人教版初一数学上学期 一元一次方程的应用题(2) 44页

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 一元一次方程的应用题(2)‎ 知识框架 基础知识点：‎ 知识点1用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；‎ ‎（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；‎ ‎（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；‎ ‎（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．‎ ‎（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；‎ ‎（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．‎ 知识点2 建立书写模型常见的数量关系 ‎1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。‎ 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 ‎2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。‎ ‎3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。‎ 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。‎ 知识点3 分析数量关系的常用方法 ‎ 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。‎ 例1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。‎ ‎【解析】设原十位数字为x，则百位数字为x+1，个位数字为3x－2‎ 依据题意，等量关系式为：原来三位数+变换后的三位数=1171‎ ‎100（x+1）+10x+（3x－2）+100（3x－2）+10x+（x+1）=1171 解得：x=3‎ 故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为3×3－2=7 三位数为：437‎ 译式法时最常见的列写等式方程的方法之一 ‎2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。‎ 例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？‎ ‎【解析】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系 售价（元）‎ 数量（支）‎ 售出总价（元）‎ 按标价出售 ‎6‎ ‎100－x ‎6（100－x）‎ 打折出售 ‎6×90%‎ x ‎6×90%x 设有x支钢笔打9折，则不打折的钢笔为（100－x）支 依据题意，等量关系式为：售出的费用－进货费用=利润 ‎6（100－x）+690% x－100=188 解得：x=20 答：有20支钢笔打折出售。‎ ‎3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。‎ 例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？‎ ‎【解析】在行程问题当中，我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系 设甲出发x秒后与乙相遇 依据题意，等量关系为：甲走的距离+乙走的距离=285‎ ‎8x+6（x－）=285 解得：x=21 答：甲出发21秒后与乙相遇 重难点题型 题型1 行程问题 解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：‎ ‎①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．‎ ‎②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．‎ ‎③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；‎ Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．‎ ‎（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．‎ ‎1.一般问题 ‎1．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5‎ 千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?‎ ‎【答案与解析】 ‎ 解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：‎ ‎4x+0.5＝5(x－0.5)，解得x＝3．‎ 所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．‎ 答：学校到县城的距离是12.5千米．‎ ‎【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．‎ ‎2．（2019·北京师大附中期中）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早2h到达B地.若设A、B两地间的路程是xkm,可列方程( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】先用含x的代数式分别表示出客车和卡车从A地到B地所用的时间，再根据客车比卡车早2h到达B地，即可列出方程.‎ ‎【解析】解：设A、B两地间的路程是xkm，则客车和卡车从A地到B地所用的时间分别为：小时、小时，根据题意，得：.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用之行程问题，解题的关键是正确理解题意、找准相等关系.‎ ‎3．（2020·全国单元测试）一辆汽车从甲地行驶到乙地，第一小时行驶了全程的，第二小时行驶了全程的，此时离乙地还有150千米的路程，设甲、乙两地间的距离为千米，则下列方程正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】本题首先利用含的式子将第一个小时与第二个小时所行驶的路程表示出来，继而根据剩余距离相距150千米列式．‎ ‎【解析】由已知得：第一个小时行驶路程为，第二个小时行驶路程为，‎ 故：，整理得：．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键在于理清题目所蕴含的数量 关系，继而按要求列式即可．‎ ‎2.相遇问题（相向问题） ‎ ‎1、小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.‎ ‎【解析】设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：‎ 解得：108．‎ 答：A、B两地间的路程为108千米.‎ ‎【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程．‎ ‎2．（2020·河北三河·初一期末）A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是( )‎ A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5‎ ‎【答案】A 分析：如果甲、乙两车是在环形车道上行驶，则本题应分两种情况进行讨论：‎ 一、两车在相遇以前相距50千米，在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程+乙的路程=（450-50）千米；‎ 二、两车相遇以后又相距50千米．在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程+乙的路程=450+50=500千米．已知车的速度，以及时间就可以列代数式表示出路程，得到方程，从而求出时间t的值．‎ ‎【解析】（1）当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450-50，解得：t=2；‎ ‎（2）当两车相遇后，两车又相距50千米时，‎ 根据题意，得120t+80t=450+50，解得t=2.5．故选A．‎ ‎3.（2020·全国单元测试）现有8位旅客要从60千米外的某地赶往火车站乘坐火车，此时离火车开车时间只有2小时20分，他们步行的速度是每小时5千米，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连同司机在内最多能乘坐5人，小汽车的平均速度是每小时75千米．‎ ‎（1）如果只有小汽车分两批来回接送，其他旅客在原地等待，这8位旅客都能赶上火车吗？为什么？ ‎ ‎（2）如果在小汽车接送第一趟4位旅客的同时，让其他旅客步行，小汽车到达火车站后，立即返回接送步行的旅客，第二趟旅客到达火车站时，离火车开车时间还有几分钟？‎ ‎【答案】（1）8位旅客不能都赶上火车，理由详见解析；（2）离火车开车时间还有8分钟．‎ ‎【分析】（1）求出汽车行驶180千米的时间与2小时20分钟比较即可解决问题． （2）若设汽车送第一批人返回与第二批人相遇的时间为xh，则此时根据小车和人共走的路程是60千米的2‎ 倍，即可列出方程，最后求出所用总时间即可．‎ ‎【解析】解：（1）小汽车从某地到火车站的时间为小时，即小时，‎ 小时＝2小时24分钟>2小时20分钟，所以8位旅客不能都赶上火车． ‎ ‎（2）设步行的旅客步行的时间为小时．根据题意可得：，解得：．‎ ‎（小时），小时＝2小时12分钟，‎ ‎2小时20分钟－2小时12分钟＝8分钟．答：离火车开车时间还有8分钟．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，要会根据路程=速度×时间这一公式找出正确的等量关系，难点在第二问，注意分段求解时间．‎ ‎4．（2020·山西浑源·初一期末）综合与实践：‎ 甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题：‎ ‎（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；‎ ‎（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程；‎ ‎（3）①在慢车从乙地开往甲地的过程中，直接写出快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）‎ ‎②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇，直接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．‎ ‎【答案】（1）4小时 （2）360千米或720千米 （3）①0≤x＜4时，840﹣210x；4≤x＜7时，210x﹣840；7≤x≤10时，90x ②小时 ‎【分析】（1）设慢车行驶的时间为x小时，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900，依此列出方程，求解即可； （2）当两车之间的距离为315千米时，分三种情况：①两车相遇前相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900-315；②两车相遇后相距315千米，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900+315；③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90=630＞315，此种情况不存在； （3）①分三种情况：慢车与快车相遇前；慢车与快车相遇后；快车到达乙地时； ②在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4+=小时，快车慢车行驶的时间为4++=5小时．设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，根据相遇时，快车行驶的路程+慢车行驶的路程=900‎ ‎，求出y的值，进而求解即可．‎ ‎【解析】解：（1）设慢车行驶的时间为x小时，由题意得120（x＋）＋90x＝900，解得x＝4．‎ 答：当快车与慢车相遇时，慢车行驶了4小时．‎ ‎（2）当两车之间的距离为315千米时，有两种情况：‎ ‎①两车相遇前相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900﹣315，解得x＝2.5． ‎ ‎120（x＋）＝360（千米）；‎ ‎②两车相遇后相距315千米，此时120（x＋）＋90x＝900＋315，解得x＝5.5． ‎ ‎120（x＋）＝720（千米）；‎ ‎③当快车到达乙地时，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，‎ ‎7×90＝630＞315，此种情况不存在．‎ 答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米；‎ ‎（3）①当慢车与快车相遇前，即0≤x＜4时，‎ 两车的距离为900﹣120（x＋）﹣90x＝840﹣210x；‎ 当慢车与快车相遇后，快车到达乙地前，即4≤x＜7时，‎ 两车的距离为120（x＋）＋90x﹣900＝210x﹣840；‎ 当快车到达乙地时，即7≤x≤10时，两车的距离为90x；‎ ‎②第二列快车比第一列快车晚出发小时．‎ 在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，慢车行驶的时间为4＋＝小时，‎ 快车行驶的时间为4＋＋＝5小时．‎ 设第二列快车行驶y小时与慢车相遇，由题意，得120y＋×90＝900，解得y＝4． ‎ ‎5﹣4＝（小时）．答：第二列快车比第一列快车晚出发小时．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．‎ ‎3.追及问题（同向问题）‎ ‎1．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18‎ 分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?‎ ‎【解析】解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，‎ 得，‎ 得：， 小时=10分钟．‎ 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．‎ ‎【点睛】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．‎ ‎2．（2020·全国初一课时练习）如图所示，两人沿着边长为90 m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以65 m/min的速度、乙从B点以75 m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的（ ）边上．‎ A．BC B．DC C．AD D．AB ‎【答案】C ‎【分析】设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇．‎ ‎【解析】设乙x分钟后追上甲，由题意得，75x−65x＝270，解得：x＝27，‎ 而75×27＝5×360＋2×90，即乙第一次追上甲是在AD边上．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的那条边上．‎ ‎3．（2020·湖南茶陵·初一期末）甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙．若设x秒后甲追上乙，列出的方程应为（　　）‎ A．7x=6.5 B．7x=6.5（x+2） C．7（x+2）=6.5x D．7（x﹣2）=6.5x ‎【答案】B ‎【解析】设x秒后甲追上乙，根据等量关系：甲x秒所跑的路程=乙x秒所跑的路程+乙2秒所跑的路程．‎ 列方程得：7x=6.5（x+2），故选B．‎ ‎【点睛】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．‎ ‎4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以6千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，以10千米/时的速度按原路追上去，用了15分钟追上了学生队伍，问通讯员出发前，学生走了多少时间？‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】设通讯员出发前，学生走x小时，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解．‎ ‎【解析】设通讯员出发前，学生走x小时，‎ 根据题意得：10×＝6×（x+）解得：x＝．答：学生走了小时．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键．‎ ‎5．（2020·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级班学生组成前队，步行速度为4千米小时，七班的学生组成后队，速度为6千米小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米小时．‎ 后队追上前队需要多长时间？后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？七年级班出发多少小时后两队相距2千米？‎ ‎【答案】（1）后队追上前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米 ‎【分析】(1) 设后队追上前队需要x小时，由后队走的路程=前队先走的路程+前队后来走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×时间可求联络员走的路程；(3)分三种情况讨论，列出方程求解即可．‎ ‎【解析】设后队追上前队需要x小时，根据题意得：，‎ 答：后队追上前队需要2小时；‎ 千米，答：联络员走的路程是20千米；‎ 设七年级班出发t小时后，两队相距2千米，‎ 当七年级班没有出发时，，‎ 当七年级班出发，但没有追上七年级班时，，，‎ 当七年级班追上七年级班后，，，‎ 答：七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论的思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ ‎6．（2019·山西浑源·初一期末）七年级开展迎新年“迷你小马拉松健身跑”活动，跑步路线为学校附近一段笔直的的健身步道，全长4200米．甲、乙两名同学相约健身，二人计划沿预定路线由起点A跑向终点B．由于乙临时有事，于是甲先出发，3分钟后，乙才出发．已知甲跑步的平均速度为150米/分，乙跑步的平均速度为200米/分．根据题意解决以下问题：（1）求乙追上甲时所用的时间；（2）在乙由起点A到终点B的过程中，若设乙跑步的时间为m分，请用含m的代数式表示甲乙二人之间的距离；（3）当乙到达终点B后立即步行沿原路返回，速度降为50米/分．直接写出乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离．‎ ‎【答案】（1）乙追上甲所用的时间为9分；（2）当0＜m＜9时，甲乙二人之间的距离为（450-50m）米；当9≤m≤21时，甲乙二人之间的距离为（50m-450）米；（3）150米 ‎【分析】（1）设乙追上甲所用的时间为x分,根据题意列出一元一次方程即可求解；（2）根据题意分m的取值即可求解；（3）设乙到达终点后，再过y分钟与甲相遇，根据题意列出一元一次方程，即可求解．‎ ‎【解析】解：（1）设乙追上甲所用的时间为x分． 根据题意，得 150x+150×3＝200x． 解得x＝9． ‎ 答：乙追上甲所用的时间为9分． ‎ ‎（2）由（1）可知乙追上甲所用的时间为9分，乙到达终点所需时间为4200÷200=21分钟；‎ ‎∴当0＜m＜9时，甲乙二人之间的距离为150(3+m)-200m=（450-50m）米；‎ 当9≤m≤21时，甲乙二人之间的距离为200m-150(3+m)=（50m-450）米． ‎ ‎（3）依题意可得乙到达终点所需时间为4200÷200=21分钟；‎ 所以甲的行驶的路程为150×（21+3）=3600米，距离终点4200-3600=600米，‎ 设乙到达终点后，再过y分钟与甲相遇，依题意可得50y+150y=600解得y=3‎ 故此时甲距离终点还有600-150×3=150米，‎ 答：乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离为150米．‎ ‎【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．‎ ‎4.航行问题（顺逆风问题） ‎ ‎1、一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．‎ ‎【解析】‎ 解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x－4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x－4)，解得：x=16，‎ ‎（16+4）×3=60（千米） ‎ 答：两码头之间的距离为60千米．‎ 解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：‎ 答：两码头之间的距离为60千米．‎ ‎【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．‎ ‎2．（2020·河北饶阳·初一期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-3小时，据此列出方程即可．‎ ‎【解析】解：设A港和B港相距x千米，由题意可得方程：，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．‎ ‎3．（2020·新疆初一期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．‎ ‎【答案】静水平均速度15千米/时．‎ ‎【分析】等量关系为：顺水时间×顺水速度=逆水的时间×逆水速度，把相应数值代入即可求解．‎ ‎【解析】解：设船在静水中的平均速度是v千米/时．则：2（v+3）=3（v-3）解得：v=15．‎ 答：船在静水中的平均速度是15千米/时．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．‎ ‎5.其他问题 ‎1、某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．‎ ‎【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．‎ ‎【解析】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：‎ ‎，解得：x＝300，所以．‎ 答：火车的长度是300m，车速是30m/s．‎ ‎【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：‎ ‎(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．‎ ‎(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． ‎ ‎2．（2020·江西南昌·初一期末）如图，时钟是我们常见的生活必需品，其中蕴含着许多数学知识.‎ ‎（1）我们知道，分针和时针转动一周都是 度，分针转动一周是 分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动 度，时针每分钟转动 度.‎ ‎（2）从5:00到5:30，分针与时针各转动了多少度？‎ ‎（3）请你用方程知识解释：从1:00开始，在1:00到2:00之间，是否存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上？若不存在，说明理由；若存在，求出从1:00开始经过多长时间，时针与分针在同一条直线上.‎ ‎【答案】（1）360，60，6，0.5.（2）15°；（3）经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.‎ ‎【分析】（1）利用钟表盘的特征解答.表盘一共被分成60个小格，每一个小格所对角的度数是6°；‎ ‎（2）从5:00到5:30，分针转动了30个格，时针转动了2.5个格，即可求解；‎ ‎（3）时针与分针在同一条直线上，分两种情况：①分针与时针重合；②分针与时针成180°，‎ 设出未知数，，列出方程求解即可.‎ ‎【解析】解：（1）分针和时针转动一周都是360度，分针转动一周是60分钟，时针转动一周有12小时，等于720分钟；所以，分针每分钟转动360°÷60=6度，时针每分钟转动360°÷720=0.5度. ‎ 故答案为360，60，6，0.5.‎ ‎（2）从5:00到5:30，分针转动了：6°×30=180°，时针转动了6°×2.5=15°；‎ ‎（3）从1:00开始，在1:00到2:00之间，存在某个时刻，时针与分针在同一条直线上.‎ 设x分钟分针与时针重合，则，0.5+30°=6x解得 ‎ 设y分钟分针与时针成180°，0.5y+30°+180°=6y解得 ‎ ‎∴经过分钟或分钟时针与分针在同一条直线上.‎ 点睛：本题考查了钟面角及一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.‎ ‎3．（2020·江西赣州·）如图，是小虔和小刚两位同学进行一次长跑训练的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象，根据图象解下列问题 ‎（1）这次长跑训练的距离是 米（2）当小虔到达终点时，小刚离终点还有多远？（3）两人起跑后，多少时间第一次相遇？‎ ‎【答案】（1）800；（2）80米；（3）两人起跑后80秒第一次相遇 ‎【分析】（1）根据图像可以直接得出；（2）根据图像可知，小刚第三段路程的速度为：，则剩余路程为：；（3）先求出小虔的速度和小刚第二段路程的速度，再设经过x秒两人第一次相遇，根据题意列出方程解答即可．‎ ‎【解析】解：（1）根据图像可知，这次长跑训练的距离是800米． ‎ ‎（2）小刚第三段路程的速度为：（米/秒）‎ ‎∴当小虔到达终点时，小刚离终点还有：（米）．‎ ‎（3）小虔的速度为：（米/秒）‎ 小刚第二段路程的速度为：（米/秒）‎ 设经过x秒两人第一次相遇，根据题意得：， 解得（秒）．‎ 答：起跑后经过80秒两人第一次相遇．‎ ‎【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的运用，理解题目意思并能列出一元一次方程是解答本题的关键．‎ ‎4．（2019·云南楚雄·初一期末）周末小新去爬山，他上山花了0.8小时，下山时按原路返回，用了0.5小时，已知他下山的平均速度比上山的平均速度快1.5千米/时，求小新上山时的平均速度．‎ ‎【答案】2.5千米/时.‎ ‎【分析】设小新上山时的平均速度为x千米/时，则下山时的平均速度为（x+1.5)千米/时，根据路程=速度×时间结合上山和下山路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，从而得出结论．‎ ‎【解析】解：设小新上山时的平均速度为x千米/时，则下山时的平均速度为(x+1.5)‎ 千米/时，依题意，得0.8x=0.5(x+1.5)﹐解得x=2.5.‎ 答：小新上山时的平均速度为2.5千米/时.‎ ‎【点睛】本题考查简单的行程问题，结合平均速度进行分析与理解并以此建立方程求解即可.‎ ‎5．（2020·全国）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为千米小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米小时，设客车行驶时间为小时 当时，客车与乙城的距离为多少千米用含a的代数式表示 已知，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米 求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；列方程解答 已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：‎ 方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；‎ 方案二：在M处换乘客车返回乙城．‎ 试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？‎ ‎【答案】客车与乙城的距离为千米；客车的行驶时间是小时或小时；‎ 小王选择方案二能更快到达乙城 ‎【分析】第一问用代数式表示，第二问中用到了一元一次方程的知识，也用到了相遇的知识，要求会画图形，数形结合更好的解决相遇问题．‎ ‎【解析】当时，客车与乙城的距离为千米；‎ 解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是t小时 ‎  a：当客车和出租车没有相遇时  解得：‎ ‎   b：当客车和出租车相遇后   解得：‎ ‎   当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是小时或小时 小王选择方案二能更快到达乙城解：设客车和出租车x小时相遇 ，‎ ‎ 此时客车走的路程为350km，出租车的路程为450km丙城与M城之间的距离为90km ‎  方案一：小王需要的时间是 ‎  方案二：小王需要的时间是 小王选择方案二能更快到达乙城．‎ ‎【点睛】本题的关键是列方程和画相遇图，并且会分类讨论的思想．‎ 题型2工程问题 解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。‎ 工程问题（多个未知数）‎ 解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。‎ ‎1．（2020·全国初一课时练习）某地为了打造千年古镇旅游景点，将修建一条长为的旅游大道.此项工程由、两个工程队接力完成，共用时20天.若、两个工程队每天分别能修建、，设工程队修建此项工程，则可列方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据工程队修建此项工程÷修建速度＋B工程队修建此项工程（3600-x）m÷修建速度= 20天.列出方程即可.‎ ‎【解析】设工程队修建此项工程，则B工程队修建此项工程（3600-x）m，‎ 由题意，得故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查一元一次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．‎ ‎2．（2020·湖北广水·初一期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天．若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成，则甲、乙一共用几天可以完成全部工作？设甲、乙一共用x天完成，则符合题意的方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 分析：首先理解题意找出题中的等量关系:甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量,根据此列方程即可.‎ ‎【解析】设甲、乙共有x天完成,则甲单独干了（x-22）天,本题中把总的工作量看成整体1,则甲每天完成全部工作的,乙每天完成全部工作的.根据等量关系列方程得: ＋＝1,故选A..‎ 点睛：本题考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系,有的题目所含的等量关系比较隐藏,要注意仔细审题,耐心寻找.‎ ‎3．（2020·广西兴宁·南宁三中初三三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 ‎【答案】C ‎【解析】设第一天走了x里，则根据题意知，解得x=192，‎ 故最后一天的路程为里.故选C ‎4．（2020·丹东市第二十中学初二期中）一项工程，甲独做ah完成，乙单独做bh完成，甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为（　　）‎ A．h B．（a+b）h C．h D．h ‎【答案】D ‎【分析】设工作总量为单位“1”，分别表示出甲乙的工作效率，再根据工作总量=工作效率×‎ 工作时间建立方程即可求解．‎ ‎【解析】解：设工作总量为单位“1”， 设甲、乙两人一起完成这项工程所需的时间为 ‎∵甲独做ah完成，乙单独做bh完成∴甲乙的工作效率分别为 ‎ 根据题意可得：解得：故答案选：D ‎【点睛】本题考查一元一次方程工程问题，将工作总量设为单位“1”以及建立等量关系是解题关键．‎ ‎5．（2020·深圳市高级中学初一期末）一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成.若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作的.若设甲一共做了x天，则所列方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】题目默认总工程为1，设甲一共做x天，由于甲先做了1天，所以和乙合作做了（x-1）天，根据甲的工作量+乙的工作量=总工作量的四分之三，代入即可.‎ ‎【解析】由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为 设甲一共做了x天，乙做了（x-1）天∴列出方程： 故选B ‎【点睛】本题考查一元一次方程的应用，工程问题的关键在于利用公式：工程量=工作时间×工作效率.‎ ‎6．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）列方程解应用题：‎ 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完．‎ ‎【答案】６小时，过程见详解．‎ ‎【分析】设还需小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答即可．‎ ‎【解析】解：设还需小时可以抽完，由题意得：‎ ‎，解得：，答：还需6小时可以抽完．‎ ‎【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎7．（2020·四川汶川·初一期末）‎ 某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两修理组，甲修理组单独完成任务需要天，乙修理组单独完成任务需要天．若由甲、乙两修理组同时修理，需多少天可以修好这些套桌椅?若甲、乙两修理组合作天后，甲修理组因新任务离开，乙修理组继续工作．甲完成新任务后，回库与乙又合作天，恰好完成任务．问:甲修理组离开几天?‎ ‎【答案】（1）8天；（2）6天．‎ ‎【分析】（1）根据题意得出甲、乙两修理组的工作效率，列出方程即可； （2）设甲修理组离开y天，根据题意列方程即可得到结论；‎ ‎【解析】（1）解：设两组同时修理需要x天可以修好这些桌椅，‎ 由题意得：（+ ）x = 1解这个方程得：x = 8‎ 答：两组同时修理需要8天可以修好这些桌椅．‎ ‎（2）解：设甲中途离开了y天，由题意得：（+ ） = 1‎ 解这个方程得：x =6 答：甲修理组离开了6天．‎ ‎【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．‎ ‎8．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷个房间，乙工程队每天能粉刷个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用元，付乙工程队每天费用元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的倍还多天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案:‎ 方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（3）问方式完成；‎ 请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．‎ ‎【答案】（1）间；（2）天；（3）选择方案三既省时又省钱．‎ ‎【分析】（1）设乙队要刷天，利用甲乙粉刷的房间数一样列方程求解，从而可得答案；‎ ‎（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，利用各部分的工作量之和等于总工作量列方程，从而解方程可得答案；‎ ‎（3）先分别计算三种方案的完成工作的工作时间，分别计算出三种情况下的费用，比较以后可得结论．‎ ‎【解析】解：（1）设乙队要刷天，‎ 根据题意得:，解得（间），‎ 答:这个小区共有间房间．‎ ‎（2）设甲工程队粉刷天，则乙工程队粉刷天，‎ 根据题意得：，‎ 解得（天），答：乙工程队共粉刷天．‎ ‎（3）方案一：由甲工程队单独完成需要时间和费用:（天)，（元）‎ 方案二：由乙工程队单独完成需要天，费用：（元），‎ 方案三：按（2）问方式完成需要时间为天，‎ 费用：（元）‎ 且，方案三最合适，‎ 答：选择方案三既省时又省钱．‎ ‎【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，以及最优化的选择问题，掌握以上知识是解题的关键．‎ ‎9．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修16辆，乙每天维修的车辆比甲多8辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用20天，公司每天付甲80元维修费，付乙120元维修费．‎ ‎（1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？‎ ‎（2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种维修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱，为什么？‎ ‎【答案】（1）960辆；（2）方案三最省钱，理由见详解.‎ ‎【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲乙单独修完共享单车的数量相同，列方程求解即可；‎ ‎（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案．‎ ‎【解析】解：（1）设乙单独做需要x天完成，则甲单独做需要（x+20）天，由题意可得：‎ ‎16（x+20）=（16+8）x，解得：x=40，‎ 总数：（16+8）×40=960（辆），∴这批共享单车一共有960辆；‎ ‎（2）方案一：甲单独完成：60×80+60×10=5400（元），‎ 方案二：乙单独完成：40×120+40×10=5200（元），‎ 方案三：甲、乙合作完成：960÷（16+24）=24（天），‎ 则一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元），‎ ‎∵，∴方案三最省钱．‎ ‎【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．‎ ‎10．（2020·全国初一课时练习）松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元．‎ ‎（1）这批校服共有多少件？‎ ‎（2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？‎ ‎（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．‎ ‎【答案】（1）960件（2）28天（3）方案三 ‎【分析】（1）由题意设这批校服共有x件，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；‎ ‎（2）根据题意设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天，并根据题意建立一元一次方程进行求解即可；（3）根据题意分别计算三种方案所需的时间与费用，并进行比较即可得出答案．‎ ‎【解析】解：（1）设这批校服共有x件．由题意，得．解得．‎ 答：这批校服共有960件．‎ ‎（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天．依题意得 ‎．解得．．‎ 答：乙工厂共加工28天．‎ ‎（3）①方案一：需要耗时（天），费用为（元）；‎ ‎②方案二：需要耗时（天），费用为（元）；‎ ‎③方案三：甲工厂耗时12天，乙工厂耗时28天，故需要耗时28天，‎ 费用为（元）．综上，方案三既省时又省钱．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题干并依据题干条件建立一元一次方程求解是解题的关键．‎ 题型3 浓度问题 解题技巧：糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。列写等式方程，需要分别算清溶质和溶液的质量，在利用溶度问题的一些等量关系列写方程。 溶液=溶质+溶剂 溶度=溶质质量/溶液质量 ‎1．（2020·全国单元测试）把浓度为的酒精150升加水升稀释为的酒精，下列所列方程中，不正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据不同的等量关系逐一分析即可得出结论．‎ ‎【解析】若根据稀释前后酒精溶液中纯酒精列等量关系式可得：，故A正确；‎ 若根据稀释前后酒精溶液中的水列等量关系式可得：‎ 即，故C正确；‎ 若根据浓度公式列等量关系式可得：，故D正确。故B不正确故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．‎ ‎2．（2020·湖北荆州·初三一模）防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75％的酒精．现有一瓶浓度为95％的酒精500ml，需将其加入适量的水，使浓度稀释为75％．设加水量为xml，可列方程为( )‎ A．75％x＝95％×500 B．95％x＝75％×500 C．75％（500＋x）＝95％×500 D．95％（500＋x）＝75％×500‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据稀释前后纯酒精的量不变列方程即可．‎ ‎【解析】设加水量为xml，则稀释前纯酒精的量为95％×500，稀释后纯酒精的量为75％（500＋x），根据稀释前后纯酒精的量不变可得：75％（500＋x）＝95％×500．故选：C．‎ ‎【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是设未知数，根据题意找出等量关系：稀释前后纯酒精的量不变列方程．‎ ‎3．（2020·全国）两瓶酒精，甲瓶有升，浓度未知；乙瓶有升，浓度，从甲瓶中倒入乙瓶升酒精，摇匀后倒回一部分给甲瓶，此时甲瓶浓度为，乙瓶浓度为，此时乙瓶中有酒精（ ）升．‎ A．5 B．6.3 C．5.25 D．5.6‎ ‎【答案】C ‎【分析】设甲瓶酒精浓度为x%，根据从甲瓶中倒入乙瓶10升酒精，乙瓶浓度为35%，可得方程求出甲瓶酒精浓度；设倒入甲瓶的酒精为y升，根据甲瓶混合后浓度为37.5%，可得方程求出倒入甲瓶的酒精的升数，从而求出乙瓶中有酒精的升数．‎ ‎【解析】设甲瓶酒精浓度为x%，则倒入乙瓶的酒精为10x%，混合后乙瓶的浓度为：‎ ‎%=35%，解得：x=40，‎ 设倒入甲瓶的酒精为y升：混合后浓度为37.5%，5×40%+35%y=37.5%（5+y），解得y=5，‎ 则乙瓶剩下15升酒精，纯酒精为：15×35%=5.25升，此时乙瓶有纯酒精5.25升，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求出甲瓶原来酒精浓度和乙瓶摇匀后倒回甲瓶的酒精的升数，有一定的难度．‎ ‎4．（2020·湖南宁乡·初三一模）某药店在防治新冠病毒期间，市场上抗病毒用品紧缺的情况下，将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的14%，则该药品现在降价的幅度是（　　）‎ A．43% B．45% C．57% D．55%‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到该药品现在降价的幅度，本题得以解决．‎ ‎【解析】解：设该药品现在降价的幅度为x，原来的价格为a元，‎ a（1+100%）（1﹣x）＝a（1+14%），解得，x＝43%，故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．‎ ‎5．（2019·浙江杭州·中考模拟）今有浓度分别为 3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水 50 千克、70 千克、60 千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为 7%的盐水 100 千克，则丙种盐水最多可用_________千克．‎ ‎【答案】50‎ ‎【分析】可设乙、丙三种盐水各用了x，y千克，则甲用了千克，盐的浓度=盐的质量与盐水总质量之比，根据题意可得，化简即可确定y的最大值.‎ ‎【解析】解：设乙、丙三种盐水各用了x，y千克，则甲用了千克，根据题意可得，化简得，即，所以y的最大值为50，丙种盐水最多可用50千克.故答案为：50‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键.‎ ‎6．（2019·上海上外附中初一期末）有的盐水克，若要使盐水浓度变为，则需要再加入盐___________克．‎ ‎【答案】5‎ ‎【分析】设需要加盐x克，则依据题意即可列方程求解．‎ ‎【解析】解：设需加盐x克，根据题意可得：40×10%+x=(40+x)×20%，解得：x=5．故答案为5．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对于浓度问题的理解和灵活应用，解答此题的关键是明白，盐和盐水的重量都发生了变化.‎ ‎7．（2020·北京石景山·初三一模）阅读下列材料：2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家议论的重点内容之一．‎ 北京自1984年开展大气监测，至2012年底，全市已建立监测站点35个.2013年，北京发布的首个年均浓度值为89.5微克/立方米．2014年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值达到了国家新的空气质量标准；二氧化氮、、年均浓度值超标，其中年均浓度值为85.9微克/立方米．2016年，北京空气中的二氧化硫年均浓度值远优于国家标准；二氧化氮、、的年均浓度值分别为48微克/立方米、92微克/立方米、73微克/立方米．与2015年相比，二氧化硫、二氧化氮、年均浓度值分别下降28.6%、4.0%、9.8%；年均浓度值比2015年的年均浓度值80.6微克/立方米有较明显改善．（以上数据来源于北京市环保局）根据以上材料解答下列问题：（1）2015年北京市二氧化氮年均浓度值为　 　微克/立方米；（2）请你用折线统计图将2013﹣2016年北京市的年均浓度值表示出来，并在图上标明相应的数据．‎ ‎【答案】（1）50；（2）2013﹣2016年北京市的年均浓度值折线统计图见解析.‎ ‎．‎ ‎【解析】解：（1）设2015年北京市二氧化氮年均浓度值为微克/立方米，根据题意，得 ‎，解得，故答案为：50；‎ ‎（2）2013﹣2016年北京市的年均浓度值折线统计图 ‎【点睛】本题主要考查了对于浓度问题的理解和灵活应用，解答此题的关键是列出关于的一元一次方程是解题的关键．‎ 题型4 比赛积分问题 解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。‎ 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 ‎1．（2020·四川顺庆·初一期末）某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少．‎ ‎【答案】这个队胜9场，负7场．‎ ‎【分析】首先设这个队胜x场，则负了（16－x）场，然后根据所得的分数列出一元一次方程，从而进行求解得出答案．‎ ‎【解析】解：设这个队胜x场，则负了（16－x）场，根据题意可得：2x+（16－x）=25‎ 解得：x=9 则16－x=16－9=7答：这个队胜9场，负7场．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的应用．‎ ‎2．（2020·全国初一课时练习）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：设小强胜了x盘，则父亲胜了（10﹣x）盘，‎ 根据题意得：3x=2（10﹣x），解得：x=4．答：小强胜了4盘．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，一般步骤是： ①审题，找出已知量和未知量；②设未知数，并用含未知数的代数式表示其它未知量；③找等量关系，列方程；④解方程；⑤检验方程的解是否符合题意并写出答案.‎ ‎3．（2020·四川遂宁·初一期末）足球比赛的计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负1场积0分． 初三．（1）班在校足球联赛中踢了17场，其中负4场，共积31分，那么这支足球队胜了______场．‎ ‎【答案】9‎ ‎【分析】设这支足球队胜了x场，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．‎ ‎【解析】设这支足球队胜了x场，根据题意得， ，‎ 解得 ，故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．‎ ‎4．（2020·山东河口·初一期末）一次新冠病毒防疫知识竞赛有25道题，评委会决定：答对一道题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次知识竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），那么小明至少答对了__________道题．‎ ‎【答案】22‎ ‎【分析】将答对题数所得的分数减去打错或不答所扣的分数，在由题意知小明答题所得的分数大于等于85分，列出不等式即可．‎ ‎【解析】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有（25-x）道题，由题意得 4x-（25-x）×1=85，解得x=22， 答：小明至少答对了22道题，故答案为：22.‎ ‎【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题尤其要注意所得的分数是答对题数所得的分数减去打错或不答所扣的分数．‎ ‎5．（2020·全国课时练习）一名篮球运动员在一次比赛中20投12中得24分，投中的两分球的个数是投中三分球个数的4倍，则投中的三分球、两分球、罚球分别是几个？‎ ‎【答案】三分球2个，两分球8个，罚球2个 ‎【分析】设运动员三分球投中x球，则两分球投中4x球，罚球投中（12-x-4x）球，根据24分列出方程，求出方程的解即可得到结果．‎ ‎【解析】解：设运动员三分球投中x球，则两分球投中4x球，罚球投中（12-x-4x）球，， 根据题意得：3x+2×4x+14-x-4x=24，整理得：2x+8x+14-5x=24， 移项合并得：x=2，∴4x=8，12-x-4x=2， 则该运动员三分球投中2球，两分球投中8球；罚球投中2球．‎ ‎【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎6．（2020·全国初一课时练习）为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.‎ 代表队 场次（场）‎ 胜（场）‎ 平（场）‎ 负（场）‎ 积分（分）‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎16‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎18‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎（1）本次比赛中，胜一场积______分；（2）参加此次比赛的代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分，请你求出代表队胜出的场数.‎ ‎【答案】(1)3；(2)7‎ ‎【分析】(1)根据B代表队的积分情况可直接得出胜一场的积分情况(2)先根据A,B,C,D代表队的积分情况分别算出胜一场，平一场，负一场各自的积分情况，再列一元一次方程求解即可.‎ ‎【解析】解：(1)根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：（分）‎ ‎(2)由A代表队的积分情况得出平一场的积分情况：（分）‎ 由C代表队的积分情况得出负一场的积分情况：（分）‎ 设代表队胜出的场数为x，则平场为（9-x）场，列方程得：3x+1(9-x)=23解方程得：x=7‎ 答：代表队胜出的场数为7场.‎ ‎【点睛】本题是典型的比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键.‎ ‎7．（2020·全国初一课时练习）盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：‎ 院系篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 ‎22‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎34‎ ‎22‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎36‎ ‎22‎ ‎0‎ ‎22‎ ‎22‎ 盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：‎ ‎（1）从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积______分 ‎（2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．‎ ‎【答案】(1) 1 ， 2；(2)胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍.‎ 分析：（1）由表中最后一行的信息可知，22场全负积分为22，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分；（2）设该队胜了场，则该队负了场，胜的场次共积 分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案.‎ ‎【解析】（1）由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分，∴负一场的积分为：22÷22=1（分）；‎ 设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：，解得：，∴胜一场积2分；‎ ‎（2）设该队胜了场，根据题意可得：，解得：，‎ ‎∴若某队赛完全部22场，胜了11场，则该队的胜场积分是负场积分的2倍.‎ 答：若该队在22场比赛中胜了11场，则其胜场积分是负场积分的2倍.‎ ‎8．（2019·安徽淮南·初一月考）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分．‎ ‎（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场；‎ ‎（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分；‎ ‎（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标．‎ ‎【答案】（1）5；（2）35分；（3） 3场．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】解：（1）设这个球队胜x场，则平（8-1-x）场，依题意可得3x+（8-1-x=17解得x=5；‎ ‎（2）打满14场最高得分17+（14-8）×3=35（分）；‎ ‎（3）由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于（12分）即可，所以胜场不少于4场，一定可达到预定目标．而胜3场，平3场，正好也达到预定目标．因此在以后的比赛中至少要胜3场．‎ 答：（1）这支球队共胜了5场；（2）最高能得35分；（3）至少胜3场．‎ ‎9．（2020·河南嵩县·初一期中）在学完“有理数的运算”后，我县某中学七年级每班各选出5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分．（1）如果七年级一班代表队最后得分为190分，那么七年级一班代表队回答对了多少道题？（2）七年级二班代表队的最后得分有可能为142分吗？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）48道；（2）不可能，理由见解析 ‎【分析】（1）由题意可得七年级一班代表队回答对了x道题，那么得分为4x分，扣分为（50-x）分．根据七年级一班代表队最后得分为190分列出方程求解；（2）设七年级二班代表队答对了y道题，根据最后得分为142分列出方程，若结果为正整数解则能，否则不能．‎ ‎【解析】解：（1）设七年级一班代表队回答对了x道题， ‎ 根据题意列方程：4x﹣（50﹣x）=190， 解这个方程得：x=48． ‎ 故七年级一班代表队回答对了48道题．‎ ‎（2）七年级二班代表队的最后得分不可能为142分．理由如下：‎ 七年级二班代表队答对了y道题，根据题意列方程：4y﹣（50﹣y）=142，解这个方程得：y=38．‎ 因为题目个数必须是自然数，即y=38不符合该题的实际意义，‎ 所以此题无解．即七年级二班代表队的最后得分不可能为142．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是在解应用题时，答案必须符合实际问题的意义．‎ ‎10．（2020·浙江衢州·初一期中）某电台组织知识竞赛，共设置道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了个参赛者的得分情况.若参赛者得分，则他答对了__________道题.‎ 参赛者 答对题数 答错题数 得分 ‎【答案】17‎ ‎【分析】由参赛者A的得分就可以得出答对一题的得5分，再由参赛者B，C可知，答错一题扣1分；‎ 设答对的题有x题，则答错的有（20-x）题，根据答对的得分-答错题的得分=82分，建立方程求出其解即可；‎ ‎【解析】由参赛者A的得分就可以得出答对一题的得5分，再由参赛者B，C可知，答错一题扣1分；‎ 设答对的题有x题，则答错的有（20-x）题，所以5x-（20-x）=82解得x=17故答案为：17.‎ ‎【点睛】考核知识点：一元一次方程的与比赛问题.理解题意，求出积分规则是关键.‎ 题型5 一元一次方程之数轴动点问题 ‎1．（2020·全国初一课时练习）如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是40．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍少4个单位长度/秒，经过5秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为______个单位长度/秒．‎ ‎【答案】4或36‎ ‎【分析】根据AB=60，AC=2AB，得出AC=120，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可．‎ ‎【解析】解：．‎ 因为点对应的数是40，所以点对应的数是．‎ 假设点的速度为个单位长度/秒，则秒后点表示的数为，‎ 点表示的数为：，点表示的数为：．，，‎ 当时，由，得：．‎ 有两种情况：，解得：．‎ 或，解得：．‎ ‎∴或20．则或36．故答案为：4或36．‎ ‎【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．‎ ‎2.（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．（1）B点表示的数是　 　；（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．‎ ‎【分析】（1）由OA＝3，得出AB＝6AO＝18，OB＝AB﹣OA＝15，即可得出结果；‎ ‎（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝15﹣2x，由题意得2x+3＝3（15﹣2x），解得x＝，则PO＝2×＝；‎ ‎（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得t＝12．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A表示的数是3，∴OA＝3，∴AB＝6AO＝18，∴OB＝AB﹣OA＝15，‎ ‎∵点B在原点的左侧，∴B点表示的数是﹣15；故答案为：﹣15；‎ ‎（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝18﹣（2x+3）＝15﹣2x，‎ 由题意得：2x+3＝3（15﹣2x），解得：x＝，∴PO＝2×＝，‎ 即经过秒钟后PA＝3PB，此时P点在数轴上对应的数为﹣；‎ ‎（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得：t＝12，‎ ‎∴运动时间为12秒时，PM＝PN．‎ ‎【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题和数轴等知识；正确理解题意列出方程是解题的关键．‎ ‎3.（2019•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0‎ ‎（1）直接写出a、b的值；（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．‎ ‎【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；‎ ‎（3）利用P点和Q点的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解．‎ ‎【答案】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，‎ 解得a＝4，b＝16．答：a、b的值为4、16．‎ ‎（2）设P运动的时间为t1秒，P表示的数为x．根据题意，得 ‎①当P点在A、B之间时，x﹣4＝3（16﹣x）解得x＝13．‎ ‎3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9∴t1＝3．‎ ‎②当P点在B点右侧时，x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，‎ ‎∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6‎ 答：P运动的时间为3或6秒，P表示的数为13或22．‎ ‎（3）设点P、Q同时出发运动时间为t2秒，则P对应的数为（t2+10）．根据题意，得 t2+10+3t2﹣32＝36﹣16解得t2，t2+10．答：P点对应的数．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离、非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间距离找等量关系．‎ ‎4.(2019•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．（1）A，B两点对应的数分别为a＝　 　b＝　 　（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数　 　表示的点重合：（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/‎ 秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性和为0求出a、b；‎ ‎（2）计算点A点B间的距离找到折叠点表示的数，确定与点O重合的点表示的数；‎ ‎（3）法一：分类讨论，根据相遇问题列方程解题；‎ 法二；根据数轴上两点间的距离公式解题；‎ ‎（4）设t秒后AP+2OB﹣OP为定值，计算AP+2OB﹣OP，确定t的值及定值．‎ ‎【答案】解：（1）∵|a+8|+（b﹣6）2＝0，∴|a+8|＝0，（b﹣6）2＝0，‎ 即a＝﹣8，b＝6．故答案为：﹣8，6；‎ ‎（2）∵|AB|＝6﹣（﹣8）＝14，＝7，∴点A、点B距离折叠点都是7个单位 ‎∴原点O与数﹣2表示的点重合．故答案为：﹣2．‎ ‎（3）法一：分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．‎ ‎①A，B两点相遇前相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）﹣2解得：x＝2‎ ‎②A，B两点相遇后相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）+2解得：x＝‎ 答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．‎ 法二：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．‎ 此时点A对应的数为﹣8+4x，点B对应的数为6﹣2x，则：|（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）|＝2即：（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝2或（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝﹣2；‎ 解得：x＝或x＝2答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．‎ ‎（4）在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值不会发生变化．‎ 由题意可知：t秒后，点A对应的数为﹣8+4t，点B对应的数为6+2t，点P对应的数7t，则：AP＝7t﹣（﹣8+4t）＝3t+8，OB＝6+2t，OP＝7t，‎ 所以AP+2OB﹣OP＝（3t+8）+2（6+2t）﹣7t＝3t+8+12+4t﹣7t＝20．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4‎ ‎）利用数轴上两点间的距离公式．‎ ‎5.（2020•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．‎ ‎【特例感知】（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．‎ ‎①【B，A】的幸运点表示的数是　 　；‎ A．﹣1； B.0； C.1； D.2‎ ‎②试说明A是【C，E】的幸运点．‎ ‎（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为　 　．‎ ‎【拓展应用】（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？‎ ‎【分析】（1）①由题意知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；‎ ‎（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；‎ ‎（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB②‎ 当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB．‎ ‎【答案】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，即EA＝1，EB＝3，故选B．‎ ‎②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，∴AC＝3AE，∴A是【C，E】的幸运点．‎ ‎（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，∴PM＝3PN，∴|p+2|＝3|p﹣4|，‎ ‎∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），∴p＝7或p＝2.5；故答案为7或2.5；‎ ‎（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，‎ ‎①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB，∴60﹣3t＝3×3t，∴t＝5；‎ ‎②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA，∴3t＝3×（60﹣3t），∴t＝15；‎ ‎③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，∴60＝3（60﹣3t）∴t＝；‎ ‎④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB，∴60＝3×3t，∴t＝；‎ ‎∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次反方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．‎ ‎6．（2020·全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示-12，点表示10，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．则：‎ ‎（1）动点从点运动至点需要时间多少秒？‎ ‎（2）若，两点在点处相遇，则点在折线数轴上所表示的数是多少？‎ ‎（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．‎ ‎【答案】（1）21；（2）6；（3）当时，．‎ ‎【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；‎ ‎（2）根据相遇时，两点在线段上，根据=10，可得方程，根据解方程，可得答案；‎ ‎（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．‎ ‎【解析】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝12÷2＋10÷1＋10÷2＝21（秒），‎ 答：动点P从点A运动至C点需要21s ；‎ ‎（2）由题意可得，，两点在线段上相遇 ‎∴，∴，∴所对的数字为12-6=6;‎ ‎（3）当点在上，点在上时，，，‎ ‎∵，∴，∴；‎ 当点在上，点在上时，，，‎ ‎∵，∴，∴；‎ 当点在上，点在上时，，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 当点在上，点在上时，，无解 当点在上，点在上时，，，‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴当时，．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．‎ 题型6．和、差、倍、分问题 ‎（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．‎ ‎（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．‎ ‎1．（2020·河北文安·初一期末）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（　　）‎ A．518=2（106+x） B．518﹣x=2×106 C．518﹣x=2（106+x） D．518+x=2（106﹣x）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，可得：518﹣x=2，‎ 考点：由实际问题抽象出一元一次方程 ‎2．（2020·湖北襄城·其他）甲仓库的货物是乙仓库货物的3倍，从甲仓库调5吨到乙仓库，这时甲仓库的货物恰好比乙仓库的2倍多1吨，求甲仓库原有货物多少吨，若设甲仓库原有吨，则根据题意，可列方程（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】设甲仓库原有吨，则根据题意找到等量关系列出方程.‎ ‎【解析】设甲仓库原有吨，根据题意得故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系建立方程．‎ ‎3．（2020·广西平桂·期中）“壮丽70年，奋斗新时代!”国庆节期间，唐玲同学仅用3天时间就看完了一本课外读物．第二天看的页数比第一天看的页数的一半少5页，第三天看的页数刚好是第二天的2倍．设第一天看了该书的页，问：（1）用含x的代数式表示这本书的页数； （2）当x=60时，这本书的页数是多少？ （3）如果这本书有225页，唐玲第二天看了多少页？‎ ‎【答案】（1）（2）当x=60时，这本书共135页；（3）唐玲第二天看了43页 ‎【分析】（1）根据题意用x表示出第二天和第三天的页数再加上第一天的x得到代数式；‎ ‎（2）令x=60，代入（1）的式子求值；（3）令，解方程 ‎【解析】解：（1）这本书的页数为： =； ‎ ‎（2）当x=60时，，‎ 答：当x=60时，这本书共135页；‎ ‎（3）由题意，得：， 解之，得：， ‎ 所以：． 答：唐玲第二天看了43页．‎ ‎【点睛】点睛本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找等量关系列出方程求解．‎ ‎4．（2020·浙江青田·期末）年月日，第二届华侨进口商品博览会在青田落下帷幕，本届博览会成果丰硕，意向成交额为亿元，是第一届博览会意向成交额的倍少亿（1‎ ‎）求第一届华侨进口商品博览会的意向成交额（2）以这样的增长速度，预计下届华侨进口商品博览会意向成交额（精确到亿元）‎ ‎【答案】（1）15.6亿元；（2）41亿元 ‎【分析】（1）设第一届华侨进口商品博览会的意向成交额为x亿元，根据题意列出方程，求解即可；‎ ‎（2）设第二届的意向成交额比第一届的增长率为y，根据增长率的意义计算即可．‎ ‎【解析】解：（1）设第一届华侨进口商品博览会的意向成交额为x亿元，‎ 则：2x-5.9=25.3，解得：x=15.6，‎ ‎∴第一届华侨进口商品博览会的意向成交额为15.6亿元；‎ ‎（2）设第二届的意向成交额比第一届的增长率为y，‎ 则15.6（1+y）=25.3，则1+y=25.3÷15.6，‎ ‎∴下一届华侨进口商品博览会意向成交额为：‎ ‎25.3×（1+y）=25.3×（25.3÷15.6）≈41（亿元）．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握增长率的意义．‎ ‎5．（2020·全国课时练习）今天小丽一家人的岁数总和是100岁，爸爸比妈妈大5岁，妈妈的岁数是小丽岁数的4倍少2岁，则小丽爸爸和妈妈今年各几岁？‎ ‎【答案】小丽11岁，爸爸47岁，妈妈42岁 ‎【分析】设小丽为x岁， 则妈妈的岁数为，爸爸的岁数为，根据“小丽一家人的岁数总和是100岁”列出方程求解即可．‎ ‎【解析】解：设小丽为x岁， 则妈妈的岁数为，爸爸的岁数为，‎ 根据题意可得：，解得，‎ ‎∴妈妈的岁数为，爸爸的岁数为，‎ 答：小丽今年11岁，爸爸47岁，妈妈42岁．‎ ‎【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．‎ ‎6．（2020·四川甘孜·初一期末）某校初一学生（共三个班）为灾区捐款，一班捐款为初一总捐款的，二班捐款为一班、三班捐款数的和的一半，三班捐了元，求初一三个班的总捐款数．‎ ‎【答案】初一总捐款数为元 ‎【分析】设初一总捐款为元，根据题意列出一元一次方程即可求出结论．‎ ‎【解析】解：设初一总捐款为元 ‎ 解得： 答：初一总捐款数为元．‎ ‎【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．‎ ‎7．（2020·吉林宽城·初一期末）某校九年级6个班举行毕业文艺汇演，每班3个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少6个．设舞蹈类节目有个．‎ ‎（1）用含的代数式表示:歌唱类节目有______________个；‎ ‎（2）求九年级表演的歌唱类与舞蹈类节目数各有多少个；‎ ‎（3）该校七、八年级有小品节目参与汇演，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计全场节目交接所用的时间总共16分钟．若从19：00开始，21：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个．‎ ‎【答案】（1）；（2）表演的歌唱类节目10个，舞蹈类节目8个；（3）4个．‎ ‎【分析】（1）根据歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少6个列代数式；‎ ‎（2）根据九年级歌唱类节目数＋舞蹈类节目数＝总节目数列方程；‎ ‎（3）用九年级的节目时间＋小品节目时间＋节目交接时间＜150列不等式，注意未知数的实际意义．‎ ‎【解析】解：(1)；‎ ‎(2)根据题意得：，解得： 经检验，符合题意 ‎ 当时，‎ 答：表演的歌唱类节目10个，舞蹈类节目8个；‎ ‎(3)设参与的小品类节目有个，根据题意得：，解得：‎ ‎∵为整数，∴最多为4．答：参与的小品类节目最多能有4个．‎ ‎【点睛】对于实际问题的解决，主要是正确分析题意，找出满足条件的等量关系，然后根据等量关系列出方程或方程组，解不等式组的应用题，要注意题目中的表示不等关系的词语，如“之前”，“之后”，“不大于”，“不小于”，“不超过”，“不低于”等．解决实际问题的时候还要注意实际意义．‎ ‎8．（2020·全国初一课时练习）某区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28的教师中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28和阅A18原有教师的人数.‎ ‎【答案】阅A18原有教师6人，阅B28原有教师18人．‎ ‎【解析】设阅A18原有教师人数为x人，则阅B28原有教师人数为3x人，‎ ‎3x-12=0.5x+3，解之得x=6，所以阅A18原有教师人数为6人，则阅B28原有教师人数为18人.‎ ‎9．（2019·上海交大附中初三）交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？________．‎ ‎【答案】36人 ‎【分析】设最初篮球小组人，参加排球小组人，然后根据篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等算出各自的男女人数，再根据后面的变化情况列方程即可.‎ ‎【解析】设最初篮球小组人，参加排球小组人，‎ ‎∵篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等 ‎∴篮球小组中男生，女生，排球小组男女生人数都是 ‎∵有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等， ∴,解得：‎ ‎∵排球小组女生人数比男生人数少四分之一 ‎∴,解得：∴英才班有22+14=36人。故答案为36‎ ‎【点睛】本题是一个简单的分数应用题，初中阶段使用方程来解更加简单，也可以根据人数移动前后篮球和排球总人数不变来列式计算.‎ ‎10．（2020·全国初一课时练习）请欣赏一首诗：‎ 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；‎ 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；‎ 剩下十五围着我，鸭有多少请算清．‎ 根据诗的内容，设共有x只鸭子，可列方程：_________，得合并同类项，得______，两边乘____，得_____．‎ ‎【答案】 4 60 ‎ ‎【分析】根据题意列出一元一次方程进行求解即可；‎ ‎【解析】本题相等关系为“鸭子的总数-一半的鸭子数-一半的一半的鸭子数=15"．‎ 根据题意，列方程为，‎ 合并同类项，得，‎ 两边乘4，得．‎ 故答案为：；；4；60．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．‎ 题型7．其他问题 ‎1．（2019·河北河间·初一期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．‎ ‎【解析】设有x辆车，则可列方程：3（x-2）=2x+9．故选：A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．‎ ‎2．（2020·江西玉山·初一期末）张东同学想根据方程10x＋6＝12x－6编写一道应用题：“几个人共同种一批树苗，________，求参与种树的人数．”若设参与种树的有x人，那么横线部分的条件应描述为(　　)‎ A．如果每人种10棵，那么缺6棵树苗；如果每人种12棵，那么剩下6棵树苗未种 B．如果每人种10棵，那么剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，那么缺6棵树苗 C．如果每人种10棵，那么剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，也会剩下6棵树苗未种 D．如果每人种10棵，那么缺6棵树苗；如果每人种12棵，同样也是缺6棵树苗 ‎【答案】B ‎【解析】分析方程可知选用的等量关系是该批树苗的棵树不变，再分析方程的左、右两边的意义，即可得出结论．解：∵列出的方程为10x+6=12x-6,‎ ‎∴方程的左、右两边均为这批树苗的棵树，∴方程的左边为如果每人种10棵，那么剩下6‎ 棵树苗未种；方程的右边为如果每人种12棵，那么缺6棵树苗．故选B．‎ ‎3．（2019·广东郁南·初一期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）‎ A．x+5（12﹣x）＝48 B．x+5（x﹣12）＝48‎ C．x+12（x﹣5）＝48 D．5x+（12﹣x）＝48‎ ‎【答案】A ‎【解析】设1元纸币为x张，那么5元纸币有（12-x）张，∴x+5（12-x）=48，故选D．‎ 考点：列一元一次方程.‎ ‎4．（2020·全国单元测试）某校六年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7．若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？‎ A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7‎ ‎【答案】A 分析：由于甲、乙、丙三队的人数比为4：5：7，故设三队人数分别为4x，5x，7x，求得x的值后代入，即可求得题中要求的人数比．‎ ‎【解析】设甲、乙、丙三队，其人数分别为4x，5x，7x，‎ 由题意得4x+5x+7x=64，解得x=4，‎ 故乙队有4×5=20人，丙队有4×7=28人．‎ 由外校转入1人加入乙队后乙与丙的人数比为：21：28，即3：4．故选A．‎ 点评：此题比较容易，解答此题的关键是根据题意列出方程组再解答．‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）某校在庆祝祖国70周年“我和我的祖国”中学生读书系列活动中，将一些科技类图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分4本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺30本．若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（　　）‎ A．4x﹣20＝5x+30 B．4x+20＝5x﹣30 C．4x﹣20＝5x﹣30 D．4x+20＝5x+30‎ ‎【答案】B ‎【分析】设该校七年级一班有学生人，根据“如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本”．‎ ‎【解析】解：设该校七年级一班有学生人，‎ 依题意，得：故选：B ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，审清题意是正确找到等量关系的前提．‎ ‎6．（2020·湖南雨花·初一期末）先阅读，然后答题．‎ 阿基米德测皇冠的故事 叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠．王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻．他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重．国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题．回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解．一天，他的夫人逼他洗澡．当他跳入池中时，水从池中溢了出来．阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来．他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着："优勒加！优勒加！（意为发现了）"．夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着"真疯了，真疯了"，便随后追了出去．街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看．原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同．如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假．阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假．在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银．烦人的王冠之谜终于解开了．‎ 小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：‎ 小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．‎ 探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．‎ 由此可知A型号与B型号钢球的体积比为____________；‎ 探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？‎ ‎【答案】探究一：2：3；探究二：A型号钢球3个，B型号钢球7个．‎ ‎【解析】 (1)利用钢珠的体积和上升高度的正比关系.(2)根据放入A型号与B 型号钢球总数引起的上升总高度列方程.‎ 探究一：2：3；．.‎ 探究二：每个A型号钢球使得水面上升 mm,‎ 每个B型号钢球使得水面上升 mm,‎ 设放入水中的A型号钢球为个，则B型号钢球为（）个，则由题意列方程：‎ ‎,.解得：，所以.‎ 答：放入水中的A型号钢球3个，B型号钢球7个．‎ ‎7．（2020·全国初一课时练习）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”（“倍加增”指从塔的顶层到底层，每层灯的数量是上一层的2倍）那么，塔的顶层有几盏灯？‎ ‎【答案】3盏 ‎【分析】根据题意列出方程求解即可．‎ ‎【解析】解：设塔的顶层有x盏灯．根据题意，得 ‎．‎ 解得．答：塔的顶层有3盏灯．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．‎ ‎8．（2020·湖南广益实验中学初一期中）11月5日晚在西昌卫星发射中心成功以“一箭双星”方式发射第24颗、第25颗北斗导航卫星，“中国的北斗，世界的北斗”，北斗卫星系统是由中国自主研发的全球领先的卫星导航系统，这套天罗地网在不久的将来会造福人类、服务全球．第三期北斗系统总项目预算国拨总投资为240亿元，分技术、基建、设备三个项目投资，基建项目投资占技术项目投资的，设备项目投资比技术项目投资少40%，由于物价的上涨，总项目的实际总投资随之增长，基建项目投资的增长率是技术项目投资增长率的2.5倍，设备项目投资的增长率达到基建项目投资增长率的2倍．‎ ‎（1）三个项目的预算投资分别是多少亿元？‎ ‎（2）由于技术工人齐心协力，整套导航系统提前半年交付使用，导航系统每月可供1000万台导航设备使用，每台导航设备的平均月使用费为40元，这样，可将提前半年使用的收益的70%用于该项目的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与技术项目投资的增长率相同，问第三期北斗系统工程的实际总投资是多少亿元？‎ ‎【答案】（1）技术：100亿元，基建：80亿元，设备：60亿元；（2）252亿元 ‎【分析】（1）设技术项目投资为x亿元，则基建项目投资为x亿元，设备项目投资为（1-40%）x亿元，三者之和为预算国拨总投资为240亿元，解方程即可； （2）设技术项目投资的增长率为y，分别表示出基建项目投资的增长率、设备项目投资的增长率及预算国投总投资减少的百分率，再根据该工程的各项实际投资之和等于国投投资加上导航系统提前半年使用的收益的70%，列方程求解即可．‎ ‎【解析】（1）设技术项目投资为x亿元，则基建项目投资为x亿元，设备项目投资为（1-40%）x亿元， 由题意得：x+x+（1-40%）x=240所以x=100，100×=80，（1-40%）×100=60 所以技术项目投资为100亿元，基建项目投资为80亿元，设备项目投资为60亿元； （2）设技术项目投资的增长率为y，则基建项目投资的增长率为2.5y， 设备项目投资的增长率为2×2.5y=5y，预算国投总投资减少的百分率为y， 国拨总投资为：240（1-y）亿元， 该工程的各项实际投资之和为：100（1+y）+80（1+2.5y）+60（1+5y） 因为70%×40×1000×6=168000（万元）=16.8（亿元） 所以240（1-y）+16.8=100（1+y）+80（1+2.5y）+60（1+5y）解得y=2% 240（1-2%）+16.8=252（亿元） 所以第三期北斗系统工程的实际总投资是252亿元．‎ ‎【点睛】考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题关键是明确题意，找出等量关系，正确列出方程．‎ ‎9．（2020·江苏如东·初三二模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程为__________.‎ ‎【答案】5x+45=7x+3．‎ ‎【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．‎ ‎【解析】设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45=7x+3．故答案为：5x+45=7x+3．‎ ‎【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ ‎10．（2019·北京市昌平区第四中学期中）‎ ‎《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”‎ 译文：“有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程．_____‎ ‎【答案】9x﹣11=6x+16．‎ ‎【分析】设有x个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．‎ ‎【解析】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：9x﹣11=6x+16．‎ 故答案为9x﹣11=6x+16．‎ ‎【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎