2021年九年级中考数学复习提分专练—几何压轴：圆的综合（一） 20页

2021 年九年级中考数学复习提分专练— 几何压轴：圆的综合（一） 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延 长线于 F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）如图 1，求证：KE＝GE； （2）如图 2，若 AC∥EF，试判断线段 KG、KD、GE 间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 sinE＝ ，AK＝2 ，求⊙O 的半径． 2．如图，AB、CD 为⊙O 的直径，弦 AE∥CD，连接 BE 交 CD 于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使∠PED＝∠C． （1）求证：PE 是⊙O 的切线； （2）求证：ED 平分∠BEP． 3．如图，已知 AC，BD 为⊙O的两条直径，连接 AB，BC，OE⊥AB 于点 E，点 F 是半径 OC 的 中点，连接 EF． （1）设⊙O 的半径为 1，若∠BAC＝30°，求线段 EF 的长． （2）连接 BF，DF，设 OB 与 EF 交于点 P， ①求证：PE＝PF． ②若 DF＝EF，求∠BAC 的度数． 4．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，OF⊥BC 于点 F，交⊙O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：CE2 ＝EH•EA； （3）若⊙O 的半径为 ，sinA＝ ，求 BH 的长． 5．已知，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O上，点 P是 AB 延长线上一点，连接 CP． （1）如图 1，若∠PCB＝∠A． ①求证：直线 PC 是⊙O的切线； ②若 CP＝CA，OA＝2，求 CP 的长； （2）如图 2，若点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，MN•MC＝9，求 BM 的值． 6．（1）初步思考： 如图 1，在△PCB 中，已知 PB＝2，BC＝4，N 为 BC 上一点且 BN＝1，试证明：PN＝ PC （2）问题提出： 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+ PC 的最小值． （3）推广运用： 如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B＝60°，圆 B的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个 动点，求 PD﹣ PC 的最大值． 7．如图，已知 AB 是⊙O 的弦，点 C 是弧 AB 的中点，D是弦 AB 上一动点，且不与 A、B 重合， CD 的延长线交于⊙O 点 E，连接 AE、BE，过点 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，∠ABC＝30°． （1）求证：AF 是⊙O 的切线； （2）若 BC＝6，CD＝3，则 DE 的长为 ； （3）当点 D 在弦 AB 上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范 围；如果不变，请求出其值． 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 边为直径作⊙O 交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于 点 E，ED、AC 的延长线交于点 F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若 EB＝ ，且 sin∠CFD＝ ，求⊙O的半径与线段 AE 的长． 9．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D作 DE⊥AB，垂足为 E，交 CA 的延长线于点 F． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若∠C＝30°，EF＝ ，求 EB 的长． 10．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP． （1）求证：直线 CP 是⊙O 的切线； （2）若 BC＝2 ，sin∠BCP＝ ，求点 B到 AC 的距离． 参考答案 1．解：（1）如图 1，连接 OG． ∵EG 为切线， ∴∠KGE+∠OGA＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠AKH+∠OAG＝90°， 又∵OA＝OG， ∴∠OGA＝∠OAG， ∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE， ∴KE＝GE． （2）KG2 ＝KD•GE，理由是： 连接 GD，如图 2， ∵AC∥EF， ∴∠C＝∠E， ∵∠C＝∠AGD， ∴∠E＝∠AGD， ∵∠GKD＝∠GKD， ∴△GKD∽△EKG， ∴ ， ∴KG2 ＝KD•EK， 由（1）得：EK＝GE， ∴KG2 ＝KD•GE； （3）连接 OG，OC，如图 3 所示， 由（1）得：KE＝GE． ∵AC∥EF ∴∠E＝∠ACH ∵sinE＝sin∠ACH＝ ， 设 AH＝3t，则 AC＝5t，CH＝4t， ∵KE＝GE，AC∥EF， ∴CK＝AC＝5t， ∴HK＝CK﹣CH＝t． 在 Rt△AHK 中，根据勾股定理得 AH2 +HK2 ＝AK2 ， 即（3t）2 +t2 ＝ ，解得 t＝ ． 设⊙O半径为 r，在 Rt△OCH 中，OC＝r，OH＝r﹣3t，CH＝4t， 由勾股定理得：OH2 +CH2 ＝OC2 ， 即（r﹣3t）2 +（4t）2 ＝r2 ，解得 r＝ t＝ ， 答：⊙O 的半径为 ． 2．证明：（1）连接 OE，如图， ∵CD 为直径， ∴∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°， ∵OC＝OE， ∴∠C＝∠CEO， ∴∠C+∠OED＝90°， ∵∠PED＝∠C． ∴∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°， ∴OE⊥PE， ∴PE 是⊙O 的切线； （2）∵AB 为直径， ∴∠AEB＝90°， 而 AE∥CD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠FED+∠EDF＝90°， 而∠C+∠EDC＝90°， ∴∠FED＝∠C， ∴∠PED＝∠FED， ∴ED 平分∠BEP． 3．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝ OA＝ ，AE＝EB＝ OE＝ ， ∵AC 是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB 是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝ AB＝ ． （2）①证明：过点 F 作 FG⊥AB 于 G，交 OB 于 H，连接 EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴ ＝ ＝ ，同理 ＝ ， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形 OEHF 是平行四边形， ∴PE＝PF． ②∵OE∥FG∥BC， ∴ ＝ ＝1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 4．（1）证明：如图 1 中， ∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB+∠DBF＝90°， ∴∠ABC+∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°， ∴BD⊥OB ， ∴BD 是⊙O 的切线； （2）证明：连接 AC，如图 2所示： ∵OF⊥BC， ∴ ＝ ， ∴∠CAE＝∠ECB， ∵∠CEA＝∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴ ＝ ， ∴CE2 ＝EH•EA； （3）解：连接 BE，如图 3 所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵⊙O的半径为 ，sin∠BAE＝ ， ∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5× ＝3， ∴EA＝ ＝4， ∵ ＝ ， ∴BE＝CE＝3， ∵CE2 ＝EH•EA， ∴EH＝ ， ∴在 Rt△BEH 中，BH＝ ＝ ＝ ． 5．（1）①证明：如图 1中， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠PCB＝∠A， ∴∠ACO＝∠PCB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即 OC⊥CP， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线． ②∵CP＝CA， ∴∠P＝∠A， ∴∠COB＝2∠A＝2∠P， ∵∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵OC＝OA＝2， ∴OP＝2OC＝4， ∴ ． （2）解：如图 2 中，连接 MA． ∵点 M 是弧 AB 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠ACM＝∠BAM， ∵∠AMC＝∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴ ， ∴AM2 ＝MC•MN， ∵MC•MN＝9， ∴AM＝3， ∴BM＝AM＝3． 6．（1）证明：如图 1， ∵PB＝2，BC＝4，BN＝1， ∴PB2 ＝4，BN•BC＝4． ∴PB2 ＝BN•BC． ∴ ＝ ． 又∵∠B＝∠B， ∴△BPN∽△BCP． ∴ ＝ ＝ ． ∴PN＝ PC； （2）如图 2，在 BC 上取一点 G，使得 BG＝1， （3）同（2）中证法，如图 3， 取 BG＝1， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PD﹣ PC 的最大值，最大值为 ． 7．（1）证明：如图 1 中，连接 AC，OC，OA． ∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO＝60°， ∵ ＝ ， ∴AB⊥OC， ∴∠OAD＝ ∠OAC＝30°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABC＝∠OAD， ∴OA∥BF， ∵AF⊥BF， ∴OA⊥AF， ∴AF 是⊙O 的切线． （2）解：∵ ＝ ， ∴∠CBD＝∠BEC， ∵∠BCD＝∠BCE， ∴△BCD∽△ECB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴EC＝12， ∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9． 故答案为 9． （3）解：结论： ＝ ， 的值不变． 理由：如图 2 中，连接 AC，OC，OC 交 AB 于 H，作 AN∥EC 交 BE 的延长线于 N． ∵ ＝ ， ∴OC⊥AB，CB＝CA， ∴BH＝AH＝ AB， ∵∠ABC＝30°， ∴BH＝ BC， ∴AC＝ AB， ∵CE∥AN， ∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°， ∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N， ∴∠N＝∠AEC，AE＝EN， ∵∠ACE＝∠ABN， ∴△ACE∽△ABN， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ 的值不变． 8．（1）证明：连结 OD，如图， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠B＝∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：在 Rt△ODF，sin∠OFD＝ ＝ ， 设 OD＝3x，则 OF＝5x， ∴AB＝AC＝6x，AF＝8x， 在 Rt△AEF 中，∵sin∠AFE＝ ＝ ， ∴AE＝ •8x＝ x， ∵BE＝AB﹣AE＝6x﹣ x＝ x， ∴ x＝ ，解得 x＝ ， ∴AE＝ × ＝6， OD＝3× ＝ ， 即⊙O的半径长为 ． 9．（1）证明：连接 OD，如图， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CO＝OD， ∴∠C＝∠CDO， ∴∠CDO＝∠B， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DF， 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠C＝30°， ∴∠AOD＝60°， 在 Rt△ODF 中，∠ODF＝90°， ∴∠F＝30°， ∴OD＝ OF， ∴AF＝OA＝OD， 在 Rt△AEF 中，∠AEF＝90°， ∵EF＝ ， ∴AE＝ EF＝1， ∴AF＝2AE＝2， ∴AC＝2OA＝4， ∴AB＝AC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3． 10．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ANC＝90°， ∴∠CAN+∠ACN＝90°，2∠BAN＝2∠CAN＝∠CAB， ∵∠CAB＝2∠BCP， ∴∠BCP＝∠CAN， ∴∠ACP＝∠ACN+∠BCP＝∠ACN+∠CAN＝90°， ∵点 D 在⊙O 上， ∴直线 CP 是⊙O 的切线； （2）如图，作 BF⊥AC ∵AB＝AC，∠ANC＝90°， ∴CN＝ CB＝ ， ∵∠BCP＝∠CAN，sin∠BCP＝ ， ∴sin∠CAN＝ ， ∴ ， ∴AC＝5， ∴AB＝AC＝5， 设 AF＝x，则 CF＝5﹣x， 在 Rt△ABF 中，BF2 ＝AB2 ﹣AF2 ＝25﹣x2 ， 在 Rt△CBF 中，BF2 ＝BC2 ﹣CF2 ＝2O﹣（5﹣x）2 ， ∴25﹣x2 ＝2O﹣（5﹣x）2 ， ∴x＝3， ∴BF2 ＝25﹣3 2 ＝16， ∴BF＝4， 即点 B 到 AC 的距离为 4．