜昌)李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林,今年收货一批 成熟的果子.他选取了 5 棵果树,采摘后分别称重.每棵果树果子总质量(单位:kg)分别为: 90,100,120,110,80.这五个数据的中位数是 C A.120 B.110 C.100 D.90 2.(2019·临沂)小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温(单位:℃),列成如 表: 天数(天) 1 2 1 3 最高气温(℃) 22 26 28 29 则这周最高气温的平均值是 B A.26.25 ℃ B.27 ℃ C.28 ℃ D.29 ℃ 3.(2019·湘西州)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛,经过三轮初赛,他 们的平均成绩都是 9 环,方差分别是 s 甲 2=0.25,s 乙 2=0.3,s 丙 2=0.4,s 丁 2=0.35,你认 为派谁去参赛更合适 A A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(2019·宁夏)为了解学生课外阅读时间情况,随机收集了 30 名学生一天课外阅读时 间,整理如下表: 阅读时间/小时 0.5 及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 及以上 人数 2 9 6 5 4 4 则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是 B A.0.7 和 0.7 B.0.9 和 0.7 C.1 和 0.7 D.0.9 和 1.1 5.(2019·眉山)某班七个兴趣小组人数如下:5,6,6,x,7,8,9,已知这组数据的 平均数是 7,则这组数据的中位数是 C A.6 B.6.5 C.7 D.8 6.(2019·大庆)某企业 1-6 月份利润的变化情况如图所示,以下说法与图中反映的信 息相符的是 D A.1-6 月份利润的众数是 130 万元 B.1-6 月份利润的中位数是 130 万元 C.1-6 月份利润的平均数是 130 万元 D.1-6 月份利润的极差是 40 万元 22 第 6 题图 第 10 题图 7.在“爱我中华”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下: 甲:8,7,9,8,8 ;乙:7,9,6,9,9,则下列说法中错误的是 C A.甲、乙得分的平均数都是 8 B.甲得分的众数是 8,乙得分的众数是 9 C.甲得分的中位数是 9,乙得分的中位数是 6 D.甲得分的方差比乙得分的方差小 8.下列说法中:①样本中的方差越小,波动越小,说明样本稳定性越好;②一组数据 的众数只有一个;③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据;④数据 3,3,3, 3,2,5 中的众数为 4;⑤一组数据的方差一定是正数.其中正确的个数为 B A.0 B.1 C.2 D.4 9.(2019·宜宾)如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩: 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为 x 甲、x 乙,甲、乙的方差分别为 s 甲 2,s 乙 2, 则下列结论正确的是 A A.x 甲=x 乙,s 甲 2<s 乙 2 B.x 甲=x 乙,s 甲 2>s 乙 2 C.x 甲>x 乙,s 甲 2<s 乙 2 D.x 甲<x 乙,s 甲 2<s 乙 2 10.对某校八年级学生随机抽取若干名进行体能测试,成绩记为 1 分、2 分、3 分、4 分共 4 个等级,将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图,根据图中信息,这些学生的平 均分数是 C A.2.25 B.2.5 C.2.95 D.3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.某招聘考试分笔试和面试两种,其中笔试按 60%,面试按 40%计算加权平均数作为 总成绩,小王笔试成绩 90 分,面试成绩 85 分,那么小王的总成绩是 88 分. 12.(2019·玉林)样本数据-2,0,3,4,-1 的中位数是 0. 13.(2019·包头)甲、乙两班举行数学知识竞赛,参赛学生的竞赛得分统计结果如下表: 班级 参赛人数 平均数 中位数 方差 甲 45 83 86 82 23 乙 45 83 84 135 某同学分析上表后得到如下结论:①甲、乙两班学生的平均成绩相同;②乙班优秀的人 数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85 分为优秀);③甲班成绩的波动性比乙班小.上述结 论中正确的是①②③.(填写所有正确结论的序号) 14.(2019·菏泽)一组数据 4,5,6,x 的众数与中位数相等,则这组数据的方差是1 2 . 15.一组数据 3,4,6,8,x 的中位数是 x,且 x 是满足不等式组 x-3≥0, 5-x>0 的整数, 则这组数据的平均数是 5. 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量,某水果店对三种水果 7 天的销售量进行了统计,统计结果如图所示: (1)若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为 6 元/千克、8 元/千克和 3 元/千克,则这 7 天销 售额最大的水果品种是 A. A.西瓜 B.苹果 C.香蕉 (2)估计一个月(按 30 天计算)该水果店可销售苹果多少千克? 解:140 7 ×30=600(千克) 17.(9 分)(呼和浩特中考)在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽得 12 名选手所用的 时间(单位:分钟)得到如下样本数据:140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 (1)计算该样本数据的中位数和平均数; (2)如果一名选手的成绩是 147 分钟,请你依据样本数据的中位数,推断他的成绩如何? 解:(1)中位数为 150 分钟,平均数为 151 分钟 (2)由(1)可得,中位数为 150,可以 估计在这次马拉松比赛中,大约有一半选手的成绩快于 150 分钟,有一半选手的成绩慢于 150 分钟,这名选手的成绩为 147 分钟,快于中位数 150 分钟,可以推断他的成绩估计比一 半以上选手的成绩好 18.(9 分)某校在招聘教师时以考评成绩确定人选,甲、乙两位高校毕业生的各项考评 成绩如下表: 考评项目 教学设计 课堂教学 答辩 成绩(分) 甲 90 85 90 乙 80 92 83 (1)如果学校将教学设计,课堂教学和答辩按 1∶3∶1 的比例来计算各人的考评成绩, 那么谁会被录用? (2)如果按教学设计占 30%,课堂教学占 50%,答辩占 20%来计算各人的考评成绩,那么 24 又是谁会被录用? 解:(1)甲的成绩为 87,乙的成绩为 87.8,∵87<87.8,∴乙会被录取 (2)甲的成绩 为 87.5,乙的成绩为 86.6,∵87.5>86.6,∴甲会被录取 19.(9 分)(2019·云南)某公司销售部有营业员 15 人,该公司为了调动营业员的积极 性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励,为了确定一个适当 的月销售目标,公司有关部门统计了这 15 人某月的销售量,如下表所示: 月销售量/件数 1770 480 220 180 120 90 人数 1 1 3 3 3 4 (1)直接写出这 15 名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数; (2)如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标,你认为(1)中的平均数、中位数、 众数中,哪个最适合作为月销售目标?请说明理由. 解 : (1) 这 15 名 营 业 员 该 月 销 售 量 数 据 的 平 均 数 = 1770+480+220×3+180×3+120×3+90×4 15 =278(件),中位数为 180 件,∵90 出现了 4 次,出现的次数最多,∴众数是 90 件 (2)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标, 平均数、中位数、众数中,中位数最适合作为月销售目标;理由如下:因为中位数为 180 件,即月销售量大于 180 与小于 180 的人数一样多,所以中位数最适合作为月销售目标,有 一半左右的营业员能达到销售目标 20.(9 分)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在 10 天中,两台机床每天出次品的数 量如下表: 甲 1 1 0 2 1 3 2 1 1 0 乙 0 2 2 0 3 1 0 1 3 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差; (2)从计算的结果来看,在 10 天中,哪台机床出次品的平均数较小?哪台机床出次品的 波动较小? 解:(1)x 甲=1.2(个),x 乙=1.3(个);s 甲 2=0.76,s 乙 2=1.21 (2)由(1)知 x 甲<x 乙, ∴甲台机床出次品的平均数较小,由(1)知 s 甲 2<s 乙 2,∴甲台机床出次品的波动较小 21.(10 分)(2019·青岛)为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校 800 名学生 中随机抽取了 40 名学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位:h),统计结果如下: 9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8, 9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8, 9. 25 在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表: 睡眠时间分组统计表 组别 睡眠时间分组 人数(频数) 1 7≤t<8 m 2 8≤t<9 11 3 9≤t<10 n 4 10≤t<11 4 请根据以上信息,解答下列问题: (1)m=7,n=18,a=17.5%,b=45%; (2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 3 组(填组别); (3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h,请估计该校学生中睡 眠时间符合要求的人数. 解:(1)7≤t<8 时,频数为 m=7;9≤t<10 时,频数为 n=18;∴a= 7 40 ×100%=17.5%; b=18 40 ×100%=45%;故答案为:7,18,17.5%,45% (2)由统计表可知,抽取的这 40 名学 生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数,∴落在第 3 组;故答案为: 3 (3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 800×18+4 40 =440(人);答:估计该校学生 中睡眠时间符合要求的人数为 440 人 22.(10 分)(2019·长春)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年 级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取 20 名学生,进行了每周网上学习的调查.数 据如下(单位:时): 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据,得到表格如下: 网上学习时间 x(时) 0<x≤1 1<x≤2 2<x≤3 3<x≤4 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示: 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 m n 根据以上信息,解答下列问题: (1)上表中的中位数 m 的值为 2.5,众数 n 的值为 2.5; (2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习的 时间; 26 (3)已知该校七年级学生有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数. 解:(1)从小到大排列为:0.6,1,1.5,1.5,1.8,2,2,2.2,2.4,2.5,2.5,2.5, 2.5,2.8,3,3.1,3.3,3.3,3.5,4,∴中位数 m 的值为2.5+2.5 2 =2.5,众数 n 为 2.5; 故答案为:2.5,2.5 (2)2.4×18=43.2(小时),答:估计该校七年级学生平均每人一学期 (按 18 周计算)网上学习的时间为 43.2 小时 (3)200×13 20 =130(人),答:该校七年级学生 有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人 23.(11 分)(2019·江西)某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况(七、八年级学 生人数相同),某周从这两个年级学生中分别随机抽查了 30 名同学,调查了他们周一至周五 的听力训练情况,根据调查情况得到如下统计图表: 周一至周五英语听力训练人数统计表 年级 参加英语听力训练人数 周一 周二 周三 周四 周五 七年级 15 20 a 30 30 八年级 20 24 26 30 30 合计 35 44 51 60 60 (1)填空:a=25; (2)根据上述统计图表完成下表中的相关统计量: 年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差 七年级 24 34 八年级 27 14.4 (3)请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价; (4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表,估计该校七、八年级共 480 名学生 中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练. 解:(1)由题意得:a=51-26=25;故答案为:25 (2)按照从小到大的顺序排列为: 18,25,27,30,30,∴八年级平均训练时间的中位数为:27;故答案为:27 (3)参加训 练的学生人数超过一半;从平均训练时间的中位数角度看,八年级英语听力训练的平均训练 时间比七年级多 (4)抽查的七、八年级共 60 名学生中,周一至周五训练人数的平均数为 1 5 (35+44+51+60+60)=50,∴该校七、八年级共 480 名学生中周一至周五平均每天进行 英语听力训练的人数为 480×50 60 =400(人) 27 期中检测题 (时间:120 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是 A A. 5 B. 8 C. 1 2 D. 0.3 2.(2019·天津)如图,四边形 ABCD 为菱形,A,B 两点的坐标分别是(2,0),(0,1), 点 C,D 在坐标轴上,则菱形 ABCD 的周长等于 C A. 5 B.4 3 C.4 5 D.20 第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图 3.在下列以线段 a,b,c 的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是 D A.a=9,b=41,c=40 B.a=5,b=5,c=5 2 C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11,b=12,c=15 4.(2019·郴州)下列运算正确的是 D A.(x2)3=x5 B. 2 + 8 = 10 C.x·x2·x4=x6 D. 2 2 = 2 5.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,若△DBE 的周长是 6,则△ABC 的周长是 C 28 A.8 B.10 C.12 D.14 6.(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为 3,较短的一条对角线的长为 2,则该菱形较长 的一条对角线的长为 C A.2 2 B.2 5 C.4 2 D.2 10 7.(2019·淄博)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为 2 和 8,则图中阴 影部分的面积为 B A. 2 B.2 C.2 2 D.6 8.(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》 中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形 纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 C A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 的中点,且 CD= 5 2 ,如果 Rt△ABC 的面积为 1,则它的周长为 D A. 5+1 2 B. 5 +1 C. 5 +2 D. 5 +3 10.(2019·安徽)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 将对角线 AC 三等分,且 AC=12, 点 P 在正方形的边上,则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 D A.0 B.4 C.6 D.8 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2019·衡阳) 27 - 3 =2 3 . 12.(2019·株洲)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CM 是斜边 AB 上的中线,E, F 分别为 MB,BC 的中点,若 EF=1,则 AB=4. 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 29 13.如图,以△ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S1,S2,S3,且 S1=9,S3 =25,当 S2=16 时,∠ACB=90°. 14.(2019·玉林)如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4,一发光电子开始置于 AB 边的 点 P 处,并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞,将发光电子沿着 PR 方向发射,碰 撞到矩形的边时均反射,每次反射的反射角和入射角都等于 45°,若发光电子与矩形的边 碰撞次数经过 2019 次后,则它与 AB 边的碰撞次数是 673. 15.(2019·北京)在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与 端点重合),对于任意矩形 ABCD,下面四个结论中:①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边 形;②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;④至少存在一个 四边形 MNPQ 是正方形.所有正确结论的序号是①②③. 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)计算: (1) 12 -4 1 8 -( 3 - 8 ); (2)(4 3 -6 1 3 )÷ 3 -( 5 + 3 )( 5 - 3 ). 解:(1) 3 + 2 (2)0 17.(9 分)已知 a= 7 - 5 ,b= 7 + 5 ,求值: (1)b a +a b ; (2)3a2-ab+3b2. 解:a+b=2 7 ,ab=2, (1)b a +a b =(a+b)2-2ab ab =12 (2)3a2-ab+3b2=3(a+b)2-7ab=70 18.(9 分)(2019·湘西州)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD,AD 上,且 AF=CE. (1)求证:△ABF≌△CBE; (2)若 AB=4,AF=1,求四边形 BEDF 的面积. 解:(1)在△ABF 和△CBE 中, AB=CB, ∠A=∠C=90°, AF=CE, ∴△ABF≌△CBE(SAS) (2)由已知可得正方形 ABCD 面积为 16,△ABF 面积=△CBE 面积=1 2 ×4×1=2.所以四 边形 BEDF 的面积为 16-2×2=12 30 19.(9 分)如图,在 B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东 60°的方向以每小时 8 海里的速度前进,乙船沿南偏东某方向以每小时 15 海里的速度前进,2 小时后甲船到 M 岛, 乙船到 P 岛,两岛相距 34 海里,你能知道乙船沿哪个方向航行吗? 解:由题意得 BM=2×8=16(海里),BP=2×15=30(海里),∵BM2+BP2=162+302= 1156,MP2=342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴∠MBP=90°,∴乙船沿南偏东 30°的方向航行 20.(9 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点 E,F. (1)求证:BE=BF; (2)当菱形 ABCD 的对角线 AC=8,BD=6 时,求 BE 的长. 解:(1)由 AAS 证△ABE≌△CBF 可得 (2)∵四边形 ABCD 是菱形,∴OA=1 2 AC=4,OB =1 2 BD=3,∠AOB=90°,∴AB= OA2+OB2 =5,∵S 菱形 ABCD=AD·BE=1 2 AC·BD,∴5BE= 1 2 ×8×6,∴BE=24 5 21.(10 分)如图,在▱ ABCD 中,O 是 CD 的中点,连接 AO 并延长,交 BC 的延长线于点 E. (1)求证:△AOD≌△EOC; (2)连接 AC,DE,当∠B=∠AEB=________°时,四边形 ACED 是正方形,请说明理由. 解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADO=∠OCE,∠DAO=∠CEO,∵ 31 O 是 CD 的中点,∴OD=OC,∴△AOD≌△EOC(AAS) (2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形 ACED 是正方形,理由:∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE,又∵OC=OD,∴四边形 ACED 是平行四边形, ∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠COE=∠BAE=90°,∴▱ ACED 是菱形,∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD,∴菱 形 ACED 是正方形 22.(10 分)(2019·哈尔滨)已知:在矩形 ABCD 中,BD 是对角线,AE⊥BD 于点 E,CF ⊥BD 于点 F. (1)如图①,求证:AE=CF; (2)如图②,当∠ADB=30°时,连接 AF,CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接 写出图②中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的1 8 . 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABE=∠CDF, ∵AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F ,∴∠AEB=∠CFD=90°,在△ABE 和△CDF 中, ∠ABE=∠CDF, ∠AEB=∠CFD, AB=CD, ∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF (2)解:△ABE 的面积=△CDF 的面积 =△BCE 的面积=△ADF 的面积=矩形 ABCD 面积的1 8 .理由如下:∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB =30°,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=60°,∵AE⊥BD,∴∠BAE=30°,∴BE=1 2 AB,AE=1 2 AD, ∴△ABE 的面积=1 2 BE×AE=1 2 ×1 2 AB×1 2 AD=1 8 AB×AD=1 8 矩形 ABCD 的面积,∵△ABE≌ △CDF,∴△CDF 的面积=1 8 矩形 ABCD 的面积;作 EG⊥BC 于 G,∵∠CBD=30°,∴EG=1 2 BE =1 2 ×1 2 AB=1 4 AB,∴△BCE 的面积=1 2 BC×EG=1 2 BC×1 4 AB=1 8 BC×AB=1 8 矩形 ABCD 的 面积,同理:△ADF 的面积=1 8 矩形 ABCD 的面积 23.(11 分)已知正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共顶点 B,连接 AF,H 为 AF 的中点,连接 EH,正方形 EBGF 绕点 B 旋转. (1)如图①,当 F 点落在 BC 上时,求证:EH=1 2 CF; (2)如图②,当点 E 落在 BC 上时,连接 BH,若 AB=5,BG=2,求 BH 的长. 32 解:(1)延长 FE 交 AB 于点 Q,∵四边形 EBGF 是正方形,∴EF=EB,∠EFB=∠EBF=45°, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∴∠BQF=∠QBE=45°,∴QE=EB,∴ QE=EF,又∵AH=FH,∴EH=1 2 AQ,∵∠BQF=∠BFQ=45°,∴BQ=BF,∵AB=BC,∴AQ =CF,∴EH=1 2 CF (2)延长 EH 交 AB 于点 N,∵四边形 EBGF 是正方形,∴EF∥BG,EF=EB =BG=2,∵EF∥AG,∴∠FEH=∠ANH,∠EFH=∠NAH.又∵AH=FH,∴△ANH≌△FEH(AAS), ∴NH=EH,AN=EF.∵AB=5,AN=EF=2,∴BN=AB-AN=3,∵∠NBE=90°,BE=2,BN =3,∴EN= 22+32 = 13 .∵∠NBE=90°,EH=NH,∴BH=1 2 EN= 13 2 期末检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列根式有意义的范围为 x≥5 的是 D A. x+5 B. 1 x-5 C. 1 x+5 D. x-5 2.(2019·咸宁)下列计算正确的是 C A. 5 - 3 = 2 B. (-2)2 =-2 C.a5÷a2=a3 D.(ab2)3=ab6 3.由线段 a,b,c 组成的三角形不是直角三角形的是 D A.a=7,b=24,c=25 B.a= 41 ,b=4,c=5 C.a=5 4 ,b=1,c=3 4 D.a=1 3 ,b=1 4 ,c=1 5 4.(2019·毕节)已知一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象经过第一、三、四 象限,则下列结论正确的是 B A.kb>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k+b<0 5.(2019·齐齐哈尔)小明和小强同学分别统计了自己最近 10 次“一分钟跳绳”的成 绩,下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 C A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 6.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论正确的是 A 33 A.S▱ ABCD=4S△AOB B.AC=BD C.AC⊥BD D.▱ ABCD 是轴对称图形 第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 7.(2019·邵阳)学校举行图书节义卖活动,将所售款项捐给其他贫困学生.在这次义 卖活动中,某班级售书情况如表: 售价 3 元 4 元 5 元 6 元 数目 14 本 11 本 10 本 15 本 下列说法正确的是 A A.该班级所售图书的总收入是 226 元 B.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,中位数是 4 C.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,众数是 15 D.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,方差是 2 8.(2019·苏州)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AC=4,BD=16,将△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A′B′O′.当点 A′与点 C 重合时,点 A 与点 B′之间的 距离为 C A.6 B.8 C.10 D.12 9.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,点 M,N 分别在边 AD,BC 上,连接 BM,DN,若四 边形 MBND 是菱形,则AM MD 等于 C A.3 8 B.2 3 C.3 5 D.4 5 10.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米,先到终点的人 原地休息,已知甲先出发 2 秒,在跑步过程中,甲、乙两人的距离 y(米)与乙出发的时间 t(秒) 之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是 A A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2019·青岛)计算: 24+ 8 2 -( 3 )0=2 3 +1. 12.(天津中考)若一次函数 y=-2x+b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限,则 b 的值可以是-1(答案不唯一,b<0 即可).(写出一个即可) 13.(2019·永州)下表是甲、乙两名同学近五次数学测试(满分均为 100 分)的成绩统计 表: 34 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 根据上表数据,成绩较好且比较稳定的同学是乙. 14.(2019·北京)把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角 三角形分别拼成如图②,图③所示的正方形,则图①中菱形的面积为 12. 第 14 题图 第 15 题图 15.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=6 cm,BC=8 cm,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE 并 将△AEB 沿 AE 折叠,得到△AEB′,以 C,E,B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长 为 3 或 6cm. 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)计算: (1) 27 - 12 + 45 ; (2) 27 × 1 3 -( 5 + 3 )( 5 - 3 ). 解:(1)原式= 3 +3 5 (2)原式=1 17.(9 分)(2019·黄冈)如图,ABCD 是正方形,E 是 CD 边上任意一点,连接 AE,作 BF⊥AE, DG⊥AE,垂足分别为 F,G.求证:BF-DG=FG. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°,∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB =∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°,∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠ADG=∠BAF,在△BAF 和△ADG 中,∵ ∠BAF=∠ADG, ∠AFB=∠DGA, AB=DA, ∴△BAF≌△ADG(AAS),∴BF=AG,AF=DG,∵AG=AF+FG,∴BF =AG=DG+FG,∴BF-DG=FG 18.(9 分)(2019·广安)为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元,2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元. (1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元? (2)学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只,要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节 能灯的数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 解:(1)设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元,1 只 B 型节能灯的售价是 y 元, 3x+5y=50, 2x+3y=31, 解得 x=5, y=7, 答:1 只 A 型节能灯的售价是 5 元,1 只 B 型节能灯的售价是 7 元 (2)设购买 35 A 型节能灯 a 只,则购买 B 型节能灯(200-a)只,费用为 w 元,w=5a+7(200-a)=-2a+ 1400,∵a≤3(200-a),∴a≤150,∴当 a=150 时,w 取得最小值,此时 w=1100,200-a =50,答:当购买 A 型节能灯 150 只,B 型节能灯 50 只时最省钱 19.(9 分)如图,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池,该 U 型池可以看作是一个长方 体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 4 m 的半圆,其边缘 AB= CD=20 m,点 E 在 CD 上,CE=4 m,一滑行爱好者从 A 点到 E 点,则他滑行的最短距离是多 少?(边缘部分的厚度可以忽略不计,π取 3) 解:展开图如图 ,作 EF⊥AB,由于平铺,∴四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠C=∠B=90°,∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠EFB=90°,∴四边形 CBFE 是矩形,∴EF=BC= 4×2×3×1 2 =12(m),FB=CE=4 m,∴AF=20-4=16(m),∴AE= 122+162 =20(m),即 他滑行的最短距离为 20 m 20.(9 分)如图,在四边形 ABFC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D, 交 AB 于点 E,且 CF=AE. (1)求证:四边形 BECF 是菱形; (2)若四边形 BECF 为正方形,求∠A 的度数. 解:(1)∵EF 垂直平分 BC,∴BF=CF,BE=CE,∴∠ABC=∠BCE,∵∠ACB=90°,∴ ∠ECA=∠A,∴CE=AE,∵CF=AE,∴CE=CF,∴BF=CF=CE=BE,∴四边形 BECF 是菱形 (2)∵四边形 BECF 是正方形,∴∠ABC=1 2 ∠EBF,∠EBF=90°,∴∠ABC=45°,∴∠A= 90°-∠ABC=45° 21.(10 分)(2019·怀化)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛, 在选拔赛中,两人各射箭 10 次的成绩(单位:环数)如下: 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10 李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8 (1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整: 王方 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 36 频数 1 2 1 3 3 频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 6 3 1 频率 0 0 0.6 0.3 0.1 (2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数; (3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适. 解:(1) 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 1 3 3 频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10 频数 0 0 6 3 1 频率 0 0 0.6 0.3 0.1 (2)王方的平均数= 1 10 (6+14+8+27+30)=8.5;李明的平均数= 1 10 (48+27+10) =8.5 (3)∵s 王方 2= 1 10 [(6-8.5)2+2(7-8.5)2+(8-8.5)2+3(9-8.5)2+3(10-8.5)2]= 1.85;s 李明 2= 1 10 [6(8-8.5)2+3(9-8.5)2+(10-8.5)2=0.45;∵s 王方 2>s 李明 2,∴应选派 李明参加比赛合适 22.(10 分)(2019·淮安)快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发 并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息 1.5 小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间 为 x 小时,快车行驶的路程为 y1 千米,慢车行驶的路程为 y2 千米.如图中折线 OAEC 表示 y1 与 x 之间的函数关系,线段 OD 表示 y2 与 x 之间的函数关系. 请解答下列问题: (1)求快车和慢车的速度; (2)求图中线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式; (3)线段 OD 与线段 EC 相交于点 F,直接写出点 F 的坐标,并解释点 F 的实际意义. 解:(1)快车的速度为:180÷2=90(千米/小时),慢车的速度为:180÷3=60(千米/ 小时),答:快车的速度为 90 千米/小时,慢车的速度为 60 千米/小时 (2)由题意可得,点 E 的横坐标为:2+1.5=3.5,则点 E 的坐标为(3.5,180),快车从点 E 到点 C 用的时间为: 37 (360-180)÷90=2(小时),则点 C 的坐标为(5.5,360),设线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间 的函数表达式是 y1=kx+b, 3.5k+b=180, 5.5k+b=360, 解得 k=90, b=-135, 即线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式是 y1=90x-135 (3)设点 F 的横坐标为 a,则 60a=90a-135,解得 a= 4.5,则 60a=270,即点 F 的坐标为(4.5,270),点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时,甲 车与乙车行驶的路程相等 23.(11 分)某数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形 ABCD 中, AB=6,将三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角顶点与 D 点重合,三角板的一边交 AB 于点 P,另一边交 BC 的延长线于点 Q. (1)求证:DP=DQ; (2)如图②,小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E,连接 PE,他发现 PE 和 QE 存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明; (3)如图③,固定三角板直角顶点在 D 点不动,转动三角板,使三角板的一边交 AB 的延 长线于点 P,另一边交 BC 的延长线于点 Q,仍作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 延长线于点 E,连 接 PE,若 AB∶AP=3∶4,请帮小明算出△DEP 的面积. 解:(1)由 ASA 证△ADP≌△CDQ 即可 (2)猜测:PE=QE.证明:由(1)可知,DP=DQ, 又∵∠PDE=∠QDE=45°,DE=DE,∴△DEP≌△DEQ(SAS),∴PE=QE (3)∵AB∶AP=3∶4, AB=6,∴AP=8,BP=2,同(1)可证△ADP≌△CDQ,∴CQ=AP=8,同(2)可证△DEP≌△DEQ, ∴PE=QE,设 QE=PE=x,则 BE=BC+CQ-QE=14-x,在 Rt△BPE 中,由勾股定理得 BP2 +BE2=PE2,即 22+(14-x)2=x2,解得 x=50 7 ,即 QE=50 7 ,∴S△DEQ=1 2 QE·CD=1 2 ×50 7 ×6 =150 7 ,∵△DEP≌△DEQ,∴S△DEP=S△DEQ=150 7