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- 2021-04-14 发布
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第2课时 等差数列前n项和的应用
双基达标 (限时20分钟)
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4等于 ( )．
A．8 B．7 C．6 D．5
解析 Sn是等差数列{an}的前n项和，则S7＝7a4＝35，
∴a4＝5.
答案 D
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 ( )．
A．1 B．－1 C．2 D.
解析 ＝＝＝＝·＝1.
答案 A
3．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 ( )．
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5
解析 由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，
∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.
答案 C
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
解析 ∵{an}是等差数列，由S9＝72，得S9＝9a5，a5＝8，
∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
答案 24
5．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)
＋(a3＋an－2)＝93，
即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
答案 10
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－0，S13<0，
∴∴.
∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
综合提高 (限时25分钟)
7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝，故选A.
答案 A
8．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 ( )．
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.
答案 D
9．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
解析 法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
答案 210
10．在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.
解析 在等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，
∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，
∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)，
∴n＝7或8时，Sn取得最大值．
答案 7或8
11．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
12．(创新拓展)若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{bn}的每一项；
(2)已知{cn}是项数为2k－1(k≥1)的对称数列，且ck，ck＋1，…，c2k－1构成首项为50，公差为－4的等差数列，数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，则当k为何值时，S2k－1取到最大值？最大值为多少？
解 (1)设{bn}的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，
解得d＝3，
∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck－1＋ck＋ck＋1＋…＋c2k－1
＝2(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck
＝2(－2k2＋52k)－50
＝－4(k2－26k)－50
＝－4(k－13)2＋4×132－50，
∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.
