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- 2021-04-26 发布
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1
第十六章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·云南)要使 x+1
2
有意义,则 x 的取值范围为 B
A.x≤0 B.x≥-1 C.x≥0 D.x≤-1
2.(2019·河池)下列式子中,为最简二次根式的是 B
A. 1
2
B. 2 C. 4 D. 12
3.(2019·益阳)下列运算正确的是 D
A. (-2)2 =-2 B.(2 3 )2=6 C. 2 + 3 = 5 D. 2 × 3 = 6
4.等式 (4-x)2(6-x) =(x-4) 6-x 成立的条件是 B
A.x≥4 B.4≤x≤6 C.x≥6 D.x≤4 或 x≥6
5.设 n 为正整数,且 n< 65 <n+1,则 n 的值为 D
A.5 B.6 C.7 D.8
6.已知 k,m,n 为三个整数,若 135 =k 15 , 450 =15 m , 180 =6 n ,则
下列有关于 k,m,n 大小关系,何者正确?D
A.k<m=n B.m=n<k C.m<n<k D.m<k<n
7.计算 27 -1
3
18 - 12 的结果是 C
A.1 B.-1 C. 3 - 2 D. 2 - 3
8.若 x= 3- 2
2
,y= 3+ 2
2
,则 x2+y2 的值是 A
A.5
2
B. 3
2
C. 3 D.1
4
9.若 a+b<0,ab>0,则化简 a2b2 的结果是 A
A.ab B.-a b C.-ab D.a b
10.(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:2+ 3
2- 3
=
(2+ 3)(2+ 3)
(2- 3)(2+ 3)
=7+4 3 ,除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简
一些有特点的无理数,如:对于 3+ 5 - 3- 5 ,设 x= 3+ 5 - 3- 5 ,易知
3+ 5 > 3- 5 ,故 x>0,由 x2 =( 3+ 5 - 3- 5 )2 =3+ 5 +3- 5 -
2 (3+ 5)(3- 5) =2,解得 x= 2 ,即 3+ 5 - 3- 5 = 2 .根据以上方法,
化简 3- 2
3+ 2
+ 6-3 3 - 6+3 3 后的结果为 D
A.5+3 6 B.5+ 6 C.5- 6 D.5-3 6
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.已知 a<2,则 (a-2)2 =2-a.
2
12.(2019·滨州)计算:(-1
2
)-2-| 3 -2|+ 3
2
÷ 1
18
=2+4 3 .
13.(2019·天津)计算( 3 +1)( 3 -1)的结果等于 2.
14.若已知一个梯形的上底长为( 7 - 2 ) cm,下底长为( 7 + 2 ) cm,高为 2 7
cm,则这个梯形的面积为 14cm2.
15.如图,数轴上表示 1, 3 的对应点分别为点 A,B,点 B 关于点 A 的对称点为点 C,
设点 C 所表示的数为 x,则 x+3
x
的值为 8+2 3 .
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)计算:
(1) 2
2
(2 12 +4 1
8
-3 48 );
解:原式=4 6 +2-12 6 =2-8 6
(2)(2019·南充)计算:(1-π)0+| 2 - 3 |- 12 +( 1
2
)-1.
解:原式=1+ 3 - 2 -2 3 + 2 =1- 3
17.(9 分)如果最简二次根式 2m+n 与
m-n-1
m+7 是可以合并的,求正整数 m,n
的值.
解:m=5,n=2
18.(9 分)若 a,b,c 是△ABC 的三边,化简: (a-b-c)2 -|b-c-a|+
(c-a-b)2 .
解:化简得原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|=-a+b+c+b-c-a-c+a+b
=-a+3b-c
19.(9分)已知实数a,b 满足(4a-b+11)2+ 1
3
b-4a-3 =0,求a· a ·( b ÷ 1
a
)
的值.
3
解:由题意得
4a-b+11=0,
1
3
b-4a-3=0, 解得
a=1
4
,
b=12.
则 a· a ·( b ÷ 1
a
)=a·a· b =
1
4
×1
4
×2 3 = 3
8
20.(9 分)先化简,再求值:
(1)(2019·襄阳)先化简,再求值:( x
x-1
-1)÷x2+2x+1
x2-1
,其中 x= 2 -1.
解:原式=( x
x-1
-x-1
x-1
)÷x2+2x+1
x2-1
= 1
x-1
×(x+1)(x-1)
(x+1)2 = 1
x+1
,当 x=
2 -1 时,原式= 1
2-1+1
= 2
2
(2)(2019·桂林)先化简,再求值:(1
y
-1
x
)÷x2-2xy+y2
2xy
- 1
y-x
,其中 x=2+ 2 ,
y=2.
解:原式=x-y
xy
· 2xy
(x-y)2 + 1
x-y
= 2
x-y
+ 1
x-y
= 3
x-y
,当 x=2+ 2 ,y=2
时,原式= 3
2+ 2-2
=3 2
2
21.(10 分)在△ABC 中,BC 边上的高 h=6 3 cm,它的面积恰好等于边长为 3 2 cm
的正方形的面积,求 BC 的长.
解:∵1
2
BC·h=(3 2 )2=18,∴BC=36
h
= 36
6 3
=2 3 (cm),答:BC 的长为 2 3 cm
22.(10 分)已知 9+ 11 与 9- 11 的小数部分分别为 a,b,求 ab-3a+4b-7 的值.
解:∵3< 11 <4,∴9+ 11 的小数部分为 11 -3,即 a= 11 -3,9- 11 的小
数部分为 4- 11 ,即 b=4- 11 ,∴ab-3a+4b-7=( 11 -3)(4- 11 )-3( 11 -
4
3)+4(4- 11 )-7=-5
23.(11 分)在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如 3
5
, 2
3
, 2
3+1
一样的式
子,其实我们还可以将其进一步化简:
3
5
= 3× 5
5× 5
=3
5
5 ;(一)
2
3
= 2×3
3×3
= 6
3
;(二)
2
3+1
= 2×( 3-1)
( 3+1)( 3-1)
=2( 3-1)
( 3)2-12
= 3 -1;(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
3+1
还可以用以下方法化简:
2
3+1
= 3-1
3+1
=( 3)2-12
3+1
=( 3+1)( 3-1)
3+1
= 3 -1.(四)
请用不同的方法化简 2
5+ 3
.
(1)①参照(三)式得 2
5+ 3
= 2( 5- 3)
( 5+ 3)( 5- 3)
= 2( 5- 3)
( 5)2-( 3)2
= 5 -
3 ;
②参照(四)式得 2
5+ 3
= 5-3
5+ 3
=( 5)2-( 3)2
5+ 3
=( 5+ 3)( 5- 3)
5+ 3
= 5 - 3 ;
(2)化简: 1
3+1
+ 1
5+ 3
+ 1
7+ 5
+…+ 1
2n+1+ 2n-1
.
解 : 原 式 = 3-1
2
+ 5- 3
2
+ … + 2n+1- 2n-1
2
=
3-1+ 5- 3+…+ 2n+1- 2n-1
2
=-1+ 2n+1
2
第十七章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.已知 Rt△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且∠C=90°,c=37,a=12,则 b 的值为
5
B
A.50 B.35 C.34 D.26
2.由下列线段 a,b,c 不能组成直角三角形的是 D
A.a=1,b=2,c= 3 B.a=1,b=2,c= 5
C.a=3,b=4,c=5 D.a=2,b=2 3 ,c=3
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是 A
A.36
5
B.12
25
C.9
4
D.3 3
4
4.已知三角形三边长为 a,b,c,如果 a-6 +|b-8|+(c-10)2=0,则△ABC 是 C
A.以 a 为斜边的直角三角形 B.以 b 为斜边的直角三角形
C.以 c 为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形
5.(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的
证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵
爽弦图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的
是 B
6.设 a,b 是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为 6,斜边长为 2.5,则 ab
的值是 D
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=30°,DE 垂直平分斜边 AC 交 AB 于点 D,E 是垂足,连
接 CD,若 BD=1,则 AC 的长是 A
A.2 3 B.2 C.4 3 D.4
第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
8.一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长,但他把这三个数据
与其他数据弄混了,请你帮他找出来,应该是 C
A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,4
9.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末
端拉到距离旗杆 8 m 处,发现此时绳子末端距离地面 2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部
分忽略不计)D
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上,顶点 B 的坐标
为(3, 3 ),点 C 的坐标为(1
2
,0),点 P 为斜边 OB 上的一个动点,则 PA+PC 的最小值为
B
A. 13
2
B. 31
2
C.3+ 19
2
D.2 7
6
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.把命题“对顶角相等”的逆命题改写成“如果…那么…”的形式:如果两个角相等,
那么它们是对顶角.
12.(2019·常州)平面直角坐标系中,点 P(-3,4)到原点的距离是 5.
13.如图,阴影部分是两个正方形,其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形,则
阴影部分的面积之和为 64.
14.(2019·东营)已知等腰三角形的底角是 30°,腰长为 2 3 ,则它的周长是 6+4 3 .
15.(2019·鄂州)如图,已知线段 AB=4,O 是 AB 的中点,直线 l 经过点 O,∠1=60°,
P 点是直线 l 上一点,当△APB 为直角三角形时,则 BP=2 或 2 3 或 2 7 .
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5.
(1)求△ABC 的周长;
(2)判断△ABC 是否是直角三角形.
解:(1)可求得 AB=20,AC=13,所以△ABC 的周长为 20+13+21=54
(2)∵AB2+AC2=202+132=569,BC2=212=441,∴AB2+AC2≠BC2,
∴△ABC 不是直角三角形
17.(9 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫
做格点,以格点为顶点按下列要求画图:
(1)在图①中画一条线段 MN,使 MN= 17 ;
(2)在图②中画一个三边长均为无理数,且各边都不相等的直角△DEF.
7
解:如图:
18.(9 分)如图,已知 CD=6,AB=4,∠ABC=∠D=90°,BD=DC,求 AC 的长.
解:在 Rt△BDC,Rt△ABC 中,BC2=BD2+DC2,AC2=AB2+BC2,则 AC2=AB2+BD2+DC2,
又因为 BD=DC,则 AC2=AB2+2CD2=42+2×62=88,∴AC=2 22 ,即 AC 的长为 2 22
19.(9 分)如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是 BC 中点,且 DE⊥BC 于点 D,交 AB 于点
E.
求证:BE2-EA2=AC2.
解:连接 CE,∵ED 垂直平分 BC,∴EB=EC,又∵∠A=90°,∴EA2+AC2=EC2,∴BE2
-EA2=AC2
20.(9 分)(2019·河北)已知:整式 A=(n2-1)2+(2n)2,整式 B>0.
尝试 化简整式 A.
发现 A=B2,求整式 B.
联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当 n>1 时,n2-1,2n,B 为直角三角形的三边
长,如图.填写下表中 B 的值:
8
直角三角形三边 n2-1 2n B
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ 35 /
解:A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,∵A=B2,B>0,∴B
=n2+1,当 2n=8 时,n=4,∴n2+1=42+1=17;当 n2-1=35 时,n2+1=37.故答案为:
17;37
21.(10 分)如图,已知某学校 A 与直线公路 BD 的距离 AB 为 3000 米,且与该公路上的
一个车站 D 相距 5000 米,现要在公路边建一个超市 C,使之与学校 A 及车站 D 的距离相等,
那么该超市与车站 D 的距离是多少米?
解:设超市 C 与车站 D 的距离是 x 米,则 AC=CD=x 米,BC=(BD-x)米,在 Rt△ABD
中,BD= AD2-AB2 =4000 米,所以 BC=(4000-x)米,在 Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2,即
x2=30002+(4000-x)2,解得 x=3125,因此该超市与车站 D 的距离是 3125 米
22.(10 分)一块长方体木块的各棱长如图所示,一只蜘蛛在木块的一个顶点 A 处,一
只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上
爬.
(1)如果 D 是棱的中点,蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行,它从 A 点爬到 B 点所走的路程为
多少?
(2)你认为“AD→DB”是最短路线吗?如果你认为不是,请计算出最短的路程.
9
解:(1)从点 A 爬到点 B 所走的路程为 AD+BD= 42+32 + 22+32 =(5+ 13 )cm (2)
不是,分三种情况讨论:①将下面和右面展到一个平面内,AB= (4+6)2+22 = 104 =
2 26 (cm);②将前面与右面展到一个平面内,AB= (4+2)2+62 = 72 =6 2 (cm);
③将前面与上面展到一个平面内,AB= (6+2)2+42 = 80 =4 5 (cm),∵6 2 <4 5
<2 26 ,∴蜘蛛从 A 点爬到 B 点所走的最短路程为 6 2 cm
23.(11 分)如图,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A,C 分别在 x 轴的负半轴和 y
轴的正半轴上,M 是 BC 的中点,P(0,m)是线段 OC 上一动点(C 点除外),直线 PM 交 AB 的延
长线于点 D.
(1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示);
(2)当△APD 是以 AP 为腰的等腰三角形时,求 m 的值;
解:(1)先证△DBM≌△PCM,从中可得 BD=PC=2-m,则 AD=2-m+2=4-m,∴点 D
的坐标为(-2,4-m) (2)分两种情况:①当 AP=AD 时,AP2=AD2,∴22+m2=(4-m)2,解
得 m=3
2
;②当 AP=PD 时,过点 P 作 PH⊥AD 于点 H,∴AH=1
2
AD,∵AH=OP,∴OP=1
2
AD,
∴m=1
2
(4-m),∴m=4
3
,综上可得,m 的值为3
2
或4
3
第十八章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
10
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 C
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.(株洲中考)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O,E
是 BC 的中点,以下说法错误的是 D
A.OE=1
2
DC B.OA=OC C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
第 2 题图 第 3 题图 第 6 题图
3.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=8 cm,∠AOD=120°,则 AB 的长为 D
A. 3 cm B.2 cm C.2 3 cm D.4 cm
4.(2019·泸州)四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,下列四组条件中,一定能
判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 B
A.AD∥BC B.OA=OC,OB=OD C.AD∥BC,AB=DC D.AC⊥BD
5.若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是 C
A.矩形 B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
6.(2019·赤峰)如图,菱形 ABCD 周长为 20,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 CD 的中
点,则 OE 的长是 A
A.2.5 B.3 C.4 D.5
7.(2019·泸州)一个菱形的边长为 6,面积为 28,则该菱形的两条对角线的长度之和
为 C
A.8 B.12 C.16 D.32
8.如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折,点 B 恰好落在 AD 边的 B′处,若 AE=2,DE=6,∠
EFB′=60°,则矩形 ABCD 的面积是 D
A.12 B.24 C.12 3 D.16 3
第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
9.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在对角线 BD 上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,
垂足为 F,则 EF 的长为 C
A.1 B. 2 C.4-2 2 D.3 2 -4
10.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,∠EBC 的平分线交 CD 于点 F,将△DEF
沿 EF 折叠,点 D 恰好落在 BE 上点 M 处,延长 BC,EF 交于点 N,有下列四个结论:①DF=
CF;②BF⊥EN;③△BEN 是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF,其中正确的结论是 B
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11
11.(2019·长沙)如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选
一点 C,连接 AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测得 DE=50 m,则 AB 的长是 100m.
第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图
第 14 题图
12.(江西中考)如图,在▱ ABCD 中,∠C=40°,过点 D 作 CB 的垂线,交 AB 于点 E,
交 CB 的延长线于点 F,则∠BEF 的度数为 50°.
13.(2019·湘潭)如图,在四边形 ABCD 中,若 AB=CD,则添加一个条件 AD=BC,能得
到平行四边形 ABCD.(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可)
14.如图,菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 和 8,M,N 分别是边 BC,CD 的中点,P
是对角线 BD 上一点,则 PM+PN 的最小值是 5.
15.(2019·内江)如图,点 A,B,C 在同一直线上,且 AB=2
3
AC,点 D,E 分别是 AB,
BC 的中点,分别以 AB,DE,BC 为边,在 AC 同侧作三个正方形,得到三个平行四边形(阴影
部分)的面积分别记作 S1,S2,S3,若 S1= 5 ,则 S2+S3=3 5
4
.
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)如图,点 E,F 分别是锐角∠A 两边上的点,AE=AF,分别以点 E,F 为圆心,
以 AE 的长为半径画弧,两弧相交于点 D,连接 DE,DF.
(1)请你判断所画四边形的形状,并说明理由;
(2)连接 EF,若 AE=8 cm,∠A=60°,求线段 EF 的长.
解:(1)菱形,理由:根据题意得 AE=AF=ED=DF,∴四边形 AEDF 是菱形 (2)∵AE=
AF,∠A=60°,∴△EAF 是等边三角形,∴EF=AE=8 cm
17.(9 分)(2019·柳州)平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边
形是平行四边形.请你证明这个判定定理.
12
已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC.
求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
证明:
连接 AC,如图,在△ABC 和△CDA 中,
AB=CD
CB=AD
AC=CA
,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,
∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形 ABCD 是平行四边形
18.(9 分)(2019·新疆)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 CD 中
点,连接 OE.过点 C 作 CF∥BD 交 OE 的延长线于点 F,连接 DF.
求证:(1)△ODE≌△FCE;
(2)四边形 OCFD 是矩形.
证明:(1)∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E 是 CD 中点,∴CE=DE,在△ODE 和△FCE
中,
∠ODE=∠FCE,
DE=CE,
∠DEO=∠CEF,
∴△ODE≌△FCE(ASA)
(2)∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形 OCFD 是平行四边形,∵四边形
ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∴四边形 OCFD 是矩形
19.(9 分)(2019·大庆)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4.点 M,N 在对角线 AC 上,
且 AM=CN,E,F 分别是 AD,BC 的中点.
13
(1)求证:△ABM≌△CDN;
(2)点 G 是对角线 AC 上的点,∠EGF=90°,求 AG 的长.
(1)证明∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴∠MAB=∠NCD.在△ABM 和△CDN 中,
AB=CD,
∠MAB=∠NCD,
AM=CN,
∴△ABM≌△CDN(SAS)
(2)解:如图,连接 EF,交 AC 于点 O.在△AEO 和△CFO 中,
∠EOA=∠FOC,
∠EAO=∠FCO,
AE=CF,
∴△AEO
≌△CFO(AAS),∴EO=FO,AO=CO,∴O 为 EF,AC 中点.∵∠EGF=90°,OG=1
2
EF=3
2
,
∴AG=OA-OG=1 或 AG=OA+OG=4,∴AG 的长为 1 或 4
20.(9 分)如图,在▱ ABCD 中,E,F 两点在对角线 BD 上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)当四边形 AECF 为矩形时,请求出BD-AC
BE
的值.
解:(1)由 SAS 证△ABE≌△CDF 即可 (2)连接 CE,AF,AC.∵四边形 AECF 是矩形,∴
AC=EF,∴BD-AC
BE
=BD-EF
BE
=BE+DF
BE
=2BE
BE
=2
21.(10 分)如图,在矩形 ABCD 中,M,N 分别是边 AD,BC 的中点,E,F 分别是线段 BM,
CM 的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)填空:当 AB∶AD=1∶2 时,四边形 MENF 是正方形,并说明理由.
解:(1)由 SAS 可证 (2)理由:∵AB∶AD=1∶2,∴AB=1
2
AD,∵AM=1
2
AD,∴AB=AM,
14
∴∠ABM=∠AMB,∵∠A=90°,∴∠AMB=45°,∵△ABM≌△DCM,∴BM=CM,∠DMC=∠AMB
=45°,∴∠BMC=90°,∵E,F,N 分别是 BM,CM,BC 的中点,∴EN∥CM,FN∥BM,EM=
MF,∴四边形 MENF 是菱形,∵∠BMC=90°,∴菱形 MENF 是正方形
22.(10 分)如图,在正方形 ABCD 中,AC 是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终
经过点 B,直角顶点 P 在射线 AC 上移动,另一边交 DC 于点 Q.
(1)如图①,当点 Q 在 DC 边上时,猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系,并加以证明;
(2)如图②,当点 Q 落在 DC 的延长线上时,猜想并写出 PB 与 PQ 满足的数量关系,并证
明你的猜想.
解:(1)PB=PQ.证明:连接 PD,∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ACB=∠ACD,∠BCD=
90°,BC=CD,又∵PC=PC,∴△DCP≌△BCP(SAS),∴PD=PB,∠PBC=∠PDC,∵∠PBC
+∠PQC=180°,∠PQD+∠PQC=180°,∴∠PBC=∠PQD,∴∠PDC=∠PQD,∴PQ=PD,
∴PB=PQ (2)PB=PQ.证明:连接 PD,同(1)可证△DCP≌△BCP,∴PD=PB,∠PBC=∠PDC,
∵∠PBC=∠Q,∴∠PDC=∠Q,∴PD=PQ,∴PB=PQ
23.(11 分)(2019·重庆)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,连接 AE,EM
⊥AE,垂足为 E,交 CD 于点 M,AF⊥BC,垂足为 F,BH⊥AE,垂足为 H,交 AF 于点 N,点 P
是 AD 上一点,连接 CP.
(1)若 DP=2AP=4,CP= 17 ,CD=5,求△ACD 的面积.
(2)若 AE=BN,AN=CE,求证:AD= 2 CM+2CE.
解:(1)作 CG⊥AD 于 G,如图①所示:设 PG=x,则 DG=4-x,在 Rt△PGC 中,GC2=CP2
-PG2=17-x2,在 Rt△DGC 中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,∴17-x2=9+8x
-x2,解得:x=1,即 PG=1,∴GC=4,∵DP=2AP=4,∴AD=6,∴S△ACD=1
2
×AD×CG=
1
2
×6×4=12
15
(2)证明:连接 NE,如图②所示:∵BH⊥AE,AF⊥BC,AE⊥EM,∴∠AEB+∠NBF=∠AEB
+ ∠ EAF = ∠AEB + ∠MEC = 90 ° , ∴ ∠ NBF = ∠EAF = ∠MEC , 在 △NBF 和 △EAF 中 ,
∠NBF=∠EAF,
∠BFN=∠AFE,
BN=AE,
∴△NBF≌△EAF(AAS),∴BF=AF,NF=EF,∴∠ABC=45°,∠ENF=45°,
∵∠ANB=90°+∠EAF,∠CEA=90°+∠MEC,∴∠ANB=∠CEA,在△ANB 和△CEA 中,
AN=CE,
∠ANB=∠CEA,
BN=AE,
∴△ANB≌△CEA(SAS),∴∠CAE=∠ABN,∵∠NBF=∠EAF,∴∠ABF=
∠FAC=45°∴FC=AF=BF,∴∠ANE=∠BCD=135°,AD=BC=2AF,在△ANE 和△ECM 中,
∠EAF=∠MEC,
AN=EC,
∠ANE=∠ECM,
∴△ANE≌△ECM(ASA),∴CM=NE,又∵NF= 2
2
NE= 2
2
MC,∴AF= 2
2
MC
+EC,∴AD= 2 MC+2EC
第十九章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·广元)函数 y= x-1 的自变量 x 的取值范围是 D
A.x>1 B.x<1 C.x≤1 D.x≥1
2.若函数 y=kx 的图象经过点(1,-2),那么它一定经过点 B
A.(2,-1) B.(-1
2
,1) C.(-2,1) D.(-1,1
2
)
3.(2019·齐齐哈尔)“六一”儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童.战士们从
营地出发,匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营
地、文具店、福利院三地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步
返回营地(赠送礼物的时间忽略不计),下列图象能大致反映战士们离营地的距离 S 与时间 t
之间函数关系的是 B
16
4.(2019·娄底)如图,直线 y=x+b 和 y=kx+2 与 x 轴分别交于点 A(-2,0),点 B(3,
0),则
x+b>0,
kx+2>0
解集为 D
A.x<-2 B.x>3 C.x<-2 或 x>3 D.-2<x<3
第 4 题图 第 9 题图
第 10 题图
5.(2019·大庆)正比例函数 y=kx(k≠0)的函数值 y 随着 x 增大而减小,则一次函数 y
=x+k 的图象大致是 A
6.已知一次函数 y=(2m-1)x+1 的图象上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),当 x1<x2 时,
有 y1<y2,那么 m 的取值范围是 B
A.m<1
2
B.m>1
2
C.m<2 D.m>0
7.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与 y 轴交点的坐标
为 A
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,2) D.(-2,0)
8.把直线 y=-x-3 向上平移 m 个单位后,与直线 y=2x+4 的交点在第二象限,则 m
的取值范围是 A
A.1<m<7 B.3<m<4 C.m>1 D.m<4
9.在一次自行车越野赛中,出发 m h 后,小明骑行了 25 km,小刚骑行了 18 km,此后
两人分别以 a km/h,b km/h 匀速骑行,他们骑行的时间 t(h)与骑行的路程 s(km)之间的函
数关系如图,观察图象,下列说法:①出发 m h 内小明的速度比小刚快;②a=26;③小刚
追上小明时离起点 43 km;④此次越野赛的全程为 90 km.其中正确的说法有 C
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.(2019·鄂州)如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3…An 在 x 轴上,B1,B2,B3…
Bn 在直线 y= 3
3
x 上,若 A1(1,0),且△A1B1A2,△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形,从左
到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为 S1,S2,S3…Sn.则 Sn 可表示为 D
17
A.22n 3 B.22n-1 3 C.22n-2 3 D.22n-3 3
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·本溪)函数 y=5x 的图象经过的象限是一、三.
12.(2019·哈尔滨)在函数 y= 3x
2x-3
中,自变量 x 的取值范围是 x≠3
2
.
13.(2019·无锡)已知一次函数 y=kx+b 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 3kx-b
>0 的解集为 x<2.
第 13 题图 第 14 题图
第 15 题图
14.(2019·金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“今有良马日行二百四十里,
驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图是两匹马行走路程
s 关于行走时间 t 的函数图象,则两图象交点 P 的坐标是(32,4800).
15.(2019·重庆)一天,小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后,在家休假的爸
爸发现小明忘带数学书,于是爸爸立即匀速跑步去追小明,爸爸追上小明后以原速原路跑回
家.小明拿到书后以原速的5
4
倍快步赶往学校,并在从家出发后 23 分钟到校(小明被爸爸追
上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程 y(米)与小明从家出发到学校的步行时间
x(分钟)之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为 2080 米.
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)已知 2y-3 与 3x+1 成正比例,且 x=2 时,y=5.
(1)求 x 与 y 之间的函数关系,并指出它是什么函数;
(2)若点(a,2)在这个函数的图象上,求 a 的值.
解:(1)y=3
2
x+2,是一次函数 (2)a=0
17.(9 分)(2019·南京)已知一次函数 y1=kx+2(k 为常数,k≠0)和 y2=x-3.
(1)当 k=-2 时,若 y1>y2,求 x 的取值范围;
(2)当 x<1 时,y1>y2.结合图象,直接写出 k 的取值范围.
解:(1)k=-2 时,y1=-2x+2,根据题意得-2x+2>x-3,解得 x<5
3
(2)当 x=1
时,y=x-3=-2,把(1,-2)代入 y1=kx+2 得 k+2=-2,解得 k=-4,当-4≤k<0
时,y1>y2;当 0<k≤1 时,y1>y2
18.(9 分)已知一次函数 y=(a+8)x+(6-b).
18
(1)a,b 为何值时,y 随 x 的增大而增大?
(2)a,b 为何值时,图象过第一、二、四象限?
(3)a,b 为何值时,图象与 y 轴的交点在 x 轴上方?
(4)a,b 为何值时,图象过原点?
解:(1)a>-8,b 为全体实数 (2)a<-8,b<6 (3)a≠-8,b<6 (4)a≠-8,b
=6
19.(9 分)(2019·深圳)有 A,B 两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比 B 发电厂多
发 40 度电,A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电.
(1)求焚烧 1 吨垃圾,A 和 B 各发电多少度?
(2)A,B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾,A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃圾两倍,求 A
厂和 B 厂总发电量的最大值.
解:(1)设焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 a 度,B 发电厂发电 b 度,根据题意得:
a-b=40,
30b-20a=1800,
解得
a=300,
b=260,
答:焚烧 1 吨垃圾,A 发电厂发电 300 度,B 发电厂发
电 260 度
(2)设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾,则 B 发电厂焚烧(90-x)吨垃圾,总发电量为 y 度,则 y
=300x+260(90-x)=40x+23400,∵x≤2(90-x),∴x≤60,∵y 随 x 的增大而增大,∴
当 x=60 时,y 有最大值为:40×60+23400=25800(度).答:A 厂和 B 厂总发电量的最大值
是 25800 度
20.(9 分)(2019·绥化)甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了 6 小时.在加工
过程中乙机器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加
工.甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数 y(个)与甲加
工时间 x(h)之间的函数图象为折线 OA-AB-BC,如图所示.
(1)这批零件一共有 270 个,甲机器每小时加工 20 个零件,乙机器排除故障后每小时加
工 40 个零件;
(2)当 3≤x≤6 时,求 y 与 x 之间的函数解析式;
(3)在整个加工过程中,甲加工多长时间时,甲与乙加工的零件个数相等?
解:(1)这批零件一共有 270 个,甲机器每小时加工零件:(90-50)÷(3-1)=20(个),
乙机器排除故障后每小时加工零件:(270-90-20×3)÷3=40(个);故答案为:270;20;
40 (2)设当 3≤x≤6 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,把 B(3,90),C(6,270)
代入解析式,得
3k+b=90,
6k+b=270,
解得
k=60,
b=-90,
∴y=60x-90(3≤x≤6) (3)设甲加工 x
小时时,甲乙加工的零件个数相等,①20x=30,解得 x=1.5;②50-20=30,20x=30+
40(x-3),解得 x=4.5,答:甲加工 1.5 h 或 4.5 h 时,甲与乙加工的零件个数相等
19
21.(10 分)(2019·重庆)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们
就一类特殊的函数展开探索.画函数 y=-2|x|的图象,经历分析解析式、列表、描点、连
线过程得到函数图象如图所示;经历同样的过程画函数 y=-2|x|+2 和 y=-2|x+2|的图
象如图所示.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 …
(1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解析式中
绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变
化.写出点 A,B 的坐标和函数 y=-2|x+2|的对称轴;
(2)探索思考:平移函数 y=-2|x|的图象可以得到函数 y=-2|x|+2 和 y=-2|x+2|
的图象,分别写出平移的方向和距离;
(3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数 y=-2|x-3|+1 的图象.若点(x1,
y1)和(x2,y2)在该函数图象上,且 x2>x1>3,比较 y1,y2 的大小.
解:(1)A(0,2),B(-2,0),函数 y=-2|x+2|的对称轴为 x=-2 (2)将函数 y=
-2|x|的图象向上平移 2 个单位得到函数 y=-2|x|+2 的图象;将函数 y=-2|x|的图象
向左平移 2 个单位得到函数 y=-2|x+2|的图象 (3)将函数 y=-2|x|的图象向上平移 1
个单位,再向右平移 3 个单位得到函数 y=-2|x-3|+1 的图象.所画图象如图所示,当
x2>x1>3 时,y1>y2
22.(10 分)(2019·内江)某商店准备购进 A,B 两种商品,A 种商品每件的进价比 B 种
商品每件的进价多 20 元,用 3000 元购进 A 种商品和用 1800 元购进 B 种商品的数量相同.商
店将 A 种商品每件的售价定为 80 元,B 种商品每件的售价定为 45 元.
(1)A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元?
(2)商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A,B 两种商品共 40 件,其中 A 种商品的数量
不低于 B 种商品数量的一半,该商店有几种进货方案?
20
(3)端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件 A 种商品售价优惠 m(10<m<20)
元,B 种商品售价不变,在(2)条件下,请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方
案.
解:(1)设 A 种商品每件的进价是 x 元,则 B 种商品每件的进价是(x-20)元,由题意得:
3000
x
= 1800
x-20
,解得:x=50,经检验,x=50 是原方程的解,且符合题意,50-20=30,
答:A 种商品每件的进价是 50 元,B 种商品每件的进价是 30 元 (2)设购买 A 种商品 a 件,
则购买 B 商品(40-a)件,由题意得
50a+30(40-a)≤1560,40-a
2
,
解得40
3
≤a≤18,
∵a 为正整数,∴a=14,15,16,17,18,∴商店共有 5 种进货方案 (3)设销售 A,B 两
种商品共获利 y 元,由题意得:y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600,①
当 10<m<15 时,15-m>0,y 随 a 的增大而增大,∴当 a=18 时,获利最大,即买 18 件 A
商品,22 件 B 商品;②当 m=15 时,15-m=0,y 与 a 的值无关,即(2)问中所有进货方案
获利相同;③当 15<m<20 时,15-m<0,y 随 a 的增大而减小,∴当 a=14 时,获利最大,
即买 14 件 A 商品,26 件 B 商品
23.(11 分)(2019·襄阳)襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植
有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价
如下表所示:
有机蔬菜种类 进价(元/kg) 售价(元/kg)
甲 m 16
乙 n 18
(1)该超市购进甲种蔬菜 10 kg 和乙种蔬菜 5 kg 需要 170 元;购进甲种蔬菜 6 kg 和乙
种蔬菜 10 kg 需要 200 元.求 m,n 的值;
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 kg 进行销售,其中甲种蔬菜的数量不少
于 20 kg,且不大于 70 kg.实际销售时,由于多种因素的影响,甲种蔬菜超过 60 kg 的部分,
当天需要打 5 折才能售完,乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润
额 y(元)与购进甲种蔬菜的数量 x(kg)之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润额 y(元)取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每
千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的盈利率不低于
20%,求 a 的最大值.
解:(1)由题意可得,
10m+5n=170,
6m+10n=200,
解得
m=10,
n=14,
答:m 的值是 10,n 的值是 14
(2)当 20≤x≤60 时,y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400,当 60<x≤70 时,y=(16
-10)×60+(16-10)×0.5×(x-60)+(18-14)(100-x)=-x+580,由上可得,y=
2x+400(20≤x≤60)
-x+580(60<x≤70)
(3)当 20≤x≤60 时,y=2x+400,则当 x=60 时,y 取得最大
值,此时 y=520,当 60<x≤70 时,y=-x+580,则 y<-60+580=520,由上可得,当
x=60 时,y 取得最大值,此时 y=520,∵在(2)的条件下,超市在获得的利润额 y(元)取得
最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,
且要保证捐款后的盈利率不低于 20%,∴520-2a×60-40a
60×10+40×14
≥20%,解得 a≤1.8,即 a 的最
大值是 1.8
21
第二十章检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.(2019·宜昌)李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林,今年收货一批
成熟的果子.他选取了 5 棵果树,采摘后分别称重.每棵果树果子总质量(单位:kg)分别为:
90,100,120,110,80.这五个数据的中位数是 C
A.120 B.110 C.100 D.90
2.(2019·临沂)小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温(单位:℃),列成如
表:
天数(天) 1 2 1 3
最高气温(℃) 22 26 28 29
则这周最高气温的平均值是 B
A.26.25 ℃ B.27 ℃ C.28 ℃ D.29 ℃
3.(2019·湘西州)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛,经过三轮初赛,他
们的平均成绩都是 9 环,方差分别是 s 甲
2=0.25,s 乙
2=0.3,s 丙
2=0.4,s 丁
2=0.35,你认
为派谁去参赛更合适 A
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.(2019·宁夏)为了解学生课外阅读时间情况,随机收集了 30 名学生一天课外阅读时
间,整理如下表:
阅读时间/小时 0.5 及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 及以上
人数 2 9 6 5 4 4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是 B
A.0.7 和 0.7 B.0.9 和 0.7 C.1 和 0.7 D.0.9 和 1.1
5.(2019·眉山)某班七个兴趣小组人数如下:5,6,6,x,7,8,9,已知这组数据的
平均数是 7,则这组数据的中位数是 C
A.6 B.6.5 C.7 D.8
6.(2019·大庆)某企业 1-6 月份利润的变化情况如图所示,以下说法与图中反映的信
息相符的是 D
A.1-6 月份利润的众数是 130 万元 B.1-6 月份利润的中位数是 130 万元
C.1-6 月份利润的平均数是 130 万元 D.1-6 月份利润的极差是 40 万元
22
第 6 题图
第 10 题图
7.在“爱我中华”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:
甲:8,7,9,8,8 ;乙:7,9,6,9,9,则下列说法中错误的是 C
A.甲、乙得分的平均数都是 8 B.甲得分的众数是 8,乙得分的众数是 9
C.甲得分的中位数是 9,乙得分的中位数是 6 D.甲得分的方差比乙得分的方差小
8.下列说法中:①样本中的方差越小,波动越小,说明样本稳定性越好;②一组数据
的众数只有一个;③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据;④数据 3,3,3,
3,2,5 中的众数为 4;⑤一组数据的方差一定是正数.其中正确的个数为 B
A.0 B.1 C.2 D.4
9.(2019·宜宾)如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为 x 甲、x 乙,甲、乙的方差分别为 s 甲
2,s 乙
2,
则下列结论正确的是 A
A.x 甲=x 乙,s 甲
2<s 乙
2 B.x 甲=x 乙,s 甲
2>s 乙
2 C.x 甲>x 乙,s 甲
2<s 乙
2 D.x
甲<x 乙,s 甲
2<s 乙
2
10.对某校八年级学生随机抽取若干名进行体能测试,成绩记为 1 分、2 分、3 分、4
分共 4 个等级,将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图,根据图中信息,这些学生的平
均分数是 C
A.2.25 B.2.5 C.2.95 D.3
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.某招聘考试分笔试和面试两种,其中笔试按 60%,面试按 40%计算加权平均数作为
总成绩,小王笔试成绩 90 分,面试成绩 85 分,那么小王的总成绩是 88 分.
12.(2019·玉林)样本数据-2,0,3,4,-1 的中位数是 0.
13.(2019·包头)甲、乙两班举行数学知识竞赛,参赛学生的竞赛得分统计结果如下表:
班级 参赛人数 平均数 中位数 方差
甲 45 83 86 82
23
乙 45 83 84 135
某同学分析上表后得到如下结论:①甲、乙两班学生的平均成绩相同;②乙班优秀的人
数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85 分为优秀);③甲班成绩的波动性比乙班小.上述结
论中正确的是①②③.(填写所有正确结论的序号)
14.(2019·菏泽)一组数据 4,5,6,x 的众数与中位数相等,则这组数据的方差是1
2
.
15.一组数据 3,4,6,8,x 的中位数是 x,且 x 是满足不等式组
x-3≥0,
5-x>0
的整数,
则这组数据的平均数是 5.
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量,某水果店对三种水果
7 天的销售量进行了统计,统计结果如图所示:
(1)若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为 6 元/千克、8 元/千克和 3 元/千克,则这 7 天销
售额最大的水果品种是 A.
A.西瓜 B.苹果 C.香蕉
(2)估计一个月(按 30 天计算)该水果店可销售苹果多少千克?
解:140
7
×30=600(千克)
17.(9 分)(呼和浩特中考)在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽得 12 名选手所用的
时间(单位:分钟)得到如下样本数据:140 146 143 175 125 164 134 155 152
168 162 148
(1)计算该样本数据的中位数和平均数;
(2)如果一名选手的成绩是 147 分钟,请你依据样本数据的中位数,推断他的成绩如何?
解:(1)中位数为 150 分钟,平均数为 151 分钟 (2)由(1)可得,中位数为 150,可以
估计在这次马拉松比赛中,大约有一半选手的成绩快于 150 分钟,有一半选手的成绩慢于
150 分钟,这名选手的成绩为 147 分钟,快于中位数 150 分钟,可以推断他的成绩估计比一
半以上选手的成绩好
18.(9 分)某校在招聘教师时以考评成绩确定人选,甲、乙两位高校毕业生的各项考评
成绩如下表:
考评项目 教学设计 课堂教学 答辩
成绩(分)
甲 90 85 90
乙 80 92 83
(1)如果学校将教学设计,课堂教学和答辩按 1∶3∶1 的比例来计算各人的考评成绩,
那么谁会被录用?
(2)如果按教学设计占 30%,课堂教学占 50%,答辩占 20%来计算各人的考评成绩,那么
24
又是谁会被录用?
解:(1)甲的成绩为 87,乙的成绩为 87.8,∵87<87.8,∴乙会被录取 (2)甲的成绩
为 87.5,乙的成绩为 86.6,∵87.5>86.6,∴甲会被录取
19.(9 分)(2019·云南)某公司销售部有营业员 15 人,该公司为了调动营业员的积极
性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励,为了确定一个适当
的月销售目标,公司有关部门统计了这 15 人某月的销售量,如下表所示:
月销售量/件数 1770 480 220 180 120 90
人数 1 1 3 3 3 4
(1)直接写出这 15 名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数;
(2)如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标,你认为(1)中的平均数、中位数、
众数中,哪个最适合作为月销售目标?请说明理由.
解 : (1) 这 15 名 营 业 员 该 月 销 售 量 数 据 的 平 均 数 =
1770+480+220×3+180×3+120×3+90×4
15
=278(件),中位数为 180 件,∵90 出现了 4
次,出现的次数最多,∴众数是 90 件 (2)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标,
平均数、中位数、众数中,中位数最适合作为月销售目标;理由如下:因为中位数为 180
件,即月销售量大于 180 与小于 180 的人数一样多,所以中位数最适合作为月销售目标,有
一半左右的营业员能达到销售目标
20.(9 分)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在 10 天中,两台机床每天出次品的数
量如下表:
甲 1 1 0 2 1 3 2 1 1 0
乙 0 2 2 0 3 1 0 1 3 1
(1)分别计算两组数据的平均数和方差;
(2)从计算的结果来看,在 10 天中,哪台机床出次品的平均数较小?哪台机床出次品的
波动较小?
解:(1)x 甲=1.2(个),x 乙=1.3(个);s 甲
2=0.76,s 乙
2=1.21 (2)由(1)知 x 甲<x 乙,
∴甲台机床出次品的平均数较小,由(1)知 s 甲
2<s 乙
2,∴甲台机床出次品的波动较小
21.(10 分)(2019·青岛)为了解学生每天的睡眠情况,某初中学校从全校 800 名学生
中随机抽取了 40 名学生,调查了他们平均每天的睡眠时间(单位:h),统计结果如下:
9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,
9,7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,
9.
25
在对这些数据整理后,绘制了如下的统计图表:
睡眠时间分组统计表
组别 睡眠时间分组 人数(频数)
1 7≤t<8 m
2 8≤t<9 11
3 9≤t<10 n
4 10≤t<11 4
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)m=7,n=18,a=17.5%,b=45%;
(2)抽取的这 40 名学生平均每天睡眠时间的中位数落在 3 组(填组别);
(3)如果按照学校要求,学生平均每天的睡眠时间应不少于 9 h,请估计该校学生中睡
眠时间符合要求的人数.
解:(1)7≤t<8 时,频数为 m=7;9≤t<10 时,频数为 n=18;∴a= 7
40
×100%=17.5%;
b=18
40
×100%=45%;故答案为:7,18,17.5%,45% (2)由统计表可知,抽取的这 40 名学
生平均每天睡眠时间的中位数为第 20 个和第 21 个数据的平均数,∴落在第 3 组;故答案为:
3 (3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为 800×18+4
40
=440(人);答:估计该校学生
中睡眠时间符合要求的人数为 440 人
22.(10 分)(2019·长春)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年
级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取 20 名学生,进行了每周网上学习的调查.数
据如下(单位:时):
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1
2.8 3.3 2.4
整理上面的数据,得到表格如下:
网上学习时间 x(时) 0<x≤1 1<x≤2 2<x≤3 3<x≤4
人数 2 5 8 5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4 m n
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上表中的中位数 m 的值为 2.5,众数 n 的值为 2.5;
(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按 18 周计算)网上学习的
时间;
26
(3)已知该校七年级学生有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数.
解:(1)从小到大排列为:0.6,1,1.5,1.5,1.8,2,2,2.2,2.4,2.5,2.5,2.5,
2.5,2.8,3,3.1,3.3,3.3,3.5,4,∴中位数 m 的值为2.5+2.5
2
=2.5,众数 n 为 2.5;
故答案为:2.5,2.5 (2)2.4×18=43.2(小时),答:估计该校七年级学生平均每人一学期
(按 18 周计算)网上学习的时间为 43.2 小时 (3)200×13
20
=130(人),答:该校七年级学生
有 200 名,估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人
23.(11 分)(2019·江西)某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况(七、八年级学
生人数相同),某周从这两个年级学生中分别随机抽查了 30 名同学,调查了他们周一至周五
的听力训练情况,根据调查情况得到如下统计图表:
周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 a 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
(1)填空:a=25;
(2)根据上述统计图表完成下表中的相关统计量:
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 27 14.4
(3)请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价;
(4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表,估计该校七、八年级共 480 名学生
中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练.
解:(1)由题意得:a=51-26=25;故答案为:25 (2)按照从小到大的顺序排列为:
18,25,27,30,30,∴八年级平均训练时间的中位数为:27;故答案为:27 (3)参加训
练的学生人数超过一半;从平均训练时间的中位数角度看,八年级英语听力训练的平均训练
时间比七年级多 (4)抽查的七、八年级共 60 名学生中,周一至周五训练人数的平均数为
1
5
(35+44+51+60+60)=50,∴该校七、八年级共 480 名学生中周一至周五平均每天进行
英语听力训练的人数为 480×50
60
=400(人)
27
期中检测题
(时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.下列二次根式中属于最简二次根式的是 A
A. 5 B. 8 C. 1
2
D. 0.3
2.(2019·天津)如图,四边形 ABCD 为菱形,A,B 两点的坐标分别是(2,0),(0,1),
点 C,D 在坐标轴上,则菱形 ABCD 的周长等于 C
A. 5 B.4 3 C.4 5 D.20
第 2 题图 第 5 题图 第 7 题图
3.在下列以线段 a,b,c 的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是 D
A.a=9,b=41,c=40 B.a=5,b=5,c=5 2
C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11,b=12,c=15
4.(2019·郴州)下列运算正确的是 D
A.(x2)3=x5 B. 2 + 8 = 10 C.x·x2·x4=x6 D. 2
2
= 2
5.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,若△DBE 的周长是 6,则△ABC
的周长是 C
28
A.8 B.10 C.12 D.14
6.(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为 3,较短的一条对角线的长为 2,则该菱形较长
的一条对角线的长为 C
A.2 2 B.2 5 C.4 2 D.2 10
7.(2019·淄博)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为 2 和 8,则图中阴
影部分的面积为 B
A. 2 B.2 C.2 2 D.6
8.(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》
中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形
纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 C
A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和
第 8 题图 第 9 题图
第 10 题图
9.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 的中点,且 CD= 5
2
,如果 Rt△ABC
的面积为 1,则它的周长为 D
A. 5+1
2
B. 5 +1 C. 5 +2 D. 5 +3
10.(2019·安徽)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 将对角线 AC 三等分,且 AC=12,
点 P 在正方形的边上,则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 D
A.0 B.4 C.6 D.8
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·衡阳) 27 - 3 =2 3 .
12.(2019·株洲)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CM 是斜边 AB 上的中线,E,
F 分别为 MB,BC 的中点,若 EF=1,则 AB=4.
第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图
29
13.如图,以△ABC 的三边为边向外作正方形,其面积分别为 S1,S2,S3,且 S1=9,S3
=25,当 S2=16 时,∠ACB=90°.
14.(2019·玉林)如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=4,一发光电子开始置于 AB 边的
点 P 处,并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞,将发光电子沿着 PR 方向发射,碰
撞到矩形的边时均反射,每次反射的反射角和入射角都等于 45°,若发光电子与矩形的边
碰撞次数经过 2019 次后,则它与 AB 边的碰撞次数是 673.
15.(2019·北京)在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与
端点重合),对于任意矩形 ABCD,下面四个结论中:①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边
形;②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形;③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形;④至少存在一个
四边形 MNPQ 是正方形.所有正确结论的序号是①②③.
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)计算:
(1) 12 -4 1
8
-( 3 - 8 ); (2)(4 3 -6 1
3
)÷ 3 -( 5 + 3 )( 5
- 3 ).
解:(1) 3 + 2 (2)0
17.(9 分)已知 a= 7 - 5 ,b= 7 + 5 ,求值:
(1)b
a
+a
b
; (2)3a2-ab+3b2.
解:a+b=2 7 ,ab=2,
(1)b
a
+a
b
=(a+b)2-2ab
ab
=12
(2)3a2-ab+3b2=3(a+b)2-7ab=70
18.(9 分)(2019·湘西州)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD,AD 上,且
AF=CE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)若 AB=4,AF=1,求四边形 BEDF 的面积.
解:(1)在△ABF 和△CBE 中,
AB=CB,
∠A=∠C=90°,
AF=CE,
∴△ABF≌△CBE(SAS)
(2)由已知可得正方形 ABCD 面积为 16,△ABF 面积=△CBE 面积=1
2
×4×1=2.所以四
边形 BEDF 的面积为 16-2×2=12
30
19.(9 分)如图,在 B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东 60°的方向以每小时 8
海里的速度前进,乙船沿南偏东某方向以每小时 15 海里的速度前进,2 小时后甲船到 M 岛,
乙船到 P 岛,两岛相距 34 海里,你能知道乙船沿哪个方向航行吗?
解:由题意得 BM=2×8=16(海里),BP=2×15=30(海里),∵BM2+BP2=162+302=
1156,MP2=342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴∠MBP=90°,∴乙船沿南偏东 30°的方向航行
20.(9 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点 E,F.
(1)求证:BE=BF;
(2)当菱形 ABCD 的对角线 AC=8,BD=6 时,求 BE 的长.
解:(1)由 AAS 证△ABE≌△CBF 可得 (2)∵四边形 ABCD 是菱形,∴OA=1
2
AC=4,OB
=1
2
BD=3,∠AOB=90°,∴AB= OA2+OB2 =5,∵S 菱形 ABCD=AD·BE=1
2
AC·BD,∴5BE=
1
2
×8×6,∴BE=24
5
21.(10 分)如图,在▱ ABCD 中,O 是 CD 的中点,连接 AO 并延长,交 BC 的延长线于点
E.
(1)求证:△AOD≌△EOC;
(2)连接 AC,DE,当∠B=∠AEB=________°时,四边形 ACED 是正方形,请说明理由.
解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADO=∠OCE,∠DAO=∠CEO,∵
31
O 是 CD 的中点,∴OD=OC,∴△AOD≌△EOC(AAS) (2)当∠B=∠AEB=45°时,四边形 ACED
是正方形,理由:∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE,又∵OC=OD,∴四边形 ACED 是平行四边形,
∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,
AB=CD,∴∠COE=∠BAE=90°,∴▱ ACED 是菱形,∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD,∴菱
形 ACED 是正方形
22.(10 分)(2019·哈尔滨)已知:在矩形 ABCD 中,BD 是对角线,AE⊥BD 于点 E,CF
⊥BD 于点 F.
(1)如图①,求证:AE=CF;
(2)如图②,当∠ADB=30°时,连接 AF,CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接
写出图②中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的1
8
.
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABE=∠CDF,
∵AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F ,∴∠AEB=∠CFD=90°,在△ABE 和△CDF 中,
∠ABE=∠CDF,
∠AEB=∠CFD,
AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF (2)解:△ABE 的面积=△CDF 的面积
=△BCE 的面积=△ADF 的面积=矩形 ABCD 面积的1
8
.理由如下:∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB
=30°,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=60°,∵AE⊥BD,∴∠BAE=30°,∴BE=1
2
AB,AE=1
2
AD,
∴△ABE 的面积=1
2
BE×AE=1
2
×1
2
AB×1
2
AD=1
8
AB×AD=1
8
矩形 ABCD 的面积,∵△ABE≌
△CDF,∴△CDF 的面积=1
8
矩形 ABCD 的面积;作 EG⊥BC 于 G,∵∠CBD=30°,∴EG=1
2
BE
=1
2
×1
2
AB=1
4
AB,∴△BCE 的面积=1
2
BC×EG=1
2
BC×1
4
AB=1
8
BC×AB=1
8
矩形 ABCD 的
面积,同理:△ADF 的面积=1
8
矩形 ABCD 的面积
23.(11 分)已知正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共顶点 B,连接 AF,H 为 AF 的中点,连接
EH,正方形 EBGF 绕点 B 旋转.
(1)如图①,当 F 点落在 BC 上时,求证:EH=1
2
CF;
(2)如图②,当点 E 落在 BC 上时,连接 BH,若 AB=5,BG=2,求 BH 的长.
32
解:(1)延长 FE 交 AB 于点 Q,∵四边形 EBGF 是正方形,∴EF=EB,∠EFB=∠EBF=45°,
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∴∠BQF=∠QBE=45°,∴QE=EB,∴
QE=EF,又∵AH=FH,∴EH=1
2
AQ,∵∠BQF=∠BFQ=45°,∴BQ=BF,∵AB=BC,∴AQ
=CF,∴EH=1
2
CF (2)延长 EH 交 AB 于点 N,∵四边形 EBGF 是正方形,∴EF∥BG,EF=EB
=BG=2,∵EF∥AG,∴∠FEH=∠ANH,∠EFH=∠NAH.又∵AH=FH,∴△ANH≌△FEH(AAS),
∴NH=EH,AN=EF.∵AB=5,AN=EF=2,∴BN=AB-AN=3,∵∠NBE=90°,BE=2,BN
=3,∴EN= 22+32 = 13 .∵∠NBE=90°,EH=NH,∴BH=1
2
EN= 13
2
期末检测题
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
1.下列根式有意义的范围为 x≥5 的是 D
A. x+5 B. 1
x-5
C. 1
x+5
D. x-5
2.(2019·咸宁)下列计算正确的是 C
A. 5 - 3 = 2 B. (-2)2 =-2 C.a5÷a2=a3 D.(ab2)3=ab6
3.由线段 a,b,c 组成的三角形不是直角三角形的是 D
A.a=7,b=24,c=25 B.a= 41 ,b=4,c=5
C.a=5
4
,b=1,c=3
4
D.a=1
3
,b=1
4
,c=1
5
4.(2019·毕节)已知一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象经过第一、三、四
象限,则下列结论正确的是 B
A.kb>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k+b<0
5.(2019·齐齐哈尔)小明和小强同学分别统计了自己最近 10 次“一分钟跳绳”的成
绩,下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 C
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数
6.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,下列结论正确的是 A
33
A.S▱ ABCD=4S△AOB B.AC=BD
C.AC⊥BD D.▱ ABCD 是轴对称图形
第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图
第 10 题图
7.(2019·邵阳)学校举行图书节义卖活动,将所售款项捐给其他贫困学生.在这次义
卖活动中,某班级售书情况如表:
售价 3 元 4 元 5 元 6 元
数目 14 本 11 本 10 本 15 本
下列说法正确的是 A
A.该班级所售图书的总收入是 226 元
B.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,中位数是 4
C.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,众数是 15
D.在该班级所售图书价格组成的一组数据中,方差是 2
8.(2019·苏州)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AC=4,BD=16,将△ABO
沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A′B′O′.当点 A′与点 C 重合时,点 A 与点 B′之间的
距离为 C
A.6 B.8 C.10 D.12
9.如图,在矩形 ABCD 中,AD=2AB,点 M,N 分别在边 AD,BC 上,连接 BM,DN,若四
边形 MBND 是菱形,则AM
MD
等于 C
A.3
8
B.2
3
C.3
5
D.4
5
10.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米,先到终点的人
原地休息,已知甲先出发 2 秒,在跑步过程中,甲、乙两人的距离 y(米)与乙出发的时间 t(秒)
之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是 A
A.①②③ B.仅有①② C.仅有①③ D.仅有②③
二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
11.(2019·青岛)计算: 24+ 8
2
-( 3 )0=2 3 +1.
12.(天津中考)若一次函数 y=-2x+b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限,则 b
的值可以是-1(答案不唯一,b<0 即可).(写出一个即可)
13.(2019·永州)下表是甲、乙两名同学近五次数学测试(满分均为 100 分)的成绩统计
表:
34
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 90 88 92 94 91
乙 90 91 93 94 92
根据上表数据,成绩较好且比较稳定的同学是乙.
14.(2019·北京)把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角
三角形分别拼成如图②,图③所示的正方形,则图①中菱形的面积为 12.
第 14 题图 第 15 题图
15.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=6 cm,BC=8 cm,点 E 是 BC 边上一点,连接 AE 并
将△AEB 沿 AE 折叠,得到△AEB′,以 C,E,B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长
为 3 或 6cm.
三、解答题(共 75 分)
16.(8 分)计算:
(1) 27 - 12 + 45 ; (2) 27 × 1
3
-( 5 + 3 )( 5 - 3 ).
解:(1)原式= 3 +3 5 (2)原式=1
17.(9 分)(2019·黄冈)如图,ABCD 是正方形,E 是 CD 边上任意一点,连接 AE,作 BF⊥AE,
DG⊥AE,垂足分别为 F,G.求证:BF-DG=FG.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°,∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB
=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°,∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠ADG=∠BAF,在△BAF 和△ADG
中,∵
∠BAF=∠ADG,
∠AFB=∠DGA,
AB=DA,
∴△BAF≌△ADG(AAS),∴BF=AG,AF=DG,∵AG=AF+FG,∴BF
=AG=DG+FG,∴BF-DG=FG
18.(9 分)(2019·广安)为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知 3
只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元,2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元.
(1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元?
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只,要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节
能灯的数量的 3 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
解:(1)设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元,1 只 B 型节能灯的售价是 y 元,
3x+5y=50,
2x+3y=31,
解得
x=5,
y=7,
答:1 只 A 型节能灯的售价是 5 元,1 只 B 型节能灯的售价是 7 元 (2)设购买
35
A 型节能灯 a 只,则购买 B 型节能灯(200-a)只,费用为 w 元,w=5a+7(200-a)=-2a+
1400,∵a≤3(200-a),∴a≤150,∴当 a=150 时,w 取得最小值,此时 w=1100,200-a
=50,答:当购买 A 型节能灯 150 只,B 型节能灯 50 只时最省钱
19.(9 分)如图,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池,该 U 型池可以看作是一个长方
体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 4 m 的半圆,其边缘 AB=
CD=20 m,点 E 在 CD 上,CE=4 m,一滑行爱好者从 A 点到 E 点,则他滑行的最短距离是多
少?(边缘部分的厚度可以忽略不计,π取 3)
解:展开图如图 ,作 EF⊥AB,由于平铺,∴四边形 ABCD 是矩形,∴
∠C=∠B=90°,∵EF⊥AB,∴∠EFA=∠EFB=90°,∴四边形 CBFE 是矩形,∴EF=BC=
4×2×3×1
2
=12(m),FB=CE=4 m,∴AF=20-4=16(m),∴AE= 122+162 =20(m),即
他滑行的最短距离为 20 m
20.(9 分)如图,在四边形 ABFC 中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,
交 AB 于点 E,且 CF=AE.
(1)求证:四边形 BECF 是菱形;
(2)若四边形 BECF 为正方形,求∠A 的度数.
解:(1)∵EF 垂直平分 BC,∴BF=CF,BE=CE,∴∠ABC=∠BCE,∵∠ACB=90°,∴
∠ECA=∠A,∴CE=AE,∵CF=AE,∴CE=CF,∴BF=CF=CE=BE,∴四边形 BECF 是菱形
(2)∵四边形 BECF 是正方形,∴∠ABC=1
2
∠EBF,∠EBF=90°,∴∠ABC=45°,∴∠A=
90°-∠ABC=45°
21.(10 分)(2019·怀化)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛,
在选拔赛中,两人各射箭 10 次的成绩(单位:环数)如下:
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10
李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8
(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:
王方 10 次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10
36
频数 1 2 1 3 3
频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
李明 10 次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10
频数 0 0 6 3 1
频率 0 0 0.6 0.3 0.1
(2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数;
(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.
解:(1)
环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 1 3 3
频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
李明 10 次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10
频数 0 0 6 3 1
频率 0 0 0.6 0.3 0.1
(2)王方的平均数= 1
10
(6+14+8+27+30)=8.5;李明的平均数= 1
10
(48+27+10)
=8.5
(3)∵s 王方
2= 1
10
[(6-8.5)2+2(7-8.5)2+(8-8.5)2+3(9-8.5)2+3(10-8.5)2]=
1.85;s 李明
2= 1
10
[6(8-8.5)2+3(9-8.5)2+(10-8.5)2=0.45;∵s 王方
2>s 李明
2,∴应选派
李明参加比赛合适
22.(10 分)(2019·淮安)快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发
并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息 1.5 小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间
为 x 小时,快车行驶的路程为 y1 千米,慢车行驶的路程为 y2 千米.如图中折线 OAEC 表示 y1
与 x 之间的函数关系,线段 OD 表示 y2 与 x 之间的函数关系.
请解答下列问题:
(1)求快车和慢车的速度;
(2)求图中线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式;
(3)线段 OD 与线段 EC 相交于点 F,直接写出点 F 的坐标,并解释点 F 的实际意义.
解:(1)快车的速度为:180÷2=90(千米/小时),慢车的速度为:180÷3=60(千米/
小时),答:快车的速度为 90 千米/小时,慢车的速度为 60 千米/小时 (2)由题意可得,点
E 的横坐标为:2+1.5=3.5,则点 E 的坐标为(3.5,180),快车从点 E 到点 C 用的时间为:
37
(360-180)÷90=2(小时),则点 C 的坐标为(5.5,360),设线段 EC 所表示的 y1 与 x 之间
的函数表达式是 y1=kx+b,
3.5k+b=180,
5.5k+b=360,
解得
k=90,
b=-135,
即线段 EC 所表示的 y1 与 x
之间的函数表达式是 y1=90x-135 (3)设点 F 的横坐标为 a,则 60a=90a-135,解得 a=
4.5,则 60a=270,即点 F 的坐标为(4.5,270),点 F 代表的实际意义是在 4.5 小时时,甲
车与乙车行驶的路程相等
23.(11 分)某数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形 ABCD 中,
AB=6,将三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角顶点与 D 点重合,三角板的一边交
AB 于点 P,另一边交 BC 的延长线于点 Q.
(1)求证:DP=DQ;
(2)如图②,小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 于点 E,连接 PE,他发现
PE 和 QE 存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)如图③,固定三角板直角顶点在 D 点不动,转动三角板,使三角板的一边交 AB 的延
长线于点 P,另一边交 BC 的延长线于点 Q,仍作∠PDQ 的平分线 DE 交 BC 延长线于点 E,连
接 PE,若 AB∶AP=3∶4,请帮小明算出△DEP 的面积.
解:(1)由 ASA 证△ADP≌△CDQ 即可 (2)猜测:PE=QE.证明:由(1)可知,DP=DQ,
又∵∠PDE=∠QDE=45°,DE=DE,∴△DEP≌△DEQ(SAS),∴PE=QE (3)∵AB∶AP=3∶4,
AB=6,∴AP=8,BP=2,同(1)可证△ADP≌△CDQ,∴CQ=AP=8,同(2)可证△DEP≌△DEQ,
∴PE=QE,设 QE=PE=x,则 BE=BC+CQ-QE=14-x,在 Rt△BPE 中,由勾股定理得 BP2
+BE2=PE2,即 22+(14-x)2=x2,解得 x=50
7
,即 QE=50
7
,∴S△DEQ=1
2
QE·CD=1
2
×50
7
×6
=150
7
,∵△DEP≌△DEQ,∴S△DEP=S△DEQ=150
7