2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章 第4节 归纳与类比 9页

第四节　归纳与类比 ‎[考纲传真]　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．‎ ‎(对应学生用书第87页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．‎ ‎2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．‎ ‎4．演绎推理 ‎ (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎ (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎ ①大前提——已知的一般原理；‎ ‎ ②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎ ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)‎ ‎ (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎ (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)‎ ‎ (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)‎ ‎ A．归纳推理 B．类比推理 ‎ C．演绎推理 D．以上都不是 ‎ B　[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B．]‎ ‎3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ ‎ A．an＝3n－1 B．an＝4n－3‎ ‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ ‎ C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]‎ ‎4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x 是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)‎ ‎ A．大前提错误导致结论错误 ‎ B．小前提错误导致结论错误 ‎ C．推理形式错误导致结论错误 ‎ D．大前提和小前提错误导致结论错误 ‎ A　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]‎ ‎5．(2018·开封模拟)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ ‎ 乙说：我没去过C城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________. 【导学号：00090211】‎ ‎ A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．]‎ ‎(对应学生用书第88页)‎ 归纳推理 ‎　(1)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D． ‎ (2)(2016·山东高考)观察下列等式：‎ ‎ －2＋－2＝×1×2；‎ ‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ ‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎ ……‎ ‎ 照此规律，‎ ‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ ‎ (1)C　(2)n(n＋1)　[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C．‎ ‎ (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]‎ ‎ [规律方法]　1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎ ‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；‎ ‎ (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎ 2．归纳推理的一般步骤：‎ ‎ (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；‎ ‎ (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________. 【导学号：00090212】‎ ‎ (2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________．‎ 图641‎ ‎ (1)nn(n∈N*)　(2)(n∈N*)　[(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ ‎ (2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N*)．]‎ 类比推理 ‎　(1)(2017·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}‎ 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ ‎ A．dn＝　　　 B．dn＝ ‎ C．dn＝ D．dn＝ ‎ (2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．‎ 图642‎ ‎ (1)D　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.‎ ‎ 法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，‎ ‎ ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D．‎ ‎ (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]‎ ‎ [规律方法]　‎ ‎1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎ 2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ ‎[变式训练2]　(2018·江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝(　　) 【导学号：00090213】‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ C　[1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C．]‎ 演绎推理 ‎　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎ (1)数列是等比数列；‎ ‎ (2)Sn＋1＝4an.‎ ‎ [证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎ ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 2分 ‎ ∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ ‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎ (大前提是等比数列的定义，这里省略了) 5分 ‎ (2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎ ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎ ＝4an(n≥2)，(小前提) 8分 ‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ ‎ ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎ (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 12分 ‎ [规律方法]　演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．‎ ‎[变式训练3]　(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ ‎ A．乙可以知道四人的成绩 ‎ B．丁可以知道四人的成绩 ‎ C．乙、丁可以知道对方的成绩 ‎ D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎ D　[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．‎ ‎ 故选D．]‎