北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 含答案 10页

北京市西城区 2019 — 2020 学年度第一学期期末试卷 高二数学 2020.1 试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1．已知椭圆 2 2 2: 1( 0)4 x yC a a    的一个焦点为(2,0) ,则 a 的值为（ ） A． 2 2 B． 6 C． 6 D．8 2．已知数列{ }na 满足 1 2a  ， 1 2n na a   ( , 2 )n n N ，则 3a  （ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 3．已知命题 p : 1x  , 2 1x  ,则 p 为（ ） A． 1x  , 2 1x  B． 1x  , 2 1x  C． 1x  , 2 1x  D． 1x  , 2 1x  4．已知 ,a b  R ,若 a b ,则（ ） A． 2a b B． 2ab b C． 2 2a b D． 3 3a b 5．已知向量 ( 1,2,1), (3, , )x y  a b ,且 //a b ,那么| |b （ ） A． 3 6 B． 6 C． 9 D．18 6．已知直线 a , b 分别在两个不同的平面 ,  内，则“直线 a 和直线b 相交”是“平面 和 平面  相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知向量 (1, , 2)xa ， (0,1, 2)b ， (1, 0, 0)c ，若 , ,a b c 共面，则 x 等于 （ ） A. 1 B. 1 C.1 或 1 D. 1 或 0 8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数 ( ) [ ]f x x ，其中[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，比如[ ]=3 . 根据以上定义，当 3 1x   时，数列 ( )x f x ， ( )f x ， x （ ） A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列 C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列 9．设有四个数的数列{ }na ，该数列前 3项成等比数列，其和为 m，后 3项成等差数列， 其和为 6 . 则实数 m 的取值范围为（ ） A. 6m  B. 3 2m  C. 6m  D. 2m  10. 曲线 3 3: 1C x y  .给出下列结论： ①曲线 C 关于原点对称； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离不小于 1； ③曲线 C 只经过 2 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ② C. ②③ D. ③ 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11.设 P 是椭圆 2 2 125 9 x y  上的点, P 到该椭圆左焦点的距离为 2 ，则 P 到右焦点的距离 为__________. 12. 不等式 01 x x  的解集为_________. 13. 能说明“若 a b ，则 1 1 a b  ”为假命题的一组 a 、b 值是 a  ， b  . 14．若双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的右焦点 ( ,0)F c 到一条渐近线的距离为 3 2 c ,则其离心 率的值是__________. 15．某渔业公司今年初用100 万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用 4 万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加 2 万元. 若该渔船预计使用 n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当 n  ______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）. 16. 若 1 2 3 9, , , ,x x x x 表示从左到右依次排列的 9 盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下： （1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作； （2）灯 1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的 { | 2 9}i x x   N ，要求灯 ix 的左边有且只有．．．．灯 1ix  是开灯状态时才可以对灯 ix 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯 4x 关闭最少需要 次操作； 如果除灯 6x 外，其余 8 盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次 操作. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 13 分） 已知等比数列{ }na 的公比为 2 ，且 3a ， 4 4a  ， 5a 成等差数列. （Ⅰ）求{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 62nS  ，求 n 的值. 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( )f x x ax  ， aR . （Ⅰ）若 ( ) (1)f a f ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若 ( ) 4f x   对 x R 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）求关于 x 的不等式 ( ) 0f x  的解集. 19．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的右焦点为 (1,0)F ，离心率为 2 2 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设点 A 为椭圆 C 的上顶点，点 B 在椭圆上且位于第一象限，且 90AFB   ，求 AFB 的面积. 20．（本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， AD  平面 ABP ， //BC AD ， 90PAB   . 2PA AB  ， 3AD  ， BC m ， E 是 PB 的中点. （Ⅰ）证明： AE ⊥平面 PBC ； （Ⅱ）若二面角 C AE D  的余弦值是 3 3 ，求 m 的值； （Ⅲ）若 2m  ，在线段 AD 上是否存在一点 F ，使得 PF ⊥ CE . 若存在，确定 F 点的位 置；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分 14 分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  ，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点 F 的距离为 3. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过 ( 1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于不同的两点 ,A B ，交直线 4x   于点 E ，直线 BF 交 直线 1x   于点 D . 是否存在这样的直线 l ，使得 //DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存 在，求出直线 l 的方程. 22．（本小题满分 13 分） D A B C P E 若无穷数列 1 2 3, , ,a a a 满足：对任意两个正整数 ,i j ( 3)j i  ， 1 1i j i ja a a a    与 1 1i j i ja a a a    至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”. （Ⅰ）求证：若数列{ }na 为等差数列，则{ }na 为“和谐数列”； （Ⅱ）求证：若数列{ }na 为“和谐数列”，则数列{ }na 从第 3项起为等差数列； （Ⅲ）若{ }na 是各项均为整数的“和谐数列”，满足 1 0a  ，且存在 *pN 使得 pa p ， 1 2 3 pa a a a p      ，求 p 的所有可能值. 北京市西城区 2019 — 2020 学年度第一学期期末试卷 高二数学参考答案 2020.1 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11.8 12. { 0 1}x x  13. 1, 1 （答案不唯一） 14. 2 15. 2 3 100n n  ；10 16. 3；21 注：13、15、16 题第一个空 2 分，第二个空 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 17．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为{ }na 为公比为 2 的等比数列， 所以 2 3 1 14a a q a  ， 4 18a a ， 5 116a a ， ………………3 分 依题意得 4 3 52( 4)a a a   ， ………………5 分 即 1 1 12(8 4) 4 16a a a   ， ………………6 分 整理得 14 8a  ， 解得 1 2a  . ………………7 分 所以数列{ }na 的通项公式为 2n na  . ………………8 分 （Ⅱ）依题意 1 1 1 n n qS a q    ， ………………10 分 11 22 2 21 2 n n    . ………………11 分 所以 12 2 62n   ，整理得 12 64n  ， ………………12 分 解得 5.n  所以 n 的值是 5 . ………………13 分 18．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由 ( ) (1)f a f 得 2 2 1a a a   ， 整理得 22 1 0a a   ， ………………2 分 解得 1{ | 2a a   或 1}a  . ………………4 分 （Ⅱ） ( ) 4f x   对 x R 恒成立，则 min( ) 4f x   ， ………………6 分 所以 2 44 a   ， ………………7 分 整理得 2 16 0a   ， 解得{ | 4 4}a a   . ………………8 分 （Ⅲ）解 2 0x ax  ，得 1 20,x x a   ， ①当 0a  时，即 0a  时, 0x  或 x a  ； ………………10 分 ②当 0a  时，即 0a  时, x a  或 0x  ； ………………12 分 ③当 0a  时，即 0a  时, 0x  . ………………13 分 综上，当 0a  时，不等式的解集为{ | 0x x  或 }x a  ；当 0a  时，不等式的解集为 { |x x a  或 0}x  ；当 0a  时，不等式的解集为{ | 0}x x  . 19．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）依题意 1c  ， 2 2 c a  ， ………………2 分 解得 2a  ， 2 2 1b a b   ， ………………4 分 所以椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  . ………………5 分 （Ⅱ）设点 0 0( , )B x y ，因为点 B 在椭圆上，所以 2 20 0 12 x y  …①， ………………7 分 因为 90AFB   ，所以 1FA FBk k   ，得 0 0 11 y x  …②， ………………8 分 由①②消去 0y 得， 2 0 03 4 0x x  ， 解得 0 0x  （舍）， 0 4 3x  ， ………………10 分 代入方程②得 0 1 3y  ，所以 4 1( , )3 3B ， ………………11 分 所以 2| | 3BF  ，又| | 2AF  ， ………………12 分 所以 AFB 的面积 1 1 2 1= | | | | 22 2 3 3AFBS AF BF       . ………………13 分 20. （本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：因为 AD  平面 PAB ， //BC AD ， 所以 BC  平面 PAB . ………………1 分 又因为 AE  平面 PAB ，所以 AE BC . ………………2 分 在 PAB 中， PA AB ， E 是 PB 的中点， 所以 AE PB . ………………3 分 又因为 BC PB B ，所以 AE  平面 PBC . ………………4 分 （Ⅱ）解：因为 AD  平面 PAB ， 所以 AD AB ， AD PA . ………………5 分 又因为 PA AB ， 所以 如图建立空间直角坐标系 A xyz . 则 (0,0,0)A ， (0,2,0)B ， (0,2, )C m ， (1,1,0)E ， (2,0,0)P ， (0,0,3)D ， (0,2, )AC m ， (1,1,0)AE  . ………6 分 设平面 AEC 的法向量为 ( , , )x y zn . 则 0 , 0 , AC AE        n n ………………7 分 即 2 0, 0. y mz x y      令 1x  ，则 1y   ， 2z m  ， 于是 2(1, 1, )m  n . ………………8 分 因为 AD  平面 PAB ，所以 AD PB . 又 PB AE ， 所以 PB  平面 AED . D A B C P E y z x 又因为 ( 2, 2, 0)PB   ， 所以 取平面 AED 的法向量为 ( 1,1,0) m . ………………9 分 所以 3cos , | | | | 3     n mn m n m ， ………………10 分 即 2 | 1 1| 3 342 2 m      ，解得 2 1m  . 又因为 0m  ，所以 1m  . ………………11 分 （Ⅲ）结论：不存在.理由如下： 证明：设 (0,0, )F t (0 3)t  . 当 2m  时， (0,2,2)C . ( 2,0, )PF t  ， (1, 1, 2)CE    . ………………12 分 由 PF CE 知， 0PF CE   ， 2 2 0t   ， 1t   .这与 0 3t  矛盾. ………13 分 所以，在线段 AD 上不存在点 F ，使得 PF CE . ………………14 分 21. （本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为 3，所以1 32 p  ，解得 4p  ， ………2 分 所以 2 8y x ， ………………3 分 所以准线方程为 2x   . ………………4 分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ( 1)y k x  ( 0)k  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y . 联立得 2 8 , ( 1), y x y k x     消去 y 得 2 2 2 2(2 8) 0k x k x k    . ………………5 分 由 2 2 4(2 8) 4 0k k     ，解得 2 2k   . 所以 2 2k   且 0k  . 由韦达定理得 2 1 2 2 8 2kx x k   ， 1 2 1x x  . ………………7 分 方法一： 直线 BF 的方程为 2 2 ( 2)2 yy xx   ， 又 1Dx   ，所以 2 2 3 2D yy x   ，所以 2 2 3( 1, )2 yD x   ， ………………8 分 因为 //DE AF ，所以直线 DE 与直线 AF 的斜率相等. ………………9 分 又 ( 4, 3 )E k  ，所以 2 2 1 1 3 3 2 3 2 yk x y x      . ………………10 分 整理得 1 2 1 22 2 y yk x x    ，即 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 k x k xk x x     ， ………………11 分 化简得 1 2 1 2 1 11 2 2 x x x x     ， 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 41 2( ) 4 x x x x x x x x       ，即 1 2+ 7x x  . ………………12 分 所以 2 2 8 2 =7k k  ，整理得 2 8 9k  ， ………………13 分 解得 2 2 3k   . 经检验， 2 2 3k   符合题意. 所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 2 2 ( 1)3y x  或 2 2 ( 1)3y x   .………14 分 方法二： 因为 //DE AF ，所以 | | | | | | | | BA BF BE BD  ，所以 2 1 2 2 2 2 4 1 x x x x x    . ………………10 分 整理得 1 2 1 2( ) 8x x x x   ，即 2 2 8 2 =7k k  ， ………………12 分 整理得 2 8 9k  . ………………13 分 解得 2 2 3k   ，经检验， 2 2 3k   符合题意. 所以存在这样的直线 l ，直线 l 的方程为 2 2 ( 1)3y x  或 2 2 ( 1)3y x   .………14 分 22.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为数列{ }na 为等差数列， 所以 对任意两个正整数 ,i j ( 3)j i  ，有 1 1i i j ja a a a d     ， ………………2 分 所以 1 1i j i ja a a a    . 所以 数列{ }na 为“和谐数列”. ………………4 分 （Ⅱ）证明：因为数列{ }na 为“和谐数列”， 所以 当 1i  , 4j  时，只能 1 1i j i ja a a a    成立, 1 1i j i ja a a a    不成立. 所以 2 3 1 4a a a a   ，即 2 1 4 3a a a a   . ………………6 分 当 1i  ， 5, 6, 7, 8, 9j  时，也只能 1 1i j i ja a a a    成立， 1 1i j i ja a a a    不成立. 所以 2 4 1 5a a a a   ， 2 5 1 6a a a a   , 2 6 1 7a a a a   , 即 2 1 5 4 6 5 7 6a a a a a a a a       ， 所以 2 1 4 3 5 4 6 5a a a a a a a a       . ………………7 分 令 2 1a a d  ，则数列{ }na 满足 1 ( 4)n na a d n   . 所以，数列{ }na 从第 3 项起为等差数列. ………………8 分 （Ⅲ）解：①若 1p  ，则 1 1pa a  ，与 1 0a  矛盾，不合题意. ②若 2p  ，则 1 0a  ， 2 2a  ，但 1 2 2 2a a    ，不合题意. ………………9 分 ③若 3p  ，则 1 0a  ， 3 3a  ，由 1 2 3 3a a a    ，得 2 6a   ， 此时数列{ }na 为： 0, 6 ,3 , 3 , 9 ,   ，符合题意. ………………10 分 ④若 4p  ，设 2 1a a d  ， 则 1 2 ( 2) 0 [ ( 3) ] [ ( 4) ] [ ]p p a a a d p p d p p d p d p p                    . 所以， ( 1) [ ( 3) ] [ ( 4) ] ( ) ( ) 0 p p p d p p d p d p p d              即 [( ) ( 3) ]( 1) 02 p d p p d p      . 因为 1 0p   ，所以 ( 3) 0p d p p d     . ………………11 分 所以 4p  不合题意. 所以 2 2 8 8 824 4 4 p pd p p p        . ………………12 分 因为 p 为整数，所以 8 4p  为整数，所以 5 ,6 ,8 ,12p  . 综上所述，p 的所有可能值为 3, 5 ,6 ,8 ,12 . ………………13 分