2020高中物理 第1章 机械振动 简谐运动的回复力和能量、单摆学案 教科版选修3-4 17页

简谐运动的回复力和能量、单摆 ‎【学习目标】‎ ‎1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。‎ ‎2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。‎ ‎3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。‎ ‎4．知道什么是单摆。‎ ‎5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。‎ ‎6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、简谐运动的回复力、能量 ‎ 1．回复力 物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．‎ ‎ ．‎ 要点诠释：（1）负号表示回复力的方向是与位移方向相反．（2）为与的比例系数，对于弹簧振子，为劲度系数．（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．（4）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为（但合力可能不为）．（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化．‎ ‎2．简谐运动的能量 ‎ （1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒．‎ ‎ （2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．‎ ‎ ‎ ‎ （3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即。‎ ‎ （4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．‎ ‎ （5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．‎ 要点二、简谐运动的特征 ‎ 1．物体做简谐运动的三个特征 ‎ （1）振动图像是正弦曲线；‎ ‎ （2）回复力满足条件；‎ ‎（3）机械能守恒．‎ ‎2．简谐运动的判定方法 17‎ ‎ （1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．‎ ‎ （2）故简谐运动的物体所受的力满足，即回复力与位移成正比且方向总相反．‎ ‎（3）用判定振动是否是简谐运动的步骤：‎ ‎ ①对振动物体进行受力分析；‎ ‎ ②沿振动方向对力进行合成与分解；‎ ‎③找出回复力，判断是否符合．‎ 要点三、简谐运动的运动特点 ‎1．简谐运动的加速度分析方法 简谐运动是一种变加速的往复运动，由知其加速度周期性变化，“”表示加速度的方向与振动位移的方向相反，即总是指向平衡位置，的大小跟成正比．‎ ‎2．简谐运动的运动特点 物体 位置 位移 回复力 加速度 速度 势能 动能 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 平衡 位置O 最大位移处M ‎ 指向M 指向O 指向O 指向 M 指向O 指向O 指向M 指向 M 指向O 指向O 指向O ‎ 通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置靠近的过程及远离平衡位置的过程的不同特点：靠近点时速度大小变大，远离点时位移、加速度和回复力大小变大 ‎ 3．弹簧振子在光滑斜面上的振动 光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动．‎ ‎ ‎ ‎ 分析如下：‎ 如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为 17‎ ‎，‎ 往下拉后弹簧相对于静止位置伸长时，物体所受回复力 ‎．‎ ‎ 由此可判定物体是做简谐运动的．‎ 要点四、单摆 ‎ 1．单摆 单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．‎ ‎ ‎ ‎ 一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．‎ ‎ 单摆做简谐运动的条件：‎ 小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动．‎ ‎2．单摆做简谐运动的回复力 ‎ ‎ 单摆做简谐运动的回复力是由重力沿圆弧切线的分力 17‎ 提供（不要误认为是摆球所受的合外力）．当很小时，圆弧可以近似地看成直线，．切线的分力可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明．‎ ‎ ‎ 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动．‎ ‎3．单摆的周期公式 ‎ 荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 ‎ ‎ ‎ 式中为悬点到摆球球心间的距离，为当地的重力加速度．‎ ‎（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．‎ ‎（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式 ‎，‎ 对于单摆 ‎，‎ 所以 ‎．‎ 周期为的单摆，叫做秒摆，由周期公式 得秒摆的摆长 ‎．‎ 要点五、单摆的应用 ‎1．单摆的应用 ‎ （1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．‎ ‎ （2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度。‎ 17‎ ‎ 2．如何理解单摆的周期公式 ‎（1）等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长．如图中，摆球可视为质点，各段绳长均为，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，为垂直纸面的钉子，而且，则各摆的周期为 ‎ ‎ ‎ 甲：等效摆长，．‎ ‎ 乙：等效摆长，．‎ ‎ 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由变为，摆球振动时，半个周期摆长为，另半个周期摆长为，即为，则单摆丙的周期为。‎ ‎ ‎ ‎ （2）等效重力加速度，不一定等于．‎ ‎ ①由单摆所在的空间位置决定．由知，随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，的值就越小，另外，在不同星球上也不同．‎ ‎ 同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同．‎ ‎ 同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于地，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平弹簧振子不受变化的影响而改变周期．‎ ‎ ②还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值 17‎ ‎．单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆动了，周期无穷大．若摆球在摆动过程中突然完全失重，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动．‎ ‎ 一般情况下，的值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力与摆球质量的比值．即．‎ ‎3．圆锥摆 如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动．‎ ‎ ‎ 设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为，则小球做圆周运动的半径 ‎，‎ 向心力 ‎．‎ 由 ‎，‎ 得圆锥摆的周期 ‎．‎ 显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动．‎ ‎ 4．摆钟快慢问题的分析方法 ‎ 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，分析时应注意：‎ ‎ （1）由摆钟的机械构造所决定，摆钟每完成一次全振动。摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期。‎ ‎ （2）在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快．走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间就慢．因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期，即，所以在同一时间内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比．‎ ‎ （3）无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间，其中为走时准确摆钟的周期，‎ 17‎ 为全振动的次数．同时对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期，即．‎ ‎ 【例】甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲摆钟指示时，乙摆钟已指示，则甲、乙两摆钟的摆长之比。‎ ‎ 【解析】 设甲、乙两摆钟经过的时间为，周期分别为，标准钟的周期为．则两钟在时间内完成全振动次数为 ‎ 　　，．‎ ‎ 两钟显示的时间为：‎ ‎ 　　，。‎ 所以 ‎ ‎．‎ 由 ‎，‎ 得 ‎ 　　．‎ ‎ 【答案】16∶9‎ ‎ 【说明】本题两摆钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断哪只摆钟准确，也可能都不准确，但对同一只摆钟每振动一次所显示的时间是一样的．摆钟所显示的时间就是摆的振动次数与标准钟的周期的乘积．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、对简谐运动的理解 ‎ 例1．如图所示，水平面的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上点，已知物体的质量为，物体与水平面间的动摩擦因数，弹簧的劲度系数．现用力拉物体，使弹簧从处于自然状态的点由静止开始向左移动，这时弹簧具有弹性势能，物体处于静止状态．若取，则撤去外力后（ ）．‎ ‎ ‎ A．物体向右滑动的距离可以达到 17‎ ‎ B．物体向右滑动的距离一定小于 ‎ C．物体回到点时速度最大 ‎ D．物体到达最右端时动能为，系统机械能不为 ‎ ‎ ‎【答案】B、D ‎ ‎【解析】如图所示，物体由最大位移处释放，在弹力作用下向右加速，由于受滑动摩擦力的作用，物体向右运动时的平衡位置应在点左侧处，‎ ‎ ‎ 由平衡条件 得 ‎，‎ 即 由简谐运动的对称性可知到达点右侧的点时物体速度减小为零，即 ‎，‎ A项错误，B项正确；在平衡位置处速度最大，C项错误；物体到达最右端时动能为零，弹簧处于压缩状态，系统机械能不为零，故D项正确．‎ ‎ ‎ 类型二、简谐振动中的牛顿第二定律 例2．如图所示，叠放在光滑水平地面上，与自由长度为的轻弹簧相连，当系统振动时，始终无相对滑动，已知，当振子距平衡位置的位移时，系统的加速度为，求间摩擦力，与位移的函数关系．‎ ‎ ‎ ‎【思路点拨】合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同．‎ ‎【答案】‎ 17‎ ‎【解析】设弹簧的劲度系数为后，以整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时，有 ‎，‎ 由此得 ‎．‎ ‎ 当系统的位移为时，间的静摩擦力为，此时具有共同加速度，对系统有 ‎ 　　， 　　　　 ①‎ ‎ 　　， 　　　　　　　　 ②‎ 对A有 ‎ ‎，　　　　　　　　 ③‎ 结合①②③有 ‎ ‎．‎ ‎【总结升华】此题综合考查了受力分析、胡克定律、牛顿定律和回复力等概念，其解题关键是合理选取研究对象，在不同的研究对象中回复力不同．此题最后要求把摩擦力与位移的关系用函数来表示，即要将物理规律与数学知识结合．‎ 举一反三:‎ ‎【变式】如图所示，质量为的物块放置在质量为的物块上，与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为，当物块离开平衡位置的位移为时，间摩擦力的大小等于（ ）．‎ ‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎ 【答案】D ‎ 类型三、振动与物体平衡的综合运用 例3．如图所示，一质量为 17‎ 的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体和，．剪断间的细线后，做简谐运动，则当振动到最高点时，木箱对地面的压力为________。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析．剪断细线前的受力情况：‎ 重力：，向下；‎ 细线拉力：，向下；‎ 弹簧对的弹力：，向上．‎ 设弹簧的劲度系数为，则此时弹簧的伸长量为 ‎．‎ ‎ 剪断细线后，做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为。由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处．此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为．‎ ‎【总结升华】在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，注意弹簧的原长点、平衡点、最高点、最低点等特殊点，可收到事半功倍的效果．‎ 举一反三:‎ ‎【变式】‎ 如图所示，弹簧下面挂一质量为的物体，物体在竖直方向上作振幅为的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ）．‎ 17‎ ‎　　　　 ‎ A．物体在最低点时的弹力大小应为 ‎ B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 C．弹簧的最大弹性势能等于 ‎ D．物体的最大动能应等于 ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】A、小球做简谐运动的平衡位置处，，．当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，可知．所以在最低点时，形变量为．弹力大小为．故A正确．    B、在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、重力势能之和不变．故B错误．    C、从最高点到最低点，动能变化为，重力势能减小，则弹性势能增加．而初位置弹性势能为，在最低点弹性势能最大，为．故C正确．    D、在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小，动能和弹性势能增加，所以物体的最大动能不等于．故D错误． 故选AC．‎ ‎【总结升华】解决本题的关键抓住简谐运动的对称性以及灵活运用能量守恒定律和机械能守恒定律．‎ 名题诠释 类型四、根据振动周期求摆长 例4．已知单摆完成次全振动的时间内，单摆完成次全振动，两摆长之差为，则两单摆摆长与分别为（ ）．‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ 17‎ ‎【思路点拨】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出摆长．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】该题考查的是单摆的周期公式．设两个单摆的周期分别为和，由题意 ‎，‎ 得 ‎．‎ 根据单摆周期公式 ‎，‎ 可知 ‎，‎ 由此得 ‎．‎ 则 ‎，‎ ‎．‎ ‎ 【总结升华】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出摆长．‎ ‎ 例5．如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道，它对应的圆心角小于，是的中点，也是圆弧的最低点．在间的一点和之间搭一光滑斜面并将其固定．将两个小滑块（可视为质点）同时分别从点和点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ）．‎ ‎ ‎ ‎ A．一定在斜面上的一点 　 B．一定在 ‎ C．一定在点 D．不知道斜面的长短，无法判断 17‎ ‎【总结升华】当时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型．‎ ‎【答案】A ‎【解析】点是最低点，是圆弧上两点，对应圆弧半径为，由“等时圆”可知，到历时 ‎，‎ 光滑圆弧轨道所对应的圆心角小于，小滑块由到做简谐运动，由单摆周期公式 得 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 故相遇时应在上的一点，A项正确．‎ ‎【总结升华】圆弧形轨道上的运动时，当时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型．‎ ‎ 类型五、单摆在加速系统中的振动 例6．在一加速系统中有一摆长为的单摆．‎ ‎ （1）当加速系统以加速度竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？‎ ‎ （2）当加速系统在水平方向以加速度做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？‎ ‎【答案】（1）, （2）‎ ‎【解析】（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为，如图甲所示，‎ ‎　　　　‎ 17‎ 则 ‎，‎ 故 ‎，‎ 由 得视重力加速度 ‎，‎ 所以单摆周期 ‎．‎ 同理，当单摆随加速系统竖直向下加速时，视重力 ‎，‎ 则视重力加速度 ‎，‎ 故 ‎．‎ ‎（2）当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重力 ‎。‎ 故视重力加速度 ‎，‎ 所以周期 ‎．‎ 类型六、月球上的摆钟问题 例7．将在地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是，那么实际的时间是多少?若要在月球上使该钟与地面上时一样准，应如何调节？（已知）‎ ‎【总结升华】摆钟指示的时间与摆钟振动的次数成正比．‎ 17‎ ‎【答案】将摆长调到原来的 ‎【解析】设在地球上该钟的周期为，在月球上该钟的周期为，指示的时间为．则在月球上该钟在时间内振动的次数为 ‎．‎ 在地面上振动次数为时所指示的时间为，则有 ‎，‎ 即 ‎，‎ 所以 ‎．‎ ‎ 所以在月球上记录时间是，则地面上的实际时间为．‎ 要使其与在地面上时走得一样准，则 ‎，‎ 即 ‎，‎ ‎．‎ ‎ 即应将摆长调到原来的．‎ ‎ 【总结升华】摆钟指示的时间与摆钟振动的次数成正比．‎ 类型七、单摆振动与力学综合 例8．摆长为的单摆在平衡位置的左右做摆角小于的运动，当摆球经过平衡位置（在点的正上方）向右运动的同时，另一个以速度在光滑水平面上运动的小滑块恰好经过点向右运动，如图所示，小滑块在与竖直挡板碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：‎ 17‎ ‎ ‎ ‎ （1）间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回点时，摆球也同时到达点且向左运动？‎ ‎ （2）间的最小距离是多少？‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】滑块从向右运动到返回点所用的时间等于单摆的半个周期再加整数倍周期，当滑块返回点所用的时间为半个周期时间距离最小．‎ ‎ （1）设小滑块做匀速直线运动从过点到再次返回到点所用时间为，，则 ‎，‎ 设单摆做简谐运动回到点且向左运动所需时间为，‎ ‎（），‎ 其中 ‎，‎ 由题意可知 ‎，‎ 所以 ‎。‎ 即 ‎（）．‎ ‎（2）当时，的距离最小，‎ ‎．‎ 17‎ ‎ 【总结升华】 考查单摆振动与力学知识综合，关键是要找到相应物理量之间的美系．‎ 17‎