2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§8-2 空间点、线、面的位置关系（试题部分） 9页

‎§8.2　空间点、线、面的位置关系 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 点、线、面的位置关系 ‎①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论;②会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题;③理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论 ‎2019课标全国Ⅲ,8,5分 两条直线的位置关系 面面垂直的性质 ‎★★☆‎ ‎2019课标全国Ⅲ,19,12分 四点共面、四边形的面积 面面垂直的判定 ‎2016课标全国Ⅰ,11,5分 异面直线所成的角 面面平行的性质 ‎2018课标全国Ⅱ,9,5分 异面直线所成的角 线面垂直的性质 分析解读 高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.题型以选择题和填空题为主,也可能是解答题,本节内容主要考查学生的空间想象能力,在备考时应加强训练.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2020届安徽合肥八校第一次联考,5)已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(　　)‎ A.若a∥α,a⊥b,则b⊥α B.若a⊥α,a⊥b,则b∥α C.若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β D.若a∩b=A,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β 答案　D　‎ ‎2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　)‎ A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④‎ 答案　C　‎ ‎3.(2020届河南、河北重点中学摸底考试,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=‎2‎,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案　C　‎ ‎4.下列说法中,正确的个数是(　　)‎ ‎①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案　C　‎ 答案　B　‎ ‎6.(2019广东东莞模拟,2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　　)‎ A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1‎ C.AE,B1C1为异面直线,且AE⊥B1C1‎ D.A1C1∥平面AB1E 答案　C　‎ ‎7.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.‎ 答案　已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.‎ 求证:直线a,b,c,l共面.‎ 证明:如图所示,因为a∥b,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.‎ 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.‎ 又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.‎ 因为b∥c,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.‎ 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知,平面α与平面β重合,所以直线a,b,c,l共面.‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　证明点共线、线共点及点线共面的方法 ‎1.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.‎ 答案　已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C,且A,B,C不重合.‎ 求证:直线AB,BC,AC共面.‎ 证法一:∵AB∩AC=A,∴直线AB,AC可确定一个平面α,‎ ‎∵B∈AB,C∈AC,∴B∈α,C∈α,故BC⊂α,‎ 因为直线AB,BC,AC都在平面α内,∴直线AB,BC,AC共面.‎ 证法二:∵A不在直线BC上,∴点A和直线BC可确定一个平面α,‎ ‎∵B∈BC,∴B∈α,又∵A∈α,∴直线AB⊂α,‎ 同理可得直线AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.‎ 证法三:∵A,B,C三点不在同一条直线,‎ ‎∴A,B,C三点可以确定一个平面α,∴A∈α,B∈α,‎ ‎∴直线AB⊂α,同理AC⊂α,BC⊂α,‎ 故直线AB,BC,AC共面.‎ ‎2.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH,HG.‎ ‎(1)求AH∶HD;‎ ‎(2)求证:EH,FG,BD三线共点.‎ 答案　(1)∵AEEB=CFFB=2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,‎ 又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.‎ 而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CGGD=3.‎ ‎∴AH∶HD=3∶1.‎ ‎(2)证明:∵EF∥GH,且EFAC=‎1‎‎3‎,GHAC=‎1‎‎4‎,∴EF≠GH,‎ ‎∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.‎ 设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,‎ 同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.‎ ‎∴EH,FG,BD三线共点.‎ 方法2　异面直线所成角的求解方法 ‎1.(2020届四川雅安中学第一次月考,7)如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.30° B.120° C.60° D.45°‎ 答案　C　‎ ‎2.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为(　　)‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎4‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.如图,已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为　　　　. ‎ 答案　60°或30°‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)‎ A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 答案　B　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎7‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎4.(2019课标全国Ⅲ,19,12分)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.‎ ‎(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;‎ ‎(2)求图2中的四边形ACGD的面积.‎ 答案　本题考查了线面、面面垂直问题,通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了直观想象的核心素养.‎ ‎(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.‎ 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.‎ 又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.‎ ‎(2)取CG的中点M,连接EM,DM.‎ 因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,‎ 故DE⊥CG.‎ 由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.‎ 因此DM⊥CG.‎ 在Rt△DEM中,DE=1,EM=‎3‎,故DM=2.‎ 所以四边形ACGD的面积为4.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案　C　‎ ‎2.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 答案　D　‎ ‎3.(2018天津,17,13分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2‎3‎,∠BAD=90°.‎ ‎(1)求证:AD⊥BC;‎ ‎(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;‎ ‎(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.‎ 答案　(1)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.‎ ‎(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.‎ 又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.‎ 在Rt△DAM中,AM=1,故DM=AD‎2‎+AM‎2‎=‎13‎.‎ 因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.‎ 在Rt△DAN中,AN=1,故DN=AD‎2‎+AN‎2‎=‎13‎.‎ 在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=‎1‎‎2‎MNDM=‎13‎‎26‎.‎ 所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为‎13‎‎26‎.‎ ‎(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=‎3‎.‎ 又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.‎ 所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.‎ 在Rt△CAD中,CD=AC‎2‎+AD‎2‎=4.‎ 在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=‎3‎‎4‎.‎ 所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为‎3‎‎4‎.‎ C组　教师专用题组 考点　点、线、面的位置关系 ‎1.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎2.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.(　　)‎ A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m 答案　A　‎ ‎3.(2010全国Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ 答案　C　‎ ‎4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎5.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)证明:直线DF⊥平面BEG.‎ 答案　(1)点F,G,H的位置如图所示.‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:‎ 因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,‎ 又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,‎ 于是四边形BCHE为平行四边形.‎ 所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG=B,‎ 所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎(3)证明:连接FH,BD.‎ 因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,‎ 因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.‎ 又EG⊥FH,DH∩FH=H,‎ 所以EG⊥平面BFHD.‎ 又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.‎ 同理DF⊥BG.‎ 又EG∩BG=G,‎ 所以DF⊥平面BEG.‎ ‎6.(2013课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.‎ ‎(1)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(2)若AB=CB=2,A1C=‎6‎,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.‎ 答案　(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,‎ 故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,‎ 所以AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C⊂平面OA1C,‎ 所以AB⊥A1C.‎ ‎(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,‎ 所以OC=OA1=‎3‎.‎ 又A1C=‎6‎,‎ 则A1C2=OC2+OA‎1‎‎2‎,故OA1⊥OC.‎ 因为OC∩AB=O,‎ 所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.‎ 又△ABC的面积S△ABC=‎3‎,‎ 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:50分 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2020届河北枣强中学9月月考,5)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是(　　)‎ A.若a∥α,a∥b,b∥c,则c∥α B.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b C.若a⊥α,a⊥b,b⊥c,则c⊥α D.若α∥β,a⊂α,则a∥β 答案　D　‎ ‎2.(2019四川成都二诊,8)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是(　　)‎ A.若c⊂平面α,则a⊥α B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α 答案　C　‎ ‎3.(2020届甘肃兰州重点中学9月联考,6)正方体的平面展开图如图,AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60°角的有(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案　D　‎ ‎4.(2020届河南顶级名校摸底考试,10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎10‎‎5‎ D.‎‎10‎‎10‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是(　　)‎ A.B,C,A1 B.B1,C1,A C.A1,B1,C D.A1,B,C1‎ 答案　D　‎ ‎6.(2020届河北邢台第一次摸底考试,11)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点,现有下面三个结论:①△EFG为正三角形;②异面直线A1G与C1F所成角为60°;③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A.① B.②③ C.①② D.①③‎ 答案　D　‎ ‎7.(2019广东深圳二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P为棱CC1上的动点,Q为棱AA1的中点,设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线,则(　　)‎ A.m∥D1Q B.m∥平面B1D1Q C.m⊥B1Q D.m⊥平面ABB1A1‎ 答案　B　‎ ‎8.(2019河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G分别是A1C1,A1B1,AB上的点,且有C1E=A1F=BG=1,则过点E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面积为(　　)‎ A.‎15‎‎4‎ B.‎15‎‎2‎ C.‎3‎‎15‎‎4‎ D.‎‎5‎‎15‎‎4‎ 答案　D　‎ ‎9.(多选题)(命题标准样题,6)设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则(　　)‎ A.在α内存在直线与直线AB异面 B.在α内存在直线与直线AB相交 C.存在过直线AB的平面与α垂直 D.存在过直线AB的平面与α平行 答案　AC　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎10.(2019江西百所名校模拟八,16)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,过BD1的截面的面积为S,则S的最小值为　　　　. ‎ 答案　2‎‎6‎