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- 2021-02-26 发布
2017-2018学年甘肃省武威第五中学高二下学期第一次检测数学试卷
命题人：张玉婷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角
3．有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”这段推理的结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
4．下面几种推理是合情推理的是( )
①由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
②由平行四边形、梯形内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；
③某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)180°.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
5．下列说法正确的有( )
①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
6．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85 x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
7．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均减少2.5个单位 B．y平均增加2个单位
C．y平均增加2.5个单位 D．y平均减少2个单位
8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲 B． 丁 C．丙 D．乙
9．在等高条形图中，两个比值________相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )
A.与 B.与 C.与 D.与
10．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程＝x＋必过( )
A．点(2,2) B．点(1.5,4) C．点(1,2) D．点(1.5,0)
11．已知相关指数R2＝0.83，则随机误差对总效应贡献了( )
A．17% B．83% C．27% D．38%
12．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
13．回归直线方程为y＝0.575x－14.9，则x＝100时，y的估计值为____________．
14．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．
15．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由其散点图知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋a，则a＝________.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an，n∈N*，试归纳猜想出Sn的表达式为____________．
三、解答题(本大题共5小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(10分)已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝
(n＝1,2,3，…)，(1)计算a2，a3，a4，(2)猜想数列的通项公式并证明
18.(10分)已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R＋，且有ax＝by＝cz和＋＝.求证：a，b，c顺次成等比数列．
19．(12分)为考察性别与是否喜欢喝酒之间的关系，在某地随机地抽取160人，其中男性80人，女性80人，女性中有20人喜欢喝酒，另外60人不喜欢喝酒，男性中有50人喜欢喝酒，另外30人不喜欢喝酒．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)判断性别与喝酒是否有关系．
20.(12分)某市5年的煤气消耗量y与使用煤气户数x的历史资料如下：
年份
2008
2009
2010
2011
2012
x/万户
1
1.1
1.5
1.6
1.8
y/万立方米
6
7
9
11
12
(1)检验y与x是否线性相关；
(2)求y关于x的线性回归方程；
(3)若市政府下一步再扩大2 000煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少．
21(12分)若a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，试用分析法或综合法证明：≥8.
22．(14分)今年春节黄金周，记者通过随机询问某景区110游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意(单位：名).
男
女
总计
满意
50
30
80
不满意
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．
2017—2018学年第二学期武威五中高二年级数学阶段性测试卷
参考答案
一、 选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
C
B
D
A
B
A
B
A
C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
13． 42.6 14． 6n＋2 15． 5.25 16. Sn＝
三、解答题(本大题共5小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(10分)已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝
(n＝1,2,3，…)，(1)计算a2，a3，a4，(2)猜想数列的通项公式
并证明
解析：(1)a1=1、a(n+1)=an/(1+an)
①a2=a1/(1+a1)=1/2
a3=a2/(1+a2)=(1/2)/(1+1/2)=1/3
a4=a3/(1+a3)=(1/3)/(1+1/3)=1/4
(2)猜想数列{an}的通项公式为an=1/n.
用数数归纳法证明.
证明：
1)n=1,则a1=1,命题成立.
2)假设n=k时命题成立,即ak=1/k.
3)当n=k+1时,
a(k+1)=ak/(1+ak)
=(1/k)/[1+1/k)
=(1/k)/[(k+1)/k]
=1/(k+1)
所以,n=k+1时,命题成立.
因此,通项公式为：an=1/n,n为正整数.
18.(10分)已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R＋，且有ax＝by＝cz和＋＝.求证：a，b，c顺次成等比数列．
证明：令ax＝by＝cz＝k>0，则有：x＝logak，y＝logbk，z＝logck.
因为＋＝，所以有＋＝.
所以＋＝，即lg a＋lg c＝2lg b，即有b2＝ac，所以a，b，c顺次成等比数列．
19．(12分)为考察性别与是否喜欢喝酒之间的关系，在某地随机地抽取160人，其中男性80人，女性80人，女性中有20人喜欢喝酒，另外60人不喜欢喝酒，男性中有50人喜欢喝酒，另外30人不喜欢喝酒．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)判断性别与喝酒是否有关系．
解析：(1)得到以下2×2列联表：
喜欢喝酒
不喜欢喝酒
总计
男
50
30
80
女
20
60
80
总计
70
90
160
(2)K2的观测值k＝＝22.857＞10.828.
利用列联表的独立性检验，有 99.9%的把握认为性别与喝酒有关系．
20.(12分)某市5年的煤气消耗量y与使用煤气户数x的历史资料如下：
年份
2008
2009
2010
2011
2012
x/万户
1
1.1
1.5
1.6
1.8
y/万立方米
6
7
9
11
12
(1)检验y与x是否线性相关；
(2)求y关于x的线性回归方程；
(3)若市政府下一步再扩大2 000煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少．
解析：(1)作散点图如下，观察呈线性正相关．
(2)＝，＝9，＝10.26，iyi＝66.4，
＝＝，
＝9－×＝－.
∴回归方程为＝x－.
(3)当x＝2时，y＝×2－＝≈13.4.
∴煤气量约达13.4万立方米．
21．(12分)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，试用分析法或综合法证明：≥8.
证明：证法一：(综合法)
＝
＝··
＝
≥＝8(当且仅当a＝b＝c时取等号)，所以不等式成立．
证法二：(分析法)
要证≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，所以只需证
··≥8成立，
即··≥8.
只需证··≥··＝8成立．
而··＝8显然成立，
∴≥8成立．
22．(14分)(2013·东莞二模)今年春节黄金周，记者通过随机询问某景区110游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意(单位：名).
男
女
总计
满意
50
30
80
不满意
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．
解析：(1)由题意知，样本中满意的女游客为×30＝3名，不满意的女游客为×20＝2名．
(2)记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为a1，a2，a3；对景区的服务不满意的2名女游客分别为b1，b2.从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本条件，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)．
其中事件A：选到满意与不满意的女游客各一名包含了6个基本事件，分别为(a1，b1)(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)．
所以所求概率P(A)＝＝.
(3)假设H0：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则k2应该很小．根据题目中列联表得：
k2＝＝≈7.486.
由P(k2≥6.635)＝0.010可知：有99%的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关．