2018届二轮复习（理）回扣5　数　列课件（全国通用） 37页

回扣 5 　 数　列 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 牢记概念与公式 等差数列、等比数列 2. 活用定理与结论 (1) 等差、等比数列 { a n } 的常用性质   等差数列 等比数列 性质 ① 若 m ， n ， p ， q ∈ N * ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ， 则 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ； ② a n ＝ a m ＋ ( n － m ) d ； ③ S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 仍成等差数列 ① 若 m ， n ， p ， q ∈ N * ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 a m · a n ＝ a p · a q ； ② a n ＝ a m q n － m ； ③ S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 仍成等比数列 ( S m ≠ 0) (2) 判断等差数列的常用方法 ① 定义法 a n ＋ 1 － a n ＝ d ( 常数 )( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . ② 通项公式法 a n ＝ pn ＋ q ( p ， q 为常数， n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . ③ 中项公式法 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . ④ 前 n 项和公式法 S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数， n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (3) 判断等比数列的常用方法 ① 定义法 ② 通项公式法 a n ＝ cq n ( c ， q 均是不为 0 的常数， n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等比数列 . ③ 中项公式法 3. 数列求和的常用方法 (1) 等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和 . (2) 形如 { a n · b n }( 其中 { a n } 为等差数列， { b n } 为等比数列 ) 的数列，利用错位相减法求和 . (4) 通项公式形如 a n ＝ ( － 1) n · n 或 a n ＝ a ·( － 1) n ( 其中 a 为常数， n ∈ N * ) 等正负项交叉的数列求和一般用并项法 . 并项时应注意分 n 为奇数、偶数两种情况讨论 . (5) 分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成 c n ＝ a n ＋ b n 形式的数列求和问题的方法，其中 { a n } 与 { b n } 是等差 ( 比 ) 数列或一些可以直接求和的数列 . (6) 并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 S n . Ⅱ 易错提醒 1. 已知数列的前 n 项和求 a n ，易忽视 n ＝ 1 的情形，直接用 S n － S n － 1 表示 . 事实上，当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ；当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 . 4. 易忽视等比数列中公比 q ≠ 0 导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解 . 5. 运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论 . 一定分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 两种情况进行讨论 . 6. 利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项 . 7. 裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等 ， 8 . 通项中含有 ( － 1) n 的数列求和时，要把结果写成 n 为奇数和 n 为偶数两种情况的分段形式 . III 回归训练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 S 13 ＞ 0 ， S 14 ＜ 0 ，若 a k · a k ＋ 1 ＜ 0 ，则 k 等于 A.6 B.7 C.13 D.14 √ 解析　 因为 { a n } 为等差数列， S 13 ＝ 13 a 7 ， S 14 ＝ 7( a 7 ＋ a 8 ) ， 所以 a 7 ＞ 0 ， a 8 ＜ 0 ， a 7 · a 8 ＜ 0 ，所以 k ＝ 7. 答案 解析 2. 已知在等比数列 { a n } 中， a 1 ＋ a 2 ＝ 3 ， a 3 ＋ a 4 ＝ 12 ，则 a 5 ＋ a 6 等于 A.3 B.15 C.48 D.63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 ＞ 0 ， a 3 ＋ a 10 ＞ 0 ， a 6 a 7 ＜ 0 ，则满足 S n ＞ 0 的最大自然数 n 的值为 A.6 B.7 C.12 D.13 √ 解析　 ∵ a 1 ＞ 0 ， a 6 a 7 ＜ 0 ， ∴ a 6 ＞ 0 ， a 7 ＜ 0 ，等差数列的公差小于零， 又 a 3 ＋ a 10 ＝ a 1 ＋ a 12 ＞ 0 ， a 1 ＋ a 13 ＝ 2 a 7 ＜ 0 ， ∴ S 12 ＞ 0 ， S 13 ＜ 0 ， ∴ 满足 S n ＞ 0 的最大自然数 n 的值为 12 . √ 解析　 由 已知 ＝ ， 所以 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ，所以数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列， a 5 ＋ a 7 ＋ a 9 ＝ ( a 2 ＋ 3 d ) ＋ ( a 4 ＋ 3 d ) ＋ ( a 6 ＋ 3 d ) ＝ ( a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ) ＋ 9 d ＝ 9 ＋ 9 × 2 ＝ 27 ， 所以 故 选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 已知正数组成的等比数列 { a n } ，若 a 1 · a 20 ＝ 100 ，那么 a 7 ＋ a 14 的最小值为 A.20 B.25 C.50 D . 不 存在 √ 解析　 在正数组成的等比数列 { a n } 中， 因为 a 1 · a 20 ＝ 100 ，由等比数列的性质可得 a 1 · a 20 ＝ a 4 · a 17 ＝ 100 ， 当且仅当 a 7 ＝ a 14 ＝ 10 时取等号， 所以 a 7 ＋ a 14 的最小值为 20. 解析　 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n ＝ 2 a n ＋ 1 － 4 － (2 a n － 4) ⇒ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， 再令 n ＝ 1 ， ∴ S 1 ＝ 2 a 1 － 4 ⇒ a 1 ＝ 4 ， ∴ 数列 { a n } 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＝ 4·2 n － 1 ＝ 2 n ＋ 1 ，故选 A. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n ＝ 2 a n － 4( n ∈ N * ) ，则 a n 等于 A.2 n ＋ 1 B.2 n C.2 n － 1 D.2 n － 2 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 ∵ 在等差数列 { a n } 中， a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，若 a n (4 ＋ cos n π) ＝ n (2 － cos n π) ，则 S 20 等于 A.31 B.122 C.324 D.484 √ 解析　 由题意可知，因为 a n (4 ＋ cos n π) ＝ n (2 － cos n π) ， 所以数列 { a n } 的奇数项构成首项为 1 ，公差为 2 的等差数列， 所以 S 20 ＝ ( a 1 ＋ a 3 ＋ …… ＋ a 19 ) ＋ ( a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 20 ) ＝ 122 ，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意 a 1 ， a 3 ， a 13 成等比数列， 可得 (1 ＋ 2 d ) 2 ＝ 1 ＋ 12 d ，解得 d ＝ 2 ， 故 a n ＝ 2 n － 1 ， S n ＝ n 2 ， 当 n ＝ 2 时取得最小值 4. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 11. 在等差数列 { a n } 中，已知 a 3 ＋ a 8 ＝ 10 ，则 3 a 5 ＋ a 7 ＝ ____. 解析　 设公差为 d ，则 a 3 ＋ a 8 ＝ 2 a 1 ＋ 9 d ＝ 10 ， 3 a 5 ＋ a 7 ＝ 3( a 1 ＋ 4 d ) ＋ ( a 1 ＋ 6 d ) ＝ 4 a 1 ＋ 18 d ＝ 2 × 10 ＝ 20. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ，则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ _____. 50 解析　 ∵ 数列 { a n } 为等比数列，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ， ∴ a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ， ∴ a 10 a 11 ＝ e 5 ， ∴ ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 … a 20 ) ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ ln(e 5 ) 10 ＝ ln e 50 ＝ 50. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 已知 a 1 ＝ 2 ， S n ＋ 1 ＋ ( － 1) n S n ＝ 2 n ，则 S 100 ＝ ______. 198 解析　 当 n 为偶数时， S n ＋ 1 ＋ S n ＝ 2 n ， S n ＋ 2 － S n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 2 ， 所以 S n ＋ 2 ＋ S n ＝ 4 n ＋ 2 ， 故 S n ＋ 4 ＋ S n ＋ 2 ＝ 4( n ＋ 2) ＋ 2 ，所以 S n ＋ 4 － S n ＝ 8 ， 由 a 1 ＝ 2 知， S 1 ＝ 2 ，又 S 2 － S 1 ＝ 2 ，所以 S 2 ＝ 4 ， 因为 S 4 ＋ S 2 ＝ 4 × 2 ＋ 2 ＝ 10 ，所以 S 4 ＝ 6 ， 所以 S 8 － S 4 ＝ 8 ， S 12 － S 8 ＝ 8 ， … ， S 100 － S 96 ＝ 8 ， 所以 S 100 ＝ 24 × 8 ＋ S 4 ＝ 192 ＋ 6 ＝ 198 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 若数列 { a n } 满足 a 2 － a 1 ＞ a 3 － a 2 ＞ a 4 － a 3 ＞ … ＞ a n ＋ 1 － a n ＞ … ，则称数列 { a n } 为 “ 差递减 ” 数列 . 若数列 { a n } 是 “ 差递减 ” 数列，且其通项 a n 与其前 n 项和 S n ( n ∈ N * ) 满足 2 S n ＝ 3 a n ＋ 2 λ － 1( n ∈ N * ) ，则实数 λ 的取值 范围 是 ________ _ _. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 当 n ＝ 1 时， 2 a 1 ＝ 3 a 1 ＋ 2 λ － 1 ， a 1 ＝ 1 － 2 λ ， 当 n ＞ 1 时， 2 S n － 1 ＝ 3 a n － 1 ＋ 2 λ － 1 ， 所以 2 a n ＝ 3 a n － 3 a n － 1 ， a n ＝ 3 a n － 1 ， 所以 a n ＝ (1 － 2 λ )3 n － 1 ， a n － a n － 1 ＝ (1 － 2 λ )3 n － 1 － (1 － 2 λ )3 n － 2 ＝ (2 － 4 λ )3 n － 2 ， 依题意 (2 － 4 λ )3 n － 2 是一个减数列，所以 2 － 4 λ ＜ 0 ， λ ＞ . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，且 a 1 ＝ 1 ， S 7 ＝ 28. 记 b n ＝ [ lg a n ] ，其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9] ＝ 0 ， [lg 99] ＝ 1. (1) 求 b 1 ， b 11 ， b 101 ； 解　 设 { a n } 的公差为 d ，由已知可知， 解得 d ＝ 1 ，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 1 ＝ n . b 1 ＝ [lg 1] ＝ 0 ， b 11 ＝ [lg 11] ＝ 1 ， b 101 ＝ [lg 101] ＝ 2. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 求数列 { b n } 的前 1 000 项和 . 所以数列 { b n } 的前 1 000 项和为 1 × 90 ＋ 2 × 900 ＋ 3 × 1 ＝ 1 893 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 ① － ② 化简得 ( a n ＋ a n － 1 )( a n － a n － 1 － 2) ＝ 0 ， 又数列 { a n } 各项为正数， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16