2021年中考数学专题复习 专题08 一元一次方程及其应用（学生版） 7页

专题 08 一元一次方程及其应用 一、方程与整式、等式的区别 (1)从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5，m＝n＝n＋m 等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知 数。两者缺一不可。 (2)从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用 运算符号连接起来，不含有等号。 (3)从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知 数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。 二、一元一次方程的概念 1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a≠0)。 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是 1 次； (3)整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等． 三、一元一次方程的解法 1.方程的同解原理(等式的基本性质) 性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 性质 2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式。 注意：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质 2，注意防止漏乘(尤其整数项)， 注意添括号。 (2)去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏 乘。 (3)移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式 基本性质 1，移项要变号，不移不变号。 (4)合并同类项。把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。 (5)系数化为 1。在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x＝b/a ,依据等式基本性质 2，计算要 仔细，分子分母勿颠倒。 说明：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0 时，方程有唯一解 x＝b/a ； ②a=0，b=0 时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0 时，方程无解。 四、列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： (1)审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。 (2)设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． (3)列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 (4)解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值． (5)答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 (1)行程问题：距离=速度·时间 (2)工程问题：工作量=工效·工时 (3)比率问题：部分=全体·比率 (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 (5)商品价格问题：售价=定价·折· 10 1 ，利润=售价-成本， %100   成本 成本售价 利润率 (6)周长、面积、体积问题： C 圆=2πR，C 长方形=2(a+b)，C 正方形=4a， S 圆=πR 2 ，S 长方形=ab， S 正方形=a 2 ，S 环形=π(R 2 -r 2 ), V 长方体=abc，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR2h ，V 圆锥= 3 1 πR2h. 【例题 1】(2020•重庆)解一元一次方程 (x+1)＝1 x 时，去分母正确的是( ) A．3(x+1)＝1﹣2x B．2(x+1)＝1﹣3x C．2(x+1)＝6﹣3x D．3(x+1)＝6﹣2x 【对点练习】解方程： (1)4﹣x=3(2﹣x)； (2) ． 【例题 2】(2020•杭州)以下是圆圆解方程 体 1 的解答过程．解：去分母，得 3(x+1)﹣2(x﹣3) ＝1． 去括号，得 3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【对点练习】(2019 湖南湘西)若关于 x的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ． 【例题 3】(2020•内江)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索 比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿， 绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳索长 x 尺．则符合题意的方程 是( ) A． x＝(x﹣5)﹣5 B． x＝(x+5)+5 C．2x＝(x﹣5)﹣5 D．2x＝(x+5)+5 【对点练习】(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合 伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是( ) A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． ＝ D． ＝ 【例题 4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”(出自《九章算术》)意思是：同 样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路 慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ (2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人走 多少步才能追上走路慢的人？ 【对点练习】(2019•湖南岳阳)岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕 土地面积比改造土地面积多 600 亩． (1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ (2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积 不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 一、选择题 1．(2020•金华)如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 x．则列出 方程正确的是( ) A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 C．3×20+x+5＝20x D．3×(20+x)+5＝10x+2 2.(2019▪贵州毕节)如果 3ab2m﹣1与 9abm+1是同类项，那么 m等于( ) A．2 B．1 C．﹣1 D．0 3.(2019•杭州)已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则( ) A．2x+3(72﹣x)＝30 B．3x+2(72﹣x)＝30 C．2x+3(30﹣x)＝72 D．3x+2(30﹣x)＝72 4．(2020 湖南长沙模拟)某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要 配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是 ( ) A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x 二、填空题 5．(2020•衢州)一元一次方程 2x+1＝3 的解是 x＝ ． 6．(2020•株洲)关于 x 的方程 3x﹣8＝x 的解为 x＝ ． 7．(2020•武威)暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填 上原价． 原价： 元 暑假八折优惠，现价：160 元 8.(2019•张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八 百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它 的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 9.方程﹣ (1﹣2x)= (3x+1)的解为___________. 10.(2019 贵州黔西南州)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销 该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元． 11.(2019▪贵州毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商 品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元． 12.(2019•湖南湘西州)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ． 三、解答题 13.解方程： 14．解方程 (1)4(x﹣1)﹣3(20﹣x)=5(x﹣2)； (2)x﹣ =2﹣ ． 15．(2020•攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 6 人，后来重新编组，每组 8人，这样就 比原来减少 2 组，问这些学生共有多少人？ 16．(2020•凉山州)解方程：x 1体 ． 17.(2019•甘肃)中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个 问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少 辆车？ 18.(2019 安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其 中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队 加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此 速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？