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- 2021-04-14 发布
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微专题 87 离散型随机变量分布列与数字特征
一、基础知识：
（一）离散型随机变量分布列：
1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关
系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结
果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量
（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。
例如：在扔硬币的试验中，用 1 表示正面朝上，用 0 表示反面朝上，则提到 1，即代表正面
向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计算期望与方差），同时也可以
简洁的表示事件
（2）量化的事件之间通常互为互斥事件
（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的
代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：
在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为 ，则“ ”代表“正面向上”， ”代表
“反面向上”，
（4）随机变量的记法：随机变量通常用 等表示
（5）随机变量的概率：记 为 取 所代表事件发生的概率
2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随
机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集
3、分布列：一般地，若离散型随机变量 可能取得不同值为 ， 取每
一个值 的概率 ，以表格的形式表示如下：
称该表格为离散型随机变量 的分布列，分布列概率具有的性质为：
（1）
（2） ，此性质的作用如下：
1 0
, , , ,X Y
iP X x X ix
X 1 2, , , , ,i nx x x x X
1,2, ,ix i n i iP X x p
X 1x 2x ix nx
P 1p 2p ip np
X
0, 1,2, ,ip i n
1 2 1np p p
① 对于随机变量分布列，概率和为 1，有助于检查所求概率是否正确
② 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为 1 的特征，求出其他较为
简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率
（二）常见的分布：
1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：
（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.
（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是
否符合某分布
2、常见的分布
（ 1 ） 两 点 分 布 ： 一 项 试 验 有 两 个 结 果 ， 其 中 事 件 发 生 的 概 率 为 ， 令
，则 的分布列为：
则称 符合两点分布（也称伯努利分布），其中 称为成功概率
（2）超几何分布：在含有 个特殊元素的 个元素中，不放回的任取 件，其中含有特
殊元素的个数记为 ，则有 ，其中
即：
则称随机变量 服从超几何分布，记为
（3）二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的概率为 ，设在 次试验中事件
发生的次数为随机变量 ，则有 ，即：
A p
1,X
事件发生
0，事件未发生 X
X 0 1
P 1 p p
X 1p P X
M N n
X , 0,1,2, ,
k n k
M N M
n
N
C CP X k k mC
min ,m M n
, , , ,n N M N n M N N
X 0 1 m
P
0 0n
M N M
n
N
C C
C
1 1n
M N M
n
N
C C
C
m n m
M N M
n
N
C C
C
X , ,X H N M n
n A p n A
X 1 , 0,1,2,n kk k
nP X k C p p k n
X 0 1 k n
则称随机变量 符合二项分布，记为
（三）数字特征——期望与方差
1、期望：已知离散性随机变量 的分布列为：
则称 的值为 的期望，记为
（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了 次这样的试验，每次试验
随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当 足够
大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次，
设投进篮的次数为随机变量 ，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如
次），统计每次试验中 的取值 ，则这 个值的代数平均数将很接近
期望
（2）期望的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有
① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组 代表事件的
概率相同：若 的分布列为：
则 的分布列为：
② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的
P 0 1 n
nC p 11 1 n
nC p p 1 n kk k
nC p p
n n
nC p
X ,X B n p
1 2 i n
P 1p 2p ip np
1 1 2 2 n np p p E
n
n
X 410
X 1 2 10000, , ,X X X 10000
EX
, a b
E E a b aE b
a b ,
a b
1 2 n
P 1p 2p np
1a b 2a b na b
P 1p 2p np
题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样
的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望
2、方差：已知离散性随机变量 的分布列为：
且记随机变量 的期望为 ，用 表示 的方差，则有：
（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了 次这样的试验，
每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计。方差大说明这些
数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）
（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为
，则
（3）方差的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有：
3、常见分布的期望与方差：
（1）两点分布：则
（2）二项分布：若 ，则
（3）超几何分布：若 ，则
注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期
望（或方差），则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随
机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）
二、典型例题：
例 1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门
主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签
的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛
1 2 i n
P 1p 2p ip np
E D
2 2 2
1 1 2 2 n nD p E p E p E
n
22D E E
, a b
2D D a b a D
, 1EX p DX p p
,X B n p , 1EX np DX np p
, ,X H N M n
2, 1
nM N M N nMEX n DXN N N
（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率
（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 ，求 的分布列和数学期望
（1）思路：本题可用古典概型进行解决，设 为“五支队伍的比赛顺序”，则 ，
事件 为“甲乙排在前两位”，则 ，从而可计算出
解：设事件 为“甲乙排在前两位”
（2）思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数 能取得值为 ，同样适用
于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序
问题。
解： 可取得值为
的分布列为：
例 2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的 10 名教师中任
选 3 人去参加支教活动。这 10 名教师中，语文教师 3 人，数学教师 4 人，英语教师 3 人．
求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
（2）选出的 3 人中，语文教师人数 的分布列和数学期望．
（1）思路：本题可用古典概型来解，事件 为“10 名教师中抽取 3 人”，则 ，
事件 为“语文教师人数多于数学教师人数”，则分为“1 语 0 数”，“2 语 1 数”，“2 语 0
数”，“3 语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为 ，则 即可
求出。为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3 人
X X
5
5n A
A 2 3
2 3n A A A P A
A
2 3
2 3
5
5
1
10
n A A AP A n A
X 0,1,2,3
X 0,1,2,3
2 3
2 3
5
5
4 20 5
A AP X A
2 3
2 3
5
5
3 31 10
A AP X A
2 3
2 3
5
5
2 12 5
A AP X A
2 3
2 3
5
5
1 13 10
A AP X A
X
X 0 1 2 3
P 2
5
3
10
1
5
1
10
2 3 1 10 1 2 3 13 10 5 10EX
X
3
10n C
A
n A P A
中有 名语文教师”和“3 人中有 名数学教师”。
设事件 为“3 人中有 名语文教师”， 为“3 人中有 名数学教师”，事件 为“语
文教师人数多于数学教师人数”
（2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10 个元素中不放回的抽取 3
个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量 的取值为 ，按
超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望
语文教师人数 可取的值为 ，依题意可得：
的分布列为
例 3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了
测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数），同时
对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在 185cm 以上（包括 185cm）定义
为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在 190cm
以上（包括 190cm）的只有两个人，且均在甲队
（1）求甲，乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员
人数
（2）在甲，乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人，已知至少有 1 人成绩
为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率
i j
iA i jB j A
1 0 2 0 2 1 3P A P A B P A B P A B P A
1 2 2 1 2 1 3
3 3 3 3 3 4 3
3 3 3 3
10 10 10 10
9 9 12 1 31
120 120
C C C C C C C
C C C C
X 0,1,2,3
X 0,1,2,3 10,3,3X H
3
7
3
10
350 120
CP X C
1 2
3 7
3
10
631 120
C CP X C
2 1
3 7
3
10
212 120
C CP X C
3
3
3
10
13 120
CP X C
X
X 0 1 2 3
P 35
120
63
120
21
120
1
120
35 63 21 1 90 1 2 3120 120 120 120 10EX
a 160,170
b
（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运动会
正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列及期望
（1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，
乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直
方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队），由此可明确要确定全体
运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，
则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以 190cm 以上的人数为突破口，通过频率直方
图可知 190cm 以上所占的频率为 ，而 190cm 以上只有 2 人，从而得到全体
人数，然后再根据频率直方图得到 的人数，减去甲队的人数即为
解：由频率直方图可知：
成绩在以 190cm 以上的运动员的频率为
所以全体运动馆总人数 （人）
成绩位于 中运动员的频率为 ，人数为
由茎叶图可知：甲队成绩在 的运动员有 3 名
（人）
（2）思路：通过频率直方图可知 180cm 以上运动员总数为：
（人），结合茎叶图可知乙在 180cm 以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公
式 ，分别求出“至少有 1 人成绩为‘优秀’”和“两人成绩均‘优秀’”
的概率，然后再代入计算即可
解：由频率直方图可得：180cm 以上运动员总数为：
X
0.005 10 0.05
160,170 b
0.005 10 0.05
2 400.05a
160,170 0.03 10 0.3 40 0.3 12
160,170
12 3 9b
0.020 0.005 10 40 10
| P ABP B A P A
0.020 0.005 10 40 10
由茎叶图可得，甲乙队 180cm 以上人数恰好 10 人，且优秀的人数为 6 人
乙在这部分数据不缺失
设事件 为“至少有 1 人成绩优秀”，事件 为“两人成绩均优秀”
（3）思路：由（2）及茎叶图可得：在优秀的 6 名运动员中，甲占了 4 名，乙占了 2 名，依
题意可知 的取值为 ，且 符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算
解：由（2）可得：甲有 4 名优秀队员，乙有 2 名优秀队员
可取的值为
的分布列为：
例 4：现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味
性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2
的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.
（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；
（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变量
的分布列与数学期望 .
A B
2
4
2
10
131 1 15
CP A P A C
2
6
2
10
1
3
CP AB C
1 15 5| = =3 13 13
P ABP B A P A
X 0,1,2 X
X 0,1,2
0 2
4 2
2
6
10 15
C CP X C
1 1
4 2
2
6
81 15
C CP X C
2 0
4 2
2
6
6 22 =15 5
C CP X C
X
X 0 1 2
P 1
15
8
15
2
5
1 8 2 40 1 215 15 5 3EX
X Y
E
（1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为
，4 个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即
可。
解：依题意可得：参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为
设事件 为“有 个人参加甲游戏”
（2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件 ，又因为 互斥，所以
根据加法公式可得： ，进而可计算出概率
解：设事件 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”
（3）思路： 表示两个游戏人数的差，所以 可取的值为 。 时对应
的情况为 ， 时对应的情况为 ， 时对应的情况为 ，从而可计算出
对应的概率，得到分布列
解： 可取的值为
1
2 1
6 3P
2
4 2
6 3P
1
2 1
6 3P 2
4 2
6 3P
iA i
4
4
1 2
3 3
i i
i
iP A C
2 2
2
2 4
1 2 8
3 3 27P A C
3 4A A 3 4,A A
3 4P P A P A
B
3 4B A A
3 4
3 4
3 4 3 4 4 4
1 2 1 1
3 3 3 9P B P A A P A P A C C
X Y 0,2,4 0
2A 2 1 3,A A 4 0 4,A A
0,2,4
2 2
2
2 4
1 2 80 3 3 27P P A C
3 3
1 3
1 3 4 4
1 2 1 2 402 3 3 3 3 81P P A P A C C
4 4
0 4
0 4 4 4
2 1 174 3 3 81P P A P A C C
0 2 4
P 8
27
40
81
17
81
例 5：某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到
红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 分钟
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望，方差
解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯，
即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算
解：设事件 为“在第 个路口遇到红灯”，则 ，
设事件 为“第三个路口首次遇到红灯”即
（2）思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留 2 分钟，一共四个路口，所以要停留的时
间 可取的值为 ，依题意可知 的取值对应的遇到红灯次数 为 ，且该
模型属于独立重复试验模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为
对应 取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可
得到答案，但过程比较复杂（尤其是方差），考虑到 符合二项分布，其期望与方差可通过
公式迅速得到，且 与 之间存在联系： 。所以先利用二项分布求出 的期望与方
差，再利用运算公式得到 的期望方差即可
解： 可取的值为 ，设遇到红灯的次数为 ，则 对应的值为
8 40 17 1480 2 427 81 81 81E
1
3 2
iA i 1
3iP A 21 3i iP A P A
A 1 2 3A A A A
1 2 3 1 2 3
2 2 1 4
3 3 3 27P A P A A A P A P A P A
0,2,4,6,8 0,1,2,3,4
2
0,2,4,6,8 0,1,2,3,4
14, 3B
4
0
4
2 160 0 3 81P P C
3
1
4
1 2 322 1 3 3 81P P C
2 2
2
4
1 2 244 2 3 3 81P P C
3
3
4
1 2 86 3 3 3 81P P C
的分布列为：
小炼有话说：本题的亮点在于求 的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个
有特殊分布的随机变量 ，通过两随机变量的联系（线性关系）和 的期望方差来得到所求。
例 6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为:应聘者从 道备选题中一次性随机
抽取 道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知 道备选题中应聘者甲有 道题能
正确完成， 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互
不影响
（1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
（1）思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定
能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从 6 道题目中抽取 3 道，抽到甲会的 4
道题的数量 ，可知 符合超几何分布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率
相同，所以乙正确完成面试题数 符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公
式即可得到分布列和方差
解：（1）设 为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：
， 可取的值为
4
4
4
1 18 4 3 81P P C
0 2 4 6 8
P 16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
14, 3B
1 44 3 3E np 1 2 81 4 3 3 9D np p
2
82 2 3E E E
2 322 2 3D D D
6
3 6 4
2 2
3
X X
Y
X Y
6,3,4X H X 1,2,3
的分布列为：
的分布列为：
（2）思路：由（1）可知 ，说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙
发挥的稳定性，即再计算 ，比较它们的大小即可
解：
甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大
小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取
值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定），了解
它们的含义有助于解决此类问题
（2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算：
1 2
4 2
3
6
11 5
C CP X C
2 1
4 2
3
6
32 5
C CP X C
3 0
4 2
3
6
13 5
C CP X C
X
X 1 2 3
P 1
5
3
5
1
5
1 3 11 2 3 25 5 5EX
23, 3Y B
0 3
0
3
2 1 10 3 3 27P Y C
1 2
1
3
2 1 61 3 3 27P Y C
2 1
2
3
2 1 122 3 3 27P Y C
3 0
3
3
2 1 83 3 3 27P Y C
Y
Y 0 1 2 3
P 1
27
2
9
4
9
8
27
1 2 4 80 1 2 3 227 9 9 27EY
EX EY
,DX DY
2 2 21 3 1 21 2 2 2 3 25 5 5 5DX
2 1 21 3 3 3 3DY np p
DX DY
① 二项分布：若 ，则
② 超几何分布：若 ，则
例 7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超
过 2 小时收费 100，超过 2 小时的部分按每小时 100 收取（不足一小时按一小时计算）．现
甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别
为 ，租用 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别为 ，两人租用的时间都不超过 4
小时．
（1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望．
解：（1）设事件 为“甲，乙租用时间均不超过 2 小时”
事件 为“甲，乙租用时间均在 2 小时至 3 小时之间”
事件 为“甲，乙租用时间均在 3 小时至 4 小时之间”
故所求事件的概率
（2） 的取值可以为
则
故 的分布列为：
,X B n p 1DX np p
, ,X H N M n
2 1
nM N M N nDX N N
1 1,3 2
1 1,3 2
A 1 1 1
3 2 6P A
B 1 1 1
2 3 6P B
C
1 1 1 1 11 13 2 2 3 36P C
13
36P P A P B P C
200,300,400,500,600
1 1 1( 200) 2 3 6P
1 1 1 1 13( 300) 3 3 2 2 36P
1 1 1 1 1 1 1 1 11( 400) 12 3 2 3 3 3 2 2 36P （ ） （1- ）
1 1 1 1 1 1 5( 500) 1 12 2 3 2 3 3 36P （ ）（ ）
1 1 1 1 1( 600) 1 12 3 2 3 36P （ ）（ ）
200 300 400 500 600
例 8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球自由下落，在下落的
过程中，将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，
向左，右两边下落的概率分别是
（1）分别求出小球落入 袋和 袋中的概率
（2）在容器入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 袋中的小球个数，
求 的分布列和数学期望
（1）思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍
物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到 袋中，
其余的情况均落入 袋，所以以 袋为突破口即可求出概率
解：设事件 为“小球落入 袋”，事件 为“小球落入 袋”，可知
依题意可得：
（2）思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由（1）可得：
在每次试验中，落入 袋发生的概率为 ，所以 服从二项分布，即 ，运用
二项分布概率计算公式即可得到答案
解： 可取的值为 ，可知
P 1
6
13
36
11
36
5
36
1
36
1 13 11 5 1200 300 400 500 600 3506 36 36 36 36E
A B
1 2,3 3
A B
B
A
B A
A A B B B A
3 31 2 1 8 1
3 3 27 27 3P A
21 3P B P A
B 2
3 24, 3B
0,1,2,3,4 24, 3B
4
0
4
1 10 3 81P C
3
1
4
2 1 81 3 3 81P C
2 2
2
4
2 1 242 3 3 81P C
3
3
4
2 1 323 3 3 81P C
4
4
4
2 164 3 81P C
的分布列为：
例 9“已知正方形 的边长为 ， 分别是边 的
中点．
（1）在正方形 内部随机取一点 ，求满足 的概率；
（2）从 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的
距离为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 ．
（1）思路：首先明确本题应该利用几何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件个
数 为 无 限 多 个 ）。 为 “ 正 方 形 内 部 的 点 ”，所 以
，设事件 为“ ”，则 点位于以
为圆心， 为半径的圆内，所以 为正方形与圆的公共部
分 面 积 ， 计 算 可 得 ：
，从而算出
解：设事件 为“ ”
（ 2 ） 思 路 ： 八 个 点 中 任 取 两 点 ， 由 正 方 形 性 质 可 知 两 点 距 离 可 取 的 值 为
，概率的计算可用古典概型完成。 为“八个点中任取两点”，则
，当 时，两点为边上相邻两点，共 8 组；当 时，该两点与中
点相关有 4 组；当 时，除了正方形四条边，还有 ，所以由 6 组；当
时，该两点为顶点与对边中点，共 8 组；当 时，只能是正方形对角线 ，
有 2 组，根据每种情况的个数即可计算出概率，完成分布列
0 1 2 3 4
P 1
81
8
81
24
81
32
81
16
81
2 84 3 3E
ABCD 2 E F G H、 、 、 AB BC CD DA、 、 、
ABCD P | | 2PH
A B C D E F G H、 、 、 、 、 、 、
E
22 4S A | | 2PH P H
2 S A
1 2AHE DHG EHGS A S S S 扇形 P A
A | | 2PH
1 22
4 8
S AP A S
1, 2,2, 5,2 2
2
8 28n C 1 2
2 ,EG HF 5
2 2 ,AC BD
G
F
E
HA
B C
D
P
解： 可取的值为
的分布列为：
例 10：一种电脑屏幕保护画面，只有符号 和 随机地反复出现，每秒钟变化一次，
每次变化只出现 和 之一，其中出现 的概率为 ，出现 的概率为 ，若第
次出现 ，则记 ；出现 ，则记 ，令 ．
（1）当 时，求 的分布列及数学期望．
（2）当 时，求 且 的概率．
（1）思路：依题意可知 表示试验进行了三次，可能的情况为 3 ，1 2 ，2
1 ，3 。且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应 的取值为 ，
分别计算出概率即可列出分布列
解： 的取值为
的分布列为：
1, 2,2, 5,2 2
2
8
8 81 28P C 2
8
4 42 28P C 2
8
6 62 28P C
2
8
8 85 28P C 2
8
2 22 2 28P C
1 2 2 5 2 2
P 2
7
1
7
3
14
2
7
1
14
2 1 3 2 1 5 2 2 2 51 2 2 5 2 27 7 14 7 14 7E
" "O " "X
" "O " "X " "O p " "X q
k " "O 1ka " "X 1ka 1 2n nS a a a
3 1,4 2p q 3S
1 2,3 3p q 8 2S 0 1,2,3,4iS i
3S " "X " "O " "X " "O
" "X " "O 3S 3, 1,1,3
3S 3, 1,1,3
3
3
3
1 13 4 64P S q
2
2 2
3 3
1 3 91 3 4 4 64P S C q p
2
1 2
3 3
1 3 271 3 4 4 64P S C qp
3
3
3
3 273 4 64P S p
3S
3S 3 1 1 3
（2）思路：由 可知在 8 次试验中出现 5 次 ，3 次 。而
可知在前四次中，出现 的次数要大于出现 的次数，可根据前四次出现 的个数
进行分类讨论，并根据 安排 和 出现的顺序
解：设 为“前四次试验中出现 个 ，且 ，
三、历年好题精选
1、已知 箱装有编号为 的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），
箱装有编号为 的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从 A 箱中任取一
个小球，乙从 B 箱中任取一个小球，用 分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.[来源:学科网]
（1）求概率 ；
（2）设随机变量 ，求 的分布列及数学期望.
2、春节期间，某商场决定从 3 种服装，2 种家电，3 种日用品中，选出 3 种商品进行促销活
动
（1）试求出选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 100
元，规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若
P 1
64
9
64
27
64
27
64
3
1 9 27 27 33 1 1 364 64 64 64 2E S
8 2S " "O " "X 0 1,2,3,4iS i
" "O " "X " "X
0 1,2,3,4iS i " "O " "X
iA i X 8 2S 0 1,2,3,4iS i
4 3
4 3 3
0 4
1 2 1 3243 3 3 6561P A p C q p
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3 4
1 1 2 2 1 1443 63 3 3 3 3 6561P A p C p q C q p
1 1 3 1 1 3
2 4 4P A pqpq C q p ppqq C q p
3 31 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 644 43 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6561
1 2 3
240 80
6561 2187P P A P A P A
A 1,2,3,4,5 B
2,4
,X Y
P X Y
,
,
X X Y
Y X Y
m
中两次奖，则共获得数额为 元的奖金，若中 3 次奖，则共获得数额为 元的奖金，假
设顾客每次抽奖中奖的概率都是 ，请问：商场将奖金数额 最高定为多少元，才能使促
销方案对商场有利
3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿
者，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在 175cm 以上（包
括 175cm）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”，
切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”
（1）求 12 名男志愿者的中位数
（2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”，“非高个
子”中共抽取 5 人，再从这 5 个人中选 2 人，那么至少有
一个是“高个子”的概率是多少？
（3）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的
人数，试写出 X 的分布列并求出期望
4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行：
① 从 A 出发到达点 B 或 C 或 D，到达点 B,C,D 之一就停止
② 每次只向右或向下按路线运行
③ 在每个路口向下的概率为
④ 到达 P 时只向下，到达 Q 点只向右
（1）求海宝从点 A 经过 M 到点 B 的概率和从 A 经过 N 到点 C 的概率
（2）记海宝到 B,C,D 的事件分别记为 ，求随机变量 的分布列及期望
5、如图，一个小球从 处投入，通过管道自上而下落至 或
或 ，已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的，
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入到小球落到 ，
则分别设为一、二、三等奖
（1）已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为 ，
记随机变量 为获得 等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及期
望
3m 6m
1
3 m
1
3
1, 2, 3X X X X
M A B
C
, ,A B C
50%,70%,90%
k
（2）若由 3 人参加促销活动，记随机变量 为获得一等奖或二等奖的人数，求
6、某地区一个季节下雨天的概率是 0.3，气象台预报天气的准确率为 0.8，某场生产的产品
当天怕雨，若下雨而不作处理，每天会损失 3000 元，若对当天产品作防雨处理，可使产品
不受损失，费用是每天 500 元
（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失 的概率分布，并求其平均值
（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以 表示每天的损失，写出 的概率分布，计算
的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择
7、正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，从正四棱柱的 12 条棱中任取两条，设 为随
机变量，当两条棱相交时，记 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两
条棱异面时，记
（1）求概率
（2）求 的分布列，并求其数学期望
8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予
以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再
由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能
通过各初审专家评审的概率均为 ，复审的稿件能通过评审的概率为
（1）求投到该杂志的一篇稿件被录用的概率
（2）记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望
9、（2016，湖南师大附中月考）师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从
小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔 10 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 20 名驾驶员进行
询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段：
统计后得到如下图的频率分布直方
图．
（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？
并求这 20 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在 的车辆中做任意抽取 3 辆，求
2P
1 3
0
3
0P
E
0.5 0.3
X X
/km h
70,75 , 75,80 , 80,85 , 85,90 , 90,95 , 95,100
80,90
车速在 和 内都有车辆的概率；
（3）若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，求车速在 的车辆数的数学期
望．
10、已知暗箱中开始有 3 个红球，2 个白球（所有的球除颜色外其它均相同），现每次从暗
箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的 5 个球（共 6 个球）一起放回箱中
（1）求第二次取出红球的概率
（2）求第三次取出白球的概率
（3）设取出白球得 5 分，取出红球得 8 分，求连续取球 3 次得分 的分布列和数学期望
11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 200 元的顾客，将获得一次摸奖机
会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红色球，1 个黄色球，1 个蓝色球和 1
个黑色球，顾客不放回的每次摸出 1 个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励
10 元，摸到黄色球或蓝色球奖励 5 元，摸到黑色球无奖励
（1）求一名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率
（2）记 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望
12、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在 9.5 分
及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的
过程相互独立，并规定：
① 两轮测试均通过的定为一级工程师
② 仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师
③ 第一轮测试没通过的不予定级
已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为 ；通过第二轮测试的概率
均为
（1）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率
（2）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率
（3）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量 ，求 的分布列
和数学期望
13、（2015，广东）已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则
____
80,85 85,90
90,100 90,95
X
X X
1 2 2, ,3 3 3
1
2
X X
X ,B n p 30, 20EX DX p
14、（2015，安徽）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随
机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件
正品时所需要的检测费用（单位：元），求 的分布列和均值
15、（2015，福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡
将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正
确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正
确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 ，求 的分布列和数学期望．
16、（2015，天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参
加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选
手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.
（1）设 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”
求事件 发生的概率；
（2）设 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列和数学期望.
17、（2015，山东）若 是一个三位正整数，且 的个位数字大于十位数字，十位数字大于
百位数字，则称 为“三位递增数”（如 137,359,567 等）.在某次数学趣味活动中，每位参
加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽
取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能
被 10 整除，得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分.
（1）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；
（2）若甲参加活动，求甲得分 的分布列和数学期望
18、（2014，四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出
现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次
音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200
分)．设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列．
X
X
X X
A
A
X X
n n
n
X EX
1
2
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反
而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
19、（2016，唐山一中）设不等式 确定的平面区域为 ， 确定的平
面区域为 .
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域 内任取 3 个整点，求这些整点中恰
有 2 个整点在区域 内的概率；
（2）在区域 内任取 3 个点，记这 3 个点在区域 内的个数为 ，求 的分布列和数学
期望.
20、（2016，天一大联考）某猜数字游戏规则如下：主持人给出 8 个数字，其中有一个是幸
运数字，甲，乙，丙三人依次来猜这个幸运数字，有人猜中或者三人都未猜中游戏结束。甲
先猜一个数，如果甲猜中，则甲获得 10 元奖金，如果甲没有猜中，则主持人去掉四个非幸
运数字（包括甲猜的）；乙从剩下的四个数中猜一个，如果乙猜中，则甲，乙均获得 5 元奖
金，如果乙没有猜中，则主持人再去掉两个非幸运数字（包括乙猜的）；丙从剩下的两个数
中猜一个，如果丙猜中，则甲，乙，丙均获得 2 元奖金。如果丙没有猜中，则三个人均没有
奖金
（1）求甲至少获得 5 元奖金的概率
（2）记乙获得的奖金为 元，求 的分布列及数学期望
21、（2016，广东省四校第二次联考）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校
高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预
赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100
分）进行统计，制成如下频率分布表．
分数（分数段） 频数（人数） 频率
[60，70） 9
[70，80） 0.38
[80，90） 16 0.32
[90，100）
合 计 1
（1）求出上表中的 的值；
（2）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出
2 2 4x y U | | | | 1x y
V
U
V
U V X X
X X
x
y
z s
p
, , , ,x y z s p
场顺序．已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
① 求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
② 记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
22、（2016，唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择
一种，
方案一：每满 200 元减 50 元：
方案二：每满 200 元可抽奖一次．具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱，装有
2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球，所
得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为 320 元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
习题答案：
1 、 解 析 ： （ 1 ） 设 事 件 为 “ 取 出 号 球 ”，设 事 件 为 “ 取 出 号 球 ”，则
（2） 的取值为
X X
iA i jB j
1 1 1
5 2 10i jP A B
3 2 4 2 5 2 5 4
2
5P X Y P A B P A B P A B P A B
2,3,4,5
1 2 2 2
12 5P P A B P A B
3 2
13 10P P A B
4 2 1 4 2 4 3 4 4 4
14 2P P A B P A B P A B P A B P A B
5 2 5 4
15 5P P A B P A B
的分布列为：
2、解析：(1)设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A，从 3 种服装、2 种家电、3
种日用品中，选出 3 种商品，一共有 种不同的选法，选出的 3 种商品中，没有家电的选
法有 种．
所以，选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为
（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ，其所有可能的取值为
3、解析：（1）由茎叶图可得：男志愿者身高数据为：
所以中位数为：
（2）由茎叶图可得：“高个子”12 人，“非高个子”18 人
所以这 5 个人中，有 2 个高个子，3 个“非高个子”
设事件 为：“至少有一个是‘高个子’”
（3）由茎叶图可得高个子中能担任礼仪小姐的有 4 人
则 可取的值为
2 3 4 5
P 1
5
1
10
1
2
1
5
1 1 1 1 372 3 4 55 10 2 5 10E
3
8C
3
6C
3
6
3
8
91 14
CP A C
X 0, ,3 ,6m m m
31 80 1 3 27P X
2
1
3
1 1 41 3 3 9P X m C
2
2
3
1 1 23 1 3 3 9P X m C
31 16 3 27P X m
8 4 2 1 40 3 627 9 9 27 3EX m m m m
4 100 753
m m
159,168,169,170,175,176,178,181,182,184,187,191
176 178 1772 cm
A
2
3
2
5
71 1 10
CP A P A C
X 0,1,2,3
的分布列为：
4、解析：（1）依题意可得每个路口向下的概率为 ，向右的概率为
设事件 为“点 A 经过 M 到点 B”
设事件 为“从 A 经过 N 到点 C”
（2）
的分布列为：
5、解析：（1） 可取的值为
3
8
3
12
140 55
CP X C
2 1
8 4
3
12
281 55
C CP X C
1 2
8 4
3
12
122 55
C CP X C
3
4
3
12
13 55
CP X C
X
X 0 1 2 3
P 14
55
28
55
12
55
1
55
14 28 12 10 1 2 3 155 55 55 55EX
1
3
2
3
A
2
1
2
1 1 2 4
3 3 3 81P A C
B
1 1
2 2
1 2 1 2 16
3 3 3 3 81P B C C
3 2
2
3
1 1 2 1 9 11 3 3 3 3 81 9P X C
2 2
2
4
1 2 24 82 3 3 81 27P X C
3 2
2
3
2 2 1 2 48 163 3 3 3 3 81 27P X C
X
X 1 2 3
P 1
9
8
27
16
27
1 8 16 671 2 39 27 27 27EX
50%,70%,90%
的分布列为：
（2）由（1）可知：获得一等奖或二等奖的概率为 ，且
6、解析：（1） 可取的值为 ，依题意可得：
（2） 可取的值为
的分布列为：
4 31 1 350% 2 2 16P
3 21 1 370% 2 2 8P
2 2 41 1 1 790% +2 2 2 16P
50% 70% 90%
P 3
16
3
8
7
16
3 3 750% 70% 90% 75%16 8 16E
3 3 9
16 8 16 93,16B
2
2
3
9 9 17012 116 16 4096P C
0,3000
0 0.7, 3000 0.3P P
0.7 0 3000 0.3 900E
0,500,3000
0 0.7 0.8 0.56P
500 0.3 0.8 0.7 0.2 0.38P
3000 0.2 0.3 0.06P
0 500 3000
P 0.56 0.38 0.06
0 0.56 500 0.38 3000 0.06 370E
，所以按天气预报作防雨处理是正确的选择
7、解：（1）
（2） 可取的值为
的分布列为：
8、解：（1）设事件 为“一篇稿件被录用”
（2） 可取的值为 ，可知
的分布列为：
E E
2
3
2
12
8 40 11
CP C
0,1, 2, 3,2,3
2
3
2
12
8 40 11
CP C 2
12
8 41 33P C
2
12
2 12 33P C 2
12
4 23 33P C
2
12
4 22 33P C 43 11P
0 1 2 3 2 3
P 4
11
4
33
1
33
2
33
2
33
4
11
4 4 1 2 2 4 44 2 2 30 1 2 3 2 311 33 33 33 33 11 33E
A
2
1
2
1 1 1 3 2
2 2 2 10 5P A C
X 0,1,2,3,4 24, 5X B
4
0
4
3 810 5 625P X C
3
1
4
3 2 2161 5 5 625P X C
2 2
2
4
3 2 2162 5 5 625P X C
3
3
4
3 2 963 5 5 625P X C
4
4
4
2 164 5 625P X C
X
X 0 1 2 3 4
9、解析：（1）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样．这 40 辆小型汽
车车速众数的估计值为 87.5，中位数的估计值为 87.5
（2）车速在 的车辆有 辆，其中速度在 和 内
的车辆分别有 4 辆和 6 辆
设事件 为“ 内有 辆车”，事件 为“ 内有 辆车”，事件 为“车速在
和 内都有车辆”
（3）车速在 的车辆共有 7 辆，车速在 和 的车辆分别有 5 辆和 2
辆，若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，设车速在 的车辆数为 ，则
的可能取值为 1、2、3．
， ．
故分布列为
1 2 3
∴车速在 的车辆数的数学期望为 ．
10、解析：（1）设事件 为“第二次取出红球”
可得
（2）设事件 为“第三次取出白球”，则包含白白白，白红白，红白白，红红白
（3） 可取的值为
P 81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
24, 5X B
2 84 5 5EX
80,90 0.2 0.3 20 10 80,85 85,90
iA 80,85 i jB 85,90 j A
80,85 85,90
2 1 1 2
4 6 4 6
2 1 1 2 3 3
10 10
4
5
C C C CP A P A B P A B C C
90,100 90,95 95,100
90,100 90,95 X X
1 2 2 1
5 2 5 2
3 3
7 7
1 4( 1) , ( 2)7 7
C C C CP x P xC C
2 0
5 2
3
7
2( 3) 7
C CP x C
X
P 1
7
4
7
2
7
90,95 1 4 2( ) 1 2 37 7 7E X
A
2 3 3 3 5 3
5 5 5 5 5 5 5P A
B
2 2 5 2 5 5 2 3 2 5 3 2 2 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5P B
3 3 5 2 2
5 5 5 5 5 5 5
X 15,18,21,24
的分布列为：
11、解：（1）设事件 为“一名顾客摸球 3 次停止摸奖”
则
（2） 的取值为
的分布列为：
12、解：（1）设事件 为“甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师”
所以
（2）设甲，乙，丙被定为一级工程师的事件分别为 ，事件 表示所求事件
2 2 5 2 5 5 2815 5 5 5 5 5 5 125P X
2 3 2 5 2 2 5 3 3 2 2 5 2118 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125P X
3 3 5 2 2 3 3 5 3 2 3 5 2421 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125P X
3 3 5 3 5 5 5224 5 5 5 5 5 5 125P X
X
X 15 18 21 24
P 28
125
21
125
24
125
52
125
28 21 24 52 10215 18 21 24125 125 125 125 5EX
A
3 2 1 1
4 3 2 4P A
X 0,5,10,15,20
10 4P X 2 1 15 4 3 6P X 2 1 1 1 1 110 4 3 2 4 3 6P X
2 1 1 1 2 1 115 4 3 2 4 3 2 6P X
120 1 0 5 10 15 4P X P X P X P X P X
X
X 0 5 10 15 20
P 1
4
1
6
1
6
1
6
1
4
1 1 1 15 10 15 20 106 6 6 4EX
A
1 1 2 1 113 2 3 2 18P A
1 2 3, ,B B B C
1
1 1 1
3 2 6P B 2
2 1 1
3 2 3P B 3
2 1 1
3 2 3P B
1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P B B B P B B B P B B B
（3） 可取的值为
的分布列为：
13、答案：
解 析 ： 因 为 ， 所 以 ， 从 而
，可得
14、解析：（1）设事件 为“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”
（2） 的可能取值为
的分布列为：
5 1 1 1 2 1 1 1 2 1
6 3 3 6 3 3 6 3 3 6
X 0,1,2,3
1 2 3
100 27P X P B B B
1 2 3 1 2 3 1 2 3
41 9P X P B B B P B B B P B B B
1 2 3 1 2 3 1 2 3
12 6P X P B B B P B B B P B B B
1 2 3
13 54P X P B B B
X
X 0 1 2 3
P 10
27
4
9
1
6
1
54
10 4 1 1 50 1 2 327 9 6 54 6EX
1
3
,X B n p 30, 1 20EX np DX np p
21 3
DX pEX 1
3p
A
1 1
2 3
2
5
3
10
A AP A A
X 200,300,400
2
2
2
5
1200 10
AP X A
3 1 1 2
3 2 3 2
3
5
3300 10
A C C AP X A
6400 1 300 200 10P X P X P X
X
1 3 6200 300 400 35010 10 10EX
15、解析：（1）设事件 为“当天小王的该银行卡被锁定”
（2）依题意得， 所有可能的取值是 1，2，3
的分布列为：
16、解析：（1）
（2） 所有可能的取值是 1，2，3，4，可知 符合超几何分布
所以随机变量 的分布列为
所以随机变量 的数学期望
17、解：（1）
（2） 所有可能的取值是
的分布列为：
X 0 -1 1
P
18、解析：（1） 所有可能的取值是
A
5 4 3 1
6 5 4 2P A
X
1 5 1 1 5 4 21 , 2 , 36 6 5 6 6 5 3P X P X P X
X
1 1 2 51 2 36 6 3 2EX
2 2 2 2
2 3 3 3
4
8
6
35
C C C CP A C
X X
4
5 3
4
8
( 1,2,3,4)
k kC CP X k kC
X
X 1 2 3 4
P 1
14
3
7
3
7
1
14
X 1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2E X
125,135,145,235,245,345
X 1,0,1
3 2 1 1 2
8 4 4 4 4
3 3 3
9 9 9
2 1 11( 0) , ( 1) , ( 1)3 14 42
C C C C CP X P X P XC C C
X
2
3
1
14
11
42
2 1 11 40 ( 1) 13 14 42 21EX
X 10,20,100, 200
的分布列为：
（2）设“第 盘没有出现音乐”为事件
所以
设事件 为“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”
（3）由（1）知，
这表明，获得的分数的均值为负值
所以多次游戏之后分数减少的可能性更大
19、解析：（1）依题意可得 中整点为：
共 13 个， 中整点为 ，设事件 为“整点中恰有 2 个整点在区域
内”
（ 2 ） 平 面 区 域 的 面 积 为 ， 平 面 区 域 的 面 积 为
可取的值为
可知
X 10 20 100 －200
P
3
8
3
8
1
8
1
8
1 2
1
3
1 1 310 12 2 8P X C
2 1
2
3
1 1 320 12 2 8P X C
3
3
3
1 1100 2 8P X C
3
0
3
1 1200 2 8P X C
X
i 1,2,3iA i
1 2 3
1200 8P A P A P A P X
A
1 2 3
5111 1 512P A P A P A A A
3 3 1 1 510 20 100 2008 8 8 8 4EX
U 0,0 , 0, 1 , 0, 2 , 1,0 , 2,0 , 1, 1
V 0,0 , 0, 1 , 1,0 A V
2 1
5 8
3
13
40
143
C CP A C
U 22 4S U V
1 2 2 22S V
X 0,1,2,3
13, 2X B
33
0
3 3
2 110 1 2 8P X C
22
1
3 3
3 2 11 11 12 2 8P X C
的分布列为：
20、解析：（1）设事件 为“甲至少获得 5 元奖金”
（2）依题意可知 可取的值为
的分布列为：
21、解析：（1）由题意知，由 上的数据，所以
，同理可得：
（2）① 由（1）可得，参加决赛的选手共 人
设事件 为“甲不在第一位、乙不在第六位”
② 随机变量 的可能取值为
所以 的分布列为：
2
2
3 3
3 2 11 12 12 2 8P X C
3
3
3 3
1 13 2 8P X C
X
X 0 1 2 3
P 3
3
2 1
8
2
3
3 2 1
8
3
3 2 1
8
3
1
8
3
2EX
A
1 7 1 11
8 8 4 32P A
X 0,2,5
1 7 3 1 290 8 8 4 2 64P X 7 3 1 212 8 4 2 64P X
7 1 75 8 4 32P X
X
X 0 2 5
P 29
64
21
64
7
32
29 21 7 70 2 564 64 32 4EX
80,90 16 500.32n p
9 0.1850x 19, 6, 0.12y z s
6
A
5 1 1 4
5 4 4 4
6
6
7
10
A C C AP A A
X 0,1,2
3
4
3
6
10 5
CP X C
1 2
2 4
3
6
31 5
C CP X C
2 1
2 4
3
6
12 5
C CP X C
X
22、解析：（1）设事件 为“顾客获得半价”，则
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：
（2）若选择方案一，则付款金额为
若选择方案二，记付款金额为 元，则 可取的值为
所以方案二更为划算
X 0 1 2
P 1
5
3
5
1
5
1 3 10 1 2 15 5 5EX
A 3 2 1 3
4 4 4 32P A
229 1831 32 1024P
320 50 270
X X 160,224,256,320
3160 32P X 3 2 3 3 2 1 1 2 1 13224 4 4 4 4 4 4 4 4 4 32P X
3 2 3 1 2 3 1 2 1 13256 4 4 4 4 4 4 4 4 4 32P X
1 2 3 3320 4 4 4 32P X
3 13 13 3160 224 256 320 24032 32 32 32EX
