高中数学必修2教案：第四章 4_3_1-4_3_2空间两点间的距离公式 10页

‎4．3　空间直角坐标系 ‎4．3.1　空间直角坐标系 ‎4．3.2　空间两点间的距离公式 ‎[学习目标]　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式．‎ ‎[知识链接]‎ 在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为，两点间的距离为.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．空间直角坐标系 ‎(1)空间直角坐标系及相关概念 ‎①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．‎ ‎(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．‎ ‎2．空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．‎ ‎3．空间两点间的距离公式 ‎(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.‎ ‎(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎4．空间中的中点坐标公式 在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是.‎ 要点一　求空间中点的坐标 例1　建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．‎ 解　以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．‎ 由题意知，AO＝×2＝，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，‎ C1(0，－1,3)．‎ 规律方法　1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：‎ ‎(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；‎ ‎(2)充分利用几何图形的对称性．‎ ‎2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．‎ 跟踪演练1　画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．‎ ‎(1)求各顶点的坐标；‎ ‎(2)求棱C1C中点的坐标；‎ ‎(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．‎ 解　建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.‎ ‎(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，‎ A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)．‎ ‎(2)棱CC1的中点为M.‎ ‎(3)面AA1B1B对角线交点为N.‎ 要点二　求空间中对称点的坐标 例2　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．‎ ‎(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；‎ ‎(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；‎ ‎(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．‎ 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．‎ ‎(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．‎ ‎(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，‎ y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，‎ 所以P3(6，－3，－12)．‎ 规律方法　任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是 P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．‎ 求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．‎ 跟踪演练2　求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．‎ 解　如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)．‎ 过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，‎ 则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．‎ ‎∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；‎ 点A(1,2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．‎ ‎(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)‎ 要点三　空间中两点之间的距离 例3　已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．‎ ‎(1)求△ABC中最短边的边长；‎ ‎(2)求AC边上中线的长度．‎ 解　(1)由空间两点间距离公式得 ‎|AB|＝＝3，‎ ‎|BC|＝＝，‎ ‎|AC|＝＝，‎ ‎∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.‎ ‎(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.‎ ‎∴AC边上中线的长度为 ＝.‎ 规律方法　解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键．‎ 跟踪演练3　已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．‎ ‎(1)求P、Q之间的距离；‎ ‎(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.‎ 解　(1)|PQ|＝＝.‎ ‎(2)设M(0,0，z)由|MP|＝|MQ|，‎ 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，‎ ‎∴z＝－6.∴M(0,0，－6).‎ ‎1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　)‎ A．y轴上 B．xOy平面上 C．xOz平面上 D．第一象限内 答案　C 解析　点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 答案　A 解析　点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．‎ ‎3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　)‎ A．－3或4 B．6或2‎ C．3或－4 D．6或－2‎ 答案　D 解析　由题意得＝2解得x＝－2或x＝6.‎ ‎4．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．‎ 答案　(4,0，－1)‎ 解析　设中点坐标为(x0，y0，z0)，‎ 则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，‎ ‎∴中点坐标为(4,0，－1)．‎ ‎5．在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，－1)间的距离为________．‎ 答案　 解析　|AB|＝＝.‎ ‎1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．‎ ‎2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．‎ ‎3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．‎ 一、基础达标 ‎1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 答案　B 解析　由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．‎ ‎2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(　　)‎ A．9 B. C．5 D．2 答案　B 解析　由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.‎ ‎3．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为(　　)‎ A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)‎ C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)‎ 答案　C 解析　点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．‎ ‎4. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　)‎ A.a B.a C．a D.a 答案　B 解析　由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，‎ ‎∴E，则|EF|＝‎ ＝a.‎ ‎5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)则|AB|的最小值是(　　)‎ A．3 B．3 C．2 D．2 答案　B 解析　|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2‎ ‎＝5a2＋10a＋59‎ ‎＝5(a＋1)2＋54.‎ ‎∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.‎ ‎∴|AB|min＝＝3.‎ ‎6．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．‎ 答案　(0,0,3)‎ 解析　设P(0,0，c)，由题意得 ‎＝ 解之得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3). ‎ ‎7. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．‎ 解　根据已知条件可得|A1C1|＝2，‎ 由|MC1|＝2|A1M|，可得 ‎|A1M|＝，如图所示，‎ 以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1的中点可得N(1,2,2)．‎ ‎∴|MN|＝ ＝.‎ 二、能力提升 ‎8．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是(　　)‎ A. B．2 C. D．3‎ 答案　C 解析　BC的中点坐标为M(1,1,0)，‎ 又A(0,0,1)，∴|AM|＝＝.‎ ‎9．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设P(x，y，z)，由题意可知 ‎∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.‎ ‎10．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝________.‎ 答案　10‎ 解析　∵点B的坐标为B(2，－3，－5)，‎ ‎∴|AB|＝＝10.‎ ‎11. 如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．‎ 解　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，‎ ‎∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，‎ 由中点坐标公式可得，‎ D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，‎ ‎∴|DE|＝＝，‎ ‎|EF|＝＝.‎ 三、探究与创新 ‎12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长．‎ 解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．‎ 则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，‎ 设点E的坐标为(x，y,0)，‎ 在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1，‎ 即2x＋y－4＝0，又DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0.‎ 由得∴E(，，0)．‎ ‎∴|B1E|＝ ＝，‎ 即B1E的长为.‎ ‎13．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0