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- 2021-04-25 发布
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北京八中乌兰察布分校
2018-2019学年第二学期三调考试
高二年级文科数学试题
（命题人：张海燕 审核人：刘江泉 分值 150 时间 120分钟 ）
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题。每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）
1. 已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|2x＜2}，则有（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知i是虚数单位，则=（ ）
A. 2i B. C. 2 D.
3. 已知向量，若，则实数m=（ ）
A. 0 B. C. 3 D.
4. “x＞2”是“x＞1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 7 D. 8
6. 已知角α的终边过点P（1，2），则cos2α-sin2α=（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
1. 函数f（x）=2cos2x+sinx的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2. 已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 50
3. 函数的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A B C D
5. 已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（1），b=-3f（-3），c=2f（2），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
6. 函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的
部分图象如图所示，则该函数表达式为______________．
7. 已知函数f（x）=x+sinx+1，则f（2019）+f（-2019）=__________．
8. 的对称中心是__________
9. 函数y=tan（2x-）的定义域为__________
三、 解答题(共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每题12分。第22题10分。)
1. (12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知：．
（1）求边c和sinC；
（2）设D是BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
2. (12分)已知函数，．
求函数的单调区间；
若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值．
1. (12分)某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如表1：
M
900
700
300
100
y
0.5
3.5
6.5
9.5
该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2：
M
[0，200）
[200，400）
[400，600）
[600，800）
[800，1000]
频数（天）
3
6
12
6
3
（1）设，若x与y之间是线性关系，试根据表1的数据求出y关于x的线性回归方程；
（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：
M
[0，200）
[200，400）
[400，600）
[600，800）
[800，1000]
日均收入（元）
-2000
-1000
2000
6000
8000
根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入．
附参考公式：=x+，其中=，=-．
2. (12分)已知椭圆E：上任意一点到两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之和为圆O：x2+y2=9的直径，且椭圆E短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线与椭圆E（c＞b）交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）交圆O于C，D两点，求四边形ACBD的面积
1. (12分)已知函数．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间，并求出其极值；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x），存在两个零点，求k的取值范围．
2. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过坐标原点O且倾斜角为α．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
（1）当直线l与圆C相切时，求倾斜角α；
（2）已知直线l过圆C的圆心且与圆C交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A={x|-1＜x＜2}，B={x|x＜1}；
∴A∩B={x|-1＜x＜1}．
故选：B．
可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可．
考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．
2.【答案】D
【解析】
解：=
==-2．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.【答案】B
【解析】
解：向量，若，
可得：3+m=6，解得m=．
故选：B．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
4.【答案】A
【解析】
解：由x＞1，我们不一定能得出x＞2，比如x=1.5，所以x＞1不是x＞2的充分条件；
∵x＞2＞1，∴由x＞2，能得出x＞1，∴x＞1是x＞2的必要条件
∴x＞2是x＞1的充分不必要条件
故选：A．
由x＞1，我们不一定能得出x＞2；x＞2时，必然有x＞1，故可得结论
四种条件的判断，定义法是基本方法，不成立时，列举反例即可．
5.【答案】C
【解析】
解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：
∵目标函数Z=2x+y，
∴ZO=0，ZA=4，ZB=7，ZC=4，
故2x+y的最大值是7，
故选：C．
本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．
用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
6.【答案】D
【解析】
解：∵角α的终边过点P（1，2），∴tanα=2，则cos2α-sin2α===-，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】
解：已知，则=cos（-2α）=2-1=2×-1=-，
故选：C．
由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式进行三角函数的求值计算，属于容易题．
8.【答案】D
【解析】
解：f（x）=2（1-sin2x）+sinx=-2sin2x+sinx+2=-2（sinx-）2+，
∴sinx=-1时f（x）取得最小值-1，
故选：D．
将余弦化成正弦后，配方后利用二次函数的单调性可得．
本题考查了三角函数的最值，属中档题．
9.【答案】C
【解析】
解：∵f（x）是奇函数，且f（1-x）=f（1+x），
∴f（1-x）=f（1+x）=-f（x-1），f（0）=0，
则f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=-2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．
由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．
【解答】
解：由题意可知A=2，T=4（-）=π，ω=2，
因为当x=时取得最大值2，
所以2=2sin（2×+φ），
所以2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ-，k∈Z，
因为|φ|＜，
所以可得φ=-，可得函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x-）．
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查主要考查函数零点的个数的判断，利用函数零点的定义可以直接求解，也可以利用数形结合来求解，本题如果使用数形结合容易出错．
法1：由y=f（x）-3=0，得f（x）=3，分别作出函数f（x）和y=3的图象，利用数形结
合即可得到结论．
法2：利用分段函数分别解方程f（x）=3，即可得到函数零点的个数．
【解答】
解：法1：由y=f（x）-3=0，得f（x）=3，分别作出函数f（x）和y=3的图象如图，
则由图象可知f（x）=3有4个不同的交点，
即函数y=f（x）-3的零点的个数为4个．
法2：由y=f（x）-3=0，得f（x）=3，
当x＞0时，由f（x）=|lgx|=3，解得lgx=3或-3，即x=1000或x=，此时函数有两个零点，
当x≤0时，由f（x）=-x（x+4）=3，即x2+4x+3=0，解得x=-3或-1，此时函数有两个零点，
综上函数y=f（x）-3的零点的个数为4个，
故选D．
12.【答案】D
【解析】
解：令函数g（x）=xf（x），因为定义域为R的y=f（x）是奇函数，所以函数g（x）为偶函数；
当x＞0时，因为，所以xf′（x）+f（x）＜0，即g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数，
a=f（1）=g（1），b=-3f（-3）=g（-3）=g（3），c=2f（2）=g（2），
根据g（x）在（0，+∞）上为减函数，所以g（1）＞g（2）＞g（3）．即b＜c＜a．
故选：D．
根据构造函数g（x）=xf（x），利用函数g（x）的奇偶性、单调性比较大小．
本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
解：根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为：，
有c=，
其焦点坐标为（±，0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0
焦点到渐近线的距离d==b，
又由该双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则有a=b，
则c==a，
则该双曲线的离心率e==，
故答案为：．
根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，设出方程，由标准方程可得其焦点坐标以及渐近线方程，进而由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离d=b，结合题意可得a=b，由双曲线的性质，进而由离心率公式可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的焦点到渐近线的距离．
14.【答案】0或1
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，
为二次函数，其对称轴为x=，
若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，
解可得t=0或1；
故答案为：0或1．
根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结
合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】
解：根据题意，f（x）=x+sinx+1，则f（-x）=（-x）+sin（-x）+1=-x-sinx+1，
则f（x）+f（-x）=2，
则f（2019）+f（-2019）=2；
故答案为：2．
根据题意，由函数的解析式求出f（-x）的解析式，进而可得f（x）+f（-x）=2，据此可得答案．
本题考查函数的奇偶性与周期性电影院，涉及函数值的求法，属于基础题．
16.【答案】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴，
∴根据余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，
得：（舍去），…（3分）
∴根据正弦定理：，
∴
综上，；…（6分）
（2）由，得出，
在直角△ADC中，，
∴，…（9分）
∴，
即△ABD的面积为．…（12分）
【解析】
（1）由已知可求A的值，根据余弦定理解得c的值，利用正弦定理可求sinC的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求，在直角△ADC中，可求AD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：（1）=1+2sinxcosx-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ-≤x≤kπ+，
可得函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，
得kπ+≤x≤kπ+，
可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）若把函数f（x）的图象向右平移个单位，
得到函数=的图象，
∵x∈[-，0]，
∴2x-∈[-，-]，
∴∈[-1，]，
∴∈[-2，1]．
故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．
【解析】
本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间及图象变换规律，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
（1）利用半角公式降次，再逆用和差角公式，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．
18.【答案】解：（1）根据表中数据，计算，
，
00，
=92+72+32+12=140；
∴，
，
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，
有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，
有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，
估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为
8000×3）=2400（元）．
【解析】
（1）根据表中数据计算平均数与回归系数，写出线性回归方程；
（2）根据表3，计算洗车店2017年11月份每天的平均收入即可．本题考查了线性回归方程与加权平均数的计算问题，是基础题．
19.【答案】解：（1）∵椭圆E：上任意一点到两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之和为
圆O：x2+y2=9的直径，
∴2a=6，即a=3，
∵椭圆E短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为
∴bc=2，
∵a2=b2+c2，
∴b=2，c=，或b=，c=2，
故椭圆E的方程为+=1或+=1．
（2）当c＞b时，此时椭圆E的方程为+=1，
联立方程，解得或，
不妨令A（-3，0），B（，），
则M（-，），
∴直线OM的方程为y=-x，
由，解得或，
不妨令C（-，），D（，-），
则|CD|==2，
点A，B到直线OM的距离分别为d1=，d2=，
∴四边形ACBD的面积S=S△BCD+S△ACD=|CD|（d1+d2）=2×=24．
【解析】
（1）由题意可得2a=6，bc=2，a2=b2+c2，解得即可求出椭圆方程，
（2）分别求出点A，B的坐标，可得直线CD的方程，即可求出点C，D的坐标，求出|CD|，以及点A，B到直线OM的距离分别为d1=，d2=，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程，点到直线的距离，三角形的面积，考查了运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）当k=1时，，∴f'（x）=（x+1）ex-（x+1）=（x+1）（ex-1），
故x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（-1，0），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）为增函数，
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）． （4分），f（x）极小=f（0）=0．（5分）
（2）解法一：由已知，，g（x）=kex-x∴∴F'（x）=kxex-x=x（kex-1）（6分）
①当k＜0时，F（x）在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，
且注意到F（0）=-k＞0，函数F（x）的图象两边向下无限伸展，
故此时F（x）存在两个零点，适合题意． （7分）
②当k=0时，在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，
且F（0）=0，故此时F（x）只有一个零点． （8分）
③当k=1时，⇒F′（x）=xex-x=x（ex-1），故函数（-∞，+∞）为增，
易知函数F（x）只有一个零点． （9分）
④当k∈（0，1）时，，F（x）在（-∞，0）为增，为减，为增，
且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点． （10分）
⑤当k∈（1，+∞）时，，F（x）在为增，为减，（0，+∞）为增，
且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点． （11分）
综上，k∈（-∞，0）时，函数F（x）=f（x）-g（x）存在两个零点． （12分）
解法二：F（x）=f（x）-g（x）=
依题函数F（x）=f（x）-g（x）存在两个零点，即方程有两个根
也即直线y=k（x-1）与函数的图象有两个交点 （7分）
记，
由h'（x）＞0⇒x（2-x）＞0⇒0＜x＜2，由h'（x）＜0⇒x（2-x）＜0⇒x＜0，x＞2
故h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减 （9分）
且h（0）=0，x＞0时h（x）＞0
又直线y=k（x-1）过（1，0），斜率为k
由图象观察知：当k＜0时直线y=k（x-1）与的图象必有两个交点，（10分）
当k≥0时直线y=k（x-1）与的图象只有一个交点 （11分）
综上，函数F（x）=f（x）-g（x）存在两个零点，k的取值范围为（-∞，0）．（12分）
【解析】
（1）先求出函数的导数，然后根据导数的符号，判断函数的单调区间，利用单调性确定出极大值与极小值；
（2）有两种思路：一是对k分情况讨论，根据各种情况函数F（x）零点个数，确定k的取值范围；二是先对问题进行转化，再利用数形结合的方法求解．
本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，综合性较强．
21.【答案】解：（1）由为，
得，即．
当直线l的倾斜角时，直线与圆C相切，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx，
由，解得k=，此时直线l的倾斜角．
综上，当直线l与圆C相切时，倾斜角α=或；
（2）由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），
代入，得t2=1，
∴t=±1，
则|OA|•|OB|=1．
【解析】
（1）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程，然后分类利用直线与圆相切求得直线的倾斜角α；
（2）写出直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t
的一元二次方程，利用参数t的几何意义求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
22.【答案】解：（1），f（x）≥2等价于或或，
所以或0≤x＜1或x≥1，故原不等式的解集为． （5分）
（2）y=f（x）的图象如图所示：，B（1，3），直线过定点
因为，所以． （10分）
【解析】
（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．
（2）画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，绝对值不等式的解法，考查数形结合以及计算能力．
