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- 2021-04-14 发布
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第2章 2.3.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析： 数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．
答案： B
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析： 设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.
又渐近线的斜率为±，
所以由直线垂直关系得－·＝－1(－显然不符合)，
即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，
两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)．
答案： D
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析： 根据双曲线的性质，过右焦点F
且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝，即≥，则 ＝≥，故有e2≥4，e≥2.故选C.
答案： C
4．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析： 设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析： ∵∠AOB＝120°⇒∠AOF＝60°⇒∠AFO＝30°⇒c＝2a，∴e＝＝2.
答案： 2
6．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析： 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－≤k≤.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解析： ∵a＝1，b＝，c＝2，
又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan 45°＝1，
∴l的方程为y＝x－2，
由消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝6.
8．已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．
解析： ①当k＝0时，显然不成立．
②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，
可设直线AB的方程为y＝－x＋b，
将其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①
由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为
因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，
从而有＝＋4，
即k2b＝3k2－1， ④
将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，
即>0或<－1，
∴|k|>或|k|<，且k≠0，
∴k>或k<－或－4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为.
