高中数学必修2教案：第一章 章末复习提升 5页

‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．‎ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．‎ 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．‎ 这三种几何体都是多面体．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．‎ ‎(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．‎ ‎2．空间几何体的三视图与直观图 ‎(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；‎ 它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”‎ 的原则．‎ 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．‎ ‎(2)斜二测画法为：‎ 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．‎ 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．‎ ‎3．几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′‎ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′‎ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2‎ V＝πR3‎ 题型一　三视图与直观图 例1　将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　B 解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的投影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．‎ 跟踪演练1　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ 答案　B 解析　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合．‎ 题型二　几何体的表面积与体积 例2　如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积．‎ 解　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．‎ 设所求体积为V，显然三棱锥A′ABC的体积是V.‎ 而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，‎ 故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.‎ 跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 答案　A 解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．‎ 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.‎ 题型三　转化与化归思想 例3　如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．‎ 解　如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．‎ 连接MB′，P、Q分别为圆台的上、下底面的圆心．‎ 在圆台的轴截面中，‎ ‎∵Rt△OPA∽Rt△OQB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝.∴OA＝20(cm)．‎ 设∠BOB′＝α，‎ 由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，‎ 得2×10×π＝2×OB×π×，‎ 即20π＝2×(20＋20)π×，∴α＝90°.‎ ‎∴在Rt△B′OM中，‎ B′M＝＝＝50(cm)，‎ 即所求绳长的最小值为50 cm.‎ 跟踪演练3　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　)‎ A．10 cm B. cm C．5 cm D．5 cm 答案　B 解析　如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．‎ ‎∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.‎ ‎∴A′C＝＝ ＝5＝‎ (cm)．‎ 研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．‎ 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．‎