备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：几何证明 7页

几何证明 典型例题： ‎ 例1. （2012年广东省理5分）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交P，则PA=　　▲　　。‎ ‎【答案】。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【考点】切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【解析】连接OA，则由AP是圆O的切线得OA⊥AP。‎ ‎∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∠APO=30°。‎ ‎∴，。‎ 例2. （2012年湖北省理5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ▲ 。‎ ‎[[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】动点问题，勾股定理，垂线段的性质，垂径定理。‎ ‎【解析】连接，‎ ‎∵，∴。‎ ‎∵线段长为定值（圆的半径）， ‎ ‎∴要使最大，即要最小。‎ 根据垂直线段最短的性质和垂径定理，当点为的中点，即点与点重合时最小。‎ ‎∴CD的最大值为。‎ 例3. （2012年湖南省理5分）如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】割线定理。‎ ‎【解析】如图，设交圆O于C，D，设圆的半径为，由割线定理得 ‎ ，即，‎ ‎ 解得，。‎ 例4. （2012年陕西省理5分）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则 ▲ ‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理，相交弦定理，射影定理。‎ ‎【解析】∵，，∴。‎ ‎　　　　∵直径AB与弦CD垂直，∴根据垂径定理，得DE=CE。‎ ‎ ∴根据相交弦定理，得，即。‎ 在中，根据射影定理，得。‎ 例5. （2012年天津市文5分）如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与 的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段。‎ ‎【分析】如图，连接，则∠1=∠2，∠2=∠。‎ ‎∵，∠=∠，∴∽。∴。[来源:Z_xx_k.Com]‎ 代入数值得=2，=4。‎ 又由平行线等分线段定理得，解得=。[来源:Z.xx.k.Com]‎ 例6. （2012年广东省文5分）（几何证明选讲选做题）如图，直线PB与圆相切与点B，D是弦AC上的点，，若，则AB= ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【解析】由弦切角定理知: ,‎ 又∵，∴。‎ 又∵，∴。∴,解得AB=。‎ 例7. （2012年全国课标卷理10分）如图，分别为边的中点，直线 交的外接圆于两点，若，证明：‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【答案】证明：（1）连接AF，‎ ‎∵分别为边的中点，‎ ‎∴。‎ 又∵，∴四边形是平行四边形。‎ ‎∴。∴。‎ ‎∴四边形是平行四边形。∴。‎ 又由和圆的对称性，得四边形是等腰梯形，∴。‎ ‎∴。‎ ‎（2）∵，∴四边形是等腰梯形。∴。‎ ‎ 又∵=，∴。∴。‎ ‎ 又∵，，∴。‎ ‎ 又∵（同弧所对圆周角相等），∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎【考点】平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆的对称性，等腰梯形的性质，平行的性质，圆周角定理，相似三角形的判定。‎ ‎【解析】（1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质，经过等量代换可证。‎ ‎（2）根据相似三角形的判定定理，由和可证。‎ 例8. （2012年辽宁省理10分）如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，[来源:Z.xx.k.Com]‎ D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明 ‎ (Ⅰ)；‎ ‎ (Ⅱ) 。[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎【答案】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，∴。‎ 同理可得。∴。∴。‎ ‎∴。‎ ‎（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴。‎ 又∵，∴。∴。∴。‎ 由（I）的结论 可得。‎ ‎【考点】圆的基本性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【解析】（I）利用圆的切线的性质得，从而有，根据相似三角形对应线段成比例得，由此得到所证。‎ ‎（II）利用圆的切线的性质得，又，可得，根据相似三角形对应线段成比例得，即，再结合（I）的结论可得。‎ 例9. （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ ‎【答案】证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ ‎【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。‎ ‎ 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。‎ 例10. （2012年北京市理5分）如图. ∠ACB=90º。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则【 】‎ A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ²‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】射影定理。‎ ‎【解析】由射影定理可得AD·AB=CD ²。故选C。‎